V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Рассмотрим двухфакторную производственную функцию , где K и L – затраты капитала и труда соответственно, при этом – объём выпуска (в денежном выражении). Пусть цены факторов производства составляют соответственно и . Тогда прибыль производителя будет равна

.

(1)

Цена труда – это заработная плата работника. Цена капитала равна денежной сумме, которая в единицу времени тратится на содержание единицы капитала, таким образом, цена капитала равна норме амортизации – величине амортизационных отчислений на 1 ден. ед. производственных фондов.

Будем считать основной целью производителя – стремление получить максимальную прибыль, тогда математическая формулировка задачи производителя имеет вид: требуется определить такую организацию производства (т.е. такие объёмы затрат ресурсов), которые приносят наибольшую прибыль.

, , .

(2)

В задачу (2) подставим выражение (1):

, , .

(3)

Для решения задачи максимизации необходимо найти частные производные прибыли по капиталу и труду и приравнять их к нулю:

(4)

Любая точка , удовлетворяющая условиям (4), будет точкой максимума прибыли, и при этом оптимальные затраты ресурсов и будут неотрицательными, следовательно, условия (4) определяют оптимальное решение задачи производителя.

Рассмотрим экономическую интерпретацию условий максимума прибыли производителя. В левых частях этих условий находятся предельные эффективности ресурсов, а в правых – цены ресурсов, поэтому условия (4) можно интерпретировать следующим образом: производитель достигает максимальной прибыли при таких затратах ресурсов и , что предельные эффективности ресурсов равны их ценам.

Пример. О фирме с мультипликативной производственной функцией, имеющей вид , известны факты: производственные фонды ден. ед., всего в фирме занято сотрудников. Средняя заработная плата ден. ед в месяц и период амортизации основных производственных фондов месяцев. Требуется рассчитать оптимальный размер и оптимальную численность работников. Определить, во сколько раз увеличится прибыль фирмы при переходе к оптимальным затратам факторов производства.

Решение. Цена труда – это заработная плата, а цена капитала ден. ед. равна ежемесячным амортизационным отчислениям на содержание одной денежной единицы производственных фондов, поэтому прибыль фирмы при таких затратах труда и капитала равна по формуле (1):

млн. ден. ед.

Оптимальные параметры фирмы задаются условиями (4), состоящими в том, что предельные эффективности ресурсов должны быть в оптимальной точке равны ценам ресурсов. В этом случае предельная фондоотдача и предельная производительность труда равна соответственно

.

Поэтому оптимальные условия фирмы (4) принимают вид:

При этом выпуск фирмы составит

млн. ден. ед.,

а прибыль

(млн. ден. ед.)

Полученный результат показывает, что оптимальный выбор затрат капитала и труда позволил увеличил прибыль в раз.

Литература:

1. Математика в экономике. Математические методы и модели: учебник / М.С. Красс, Б. П. Чупрынов. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 544 с.: ил.

2. Математическая статистика (учебное пособие). Агишева Д.К., Зотова С.А., Матвеева Т.А., Светличная В. Б. Успехи современного естествознания. 2010, № 2, С. 122-123.

3. Линейное программирование (учебное пособие). Агишева Д.К., Зотова С.А., Матвеева Т.А., Светличная В. Б. Успехи современного естествознания. 2010, № 9, С. 61-62.

4. Лосева А.Ю., Агишева Д.К. ЭЛАСТИЧНОСТЬ СПРОСА // Успехи современного естествознания. – 2012. – № 4 – С. 48-49.

5. Гусева Д.Р., Перова Т.Н., Платонова Е.А., Агишева Д.К. ГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ УСТОЙЧИВОСТИ // Успехи современного естествознания. – 2012. – № 4 – С. 46-47.

6. Мягков М.М., Гафуров Т.Д., Агишева Д.К. АНАЛИЗ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ РЕСУРСОВ В ОПТИМАЛЬНОМ ПЛАНЕ // Успехи современного естествознания. – 2012. – № 4 – С. 51-51

Код для цитирования: Скопировать