V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Колесница, двуколка, среднеазиатская арба, шарабан – двухколесный одноконный экипаж, коляска-качалка спортивная беговая, прицеп – вот далеко не полный перечень транспортных средств, которые объединяет наличие двух колес у экипажа. Небольшое различие наблюдается только в средствах крепления (дышло или оглобли) экипажа к механической или живой тяге (лошади, быки и пр.). Как свидетельствуют изображения на штандарте из шумерского города Ур, колесные транспортные средства появились около 2500 года до нашей эры. Легкие двухколесные колесницы (рис.1) широко использовались в боевых действиях народами Древнего мира.

Рисунок 1. Легкая двухколесная колесница.

Самой крупной колесничной битвой в древней истории считается битва при Кадеше (1299 г. до н. э.), в которой со стороны египтян, хеттов и сирийцев участвовало до семи тысяч колесниц.

Несмотря на столь давний возраст изобретения, интерес к описанию движения этого транспортного средства не ослабевает, свидетельством чему являются современные серьезные математические исследования, например [1-5].

Не углубляясь в специальные вопросы, рассмотрим движение простейшего одноосного прицепа, изображенного на рис.2. Полагаем заданными все его геометрические и инерционные характеристики – ширина колеи , расстояние от оси колес до сцепного устройства («седло» или «крюк-петля») в точке (), в которой прицеп соединяется с механическим транспортным средством.

Рисунок 2. Схема движения прицепа.

Положение прицепа определяется двумя координатами и углом . Из условия коллинеарности векторов и следует:

, , .

Так как при плоском движении [6] рамы прицепа выполняется условие равенства проекций скоростей точек плоской фигуры на направление вектора, соединяющего эти точки,

,

то

(α – угол между направлениями векторов и )

или .

Откуда

или

или

Продолжая эквивалентные преобразования, сократим на общий множитель

Далее возведем в квадрат и преобразуем к виду

Делаем замену переменных

и .

Тогда

и .

Это приводит к следующей системе дифференциальных уравнений:

(1)

Или, так как ,

Эти кинематические уравнения движения двухосного прицепа позволяют по заданному движению точки найти движение точки , а значит и движение его колес. В общем случае эта система дифференциальных уравнений не интегрируется в элементарных функциях, но может быть проинтегрирована в частных случаях.

Рассмотрим движение прицепа, когда точка движется прямолинейно. Пусть . Тогда и дифференциальные уравнения движения прицепа принимают следующий вид:

(2)

Для наглядности ограничимся примером, когда , .

В этом случае первое уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Запишем его решение

, , , .

Выразив u, получим решение дифференциального уравнения в виде

.

Подставим найденную функцию во второе уравнение, предварительно преобразовав его,

, ,

.

Это уравнение тоже является уравнением с разделяющимися переменными. Запишем его решение

Выразив v, получим решение дифференциального уравнения в виде

.

Переходя к основным переменным и полагая начальное положение прицепа в виде условий , т.е. , находим:

На рисунке 3 изображена траектория движения точки , полученная с помощью сервиса WolframAlpha [7]

Parametric plot:

Рисунок 3. Траектория движения точки Cприцепа, полученная с помощью сервиса WolframAlpha.

Более точное построение было получено с использованием математического пакета MathCAD14. На рисунке 4 черная линия показывает траекторию движения точки A, синяя – точки С.

 

Рисунок 4. Траектории движения точек Aи Cприцепа.

 

Данное решение является математической моделью перпендикулярной парковки прицепа задним ходом. Анимационная 3D-модель (рис.5) визуализирована с помощью Blender студентом пятого курса УралЭНИН УрФУ Р.Саенко.

Рисунок 5. 3D-модель прицепа.

1. Павловский В.Е., Петровская Н.В. Исследование динамики движения цепочки "Робопоезд". Уравнения движения, частные решения Препринт ИПМ им. М.В.Келдыша РАН , 2005 http://www.keldysh.ru/papers/2005/prep117/prep2005_117.html

2. D.Udriste On a control system of trailer-truck jackknifing // BSG Proceedings 8, Geometry Balkan Press, 2003, pp.187-197.

3. А. Якимович Подвижность и поворотливость повозки http://omop.su/1000/07/138042.php

4. Матюхин В.И. Управление механической колесной системой // ПММ. 2007. Т. 71. Вып. 2. С. 237-249.

5. Буданов В.М., Девянин Е.А О движении колесных роботов // ПММ.2003. Т.67. Вып. 2. С. 244-255.

6. Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. ИЦ «Академия» 2011. 320 с.

7. http://math.semestr.ru/

 

6

 

Код для цитирования: Скопировать