V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Механика – рай математических наук, ибо посредством нее достигают математического плода.

Леонардо Да Винчи[1]

Классическая механика является одной из наук, постижение которой может опираться на интуитивные представления об окружающем мире. Именно поэтому, наверно, механические аналогии пытаются найти и в других науках. Так, например, прямая аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями помогает упростить понимание процессов и провести анализ изменения параметров электрических цепей. С помощью механических соображений Архимед впервые доказал теорему о трех медианах треугольника и нашел формулу для вычисления объема шара. Механические представления использовались для вычисления объемов различных тел вращения, нахождения геометрических мест точек, доказательства неравенств и для решения многих других задач геометрии и алгебры. Возможно, введение в школьную программу понятий механики, таких, как центр масс или моменты инерции существенно упростили бы жизнь школьников, и многие из «заковыристых» задач геометрии перестали бы быть таковыми.

Использование достижений математики при описании классических законов механики позволяет и механике внедриться в разделы так называемой «чистой» математики.

Так, один из полезных разделов линейной алгебры – теория линейных преобразований может быть дополнен (правда, к сожалению, пока только для векторов размерности физического пространства) удобной формулой для вычисления производной преобразования движения по некоторому параметру. Использование же этого результата позволяет путем непосредственных вычислений получить известные формулы Френе.

Пусть линейное преобразование таково, что . Тогда

(1)

или

. (2)

Продифференцировав обе части равенства (2) по параметру , с учетом зависимости (1), получим

=. (3)

Введем обозначение для дифференцирующего оператора :

Сопоставление выражения (3) с формулой, выражающей скорость точки тела при его повороте вокруг оси, представленной в работе [2]

, (4)

где

, (5)

позволяет сделать вывод, что дифференцирующий оператор аналогичен матрице угловой скорости тела.

Умножив обе части уравнения (4) справа на , получим

. (6)

Применим полученное выражение (6) к «кинематическому» выводу формул Френе.

Как известно, формулы Френе (опубликованы в 1847 году при совместной работе французских математиков Френе и Серре) представляют разложение производных (по дуге) единичных векторов касательной , нормали и бинормали произвольной кривой L по векторам , ,

,

,

.

Естественные оси τ, n, b, вводимые при натуральном задании кривой, составляют естественный трехгранник или трехгранник Френе.

Рассмотрим движение трехгранника Френе как движение твердого тела, с которым связана подвижная система координат (рис.1).

Переход к ортонормированным векторам, составляющим трехгранник Френе, представляет возможным построить матрицу преобразования

, (7)

где элементами матрицы являются проекции ортов естественного трехгранника на оси декартовой системы координат.

Рис.1. Трехгранник Френе относительно декартовой системы координат

Очевидно, что обратный переход от основной к подвижной системе координат запишется посредством матрицы , составленной из элементов матрицы , то есть матрица получается транспонированием матрицы

. (8)

Для определения матрицы угловой скорости необходимо учитывать, что выражение (5) составлено для поворота подвижной системы координат, связанной с телом. То есть для поворота основной системы координат относительно трехгранника Френе стоит рассмотреть обратное движение, поэтому элементы тензора угловой скорости поворота подвижной системы координат (5) противоположны по знаку элементам тензора угловой скорости вращения неподвижной системы координат [3]

. (9)

Матрица угловой скорости поворота основной системы координат относительно трехгранника Френе (рис.2) запишется в виде:

. (10)

_{Рис.2. Составляющие вектора угловой скорости поворота трехгранника Френе}

Напомним, что кривизна кривой

и кручение кривой (рис.3):

.

а)

_б)

_{Рис.3(а,б). К определению кривизны и кручения кривой}

Производные и в каждый момент времени характеризуют быстроту изменения углов поворота ортов.

Не трудно заметить, что умножение полученной матрицы угловой скорости (10) на преобразует количественную характеристику изменения углов поворота по времени в геометрические характеристики кривой – кривизна кручение .

Тогда

. (11)

Учитывая зависимость (5), запишем

,

_или

,

_тогда

. (12)

Подставив выражение (11) в выражение (12), получим

или

1. Леонардо Да Винчи. Избранные естественнонаучные произведения. М.1955, стр.84. Цитируется по книге Григорьян А.Т. Механика от античности до наших дней. М.Наука, 1971, 321 с.
2. Рощева Т.А., Митюшов Е.А. Методические возможности использования теории линейных преобразований при изложении курса теоретической механики. //Механика. Научные исследования и учебно-методические разработки. Междунар. науч. тр., вып.3, Гомель, Респ. Беларусь, БГУтрансп. 2009.
3. Рощева Т.А., Митюшов Е.А., Киселева О.С. Универсальные алгоритмы кинематики //Механика. Научные исследования и учебно-методические разработки. Междунар. науч. тр., вып.6, Гомель, Респ. Беларусь, БГУтрансп. 2012.

Код для цитирования: Скопировать