V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Рассматривается осесимметричная задача о вынужденных колебаниях цепочки круговых цилиндрических оболочек в идеальной несжимаемой жидкости. Разработан алгоритм построения решения этой задачи, реализация которого позволяет определить основные механические характеристики. В соответствии с этим алгоритмом задача сведена к решению системы двух уравнений: дифференциального и интегрального. Линейность рассмотренных уравнений позволила разделить решения этих уравнений. Для решения дифференциального уравнения применен метод разложения искомой функции по функциям Крылова. Для решения интегрального уравнения применен метод ортогональных многочленов. Оба эти метода привели решения указанных уравнений к решению систем линейных алгебраических уравнений.

Пусть цепочка упругих круговых цилиндрических оболочек находится в идеальной несжимаемой жидкости. Длина каждой оболочки 2a, радиус R, толщина h (h << a), расстояние между двумя оболочками 2H. Жидкость занимает безграничную область. Ось 0z цилиндрической системы координат r, ϴ, z направим вдоль оси оболочек. Уравнение движения оболочек, взаимодействующих с жидкостью, для случая осевой симметрии будем брать в виде [1]

(1)

Здесь w = w(z,t) - радиальное перемещение точек срединной поверхности оболочки, D - жесткость оболочки при изгибе, E - модуль Юнга, ν - коэффициент Пуассона, ρ - плотность оболочки, p = p(r,z,t) - гидродинамическое давление. Область Ω имеет следующий вид

Перемещения, направленные к оси оболочки, считаются положительными. Условия отсутствия на торцах оболочки сосредоточенных усилий имеют вид

(2)

Движение жидкости предполагается потенциальным. Тогда потенциал скоростей точек жидкости φ = φ(r,z,t) удовлетворяет уравнению Лапласа

(3)

Гидродинамическое давление p, которое испытывает оболочка со стороны жидкости, в предположении малости вносимых возмущений связано с потенциалом скоростей φ интегралом Коши в линеаризованной форме [2]

(4)

С удалением от оболочки вносимые ею возмущения должны затухать, тогда

(5)

Занимаемую жидкостью область разобьем на две части, которые определяются условиями

(6)

Функции φ и p в этих областях будем обозначать с индексом 1 или 2. Вне оболочки на границе областей 1) и 2) должны выполняться условия непрерывности движения жидкости

(7)

На оболочке должны выполняться условия безотрывности ее обтекания жидкостью

(8)

Будем предполагать справедливыми следующие представления функций w, и

(9)

Функции и должны удовлетворять уравнению (3). Из (1), (3) и (9) может быть получено уравнение, связывающее функции , и

(10)

С учетом представлений (9) граничные условия (2), (7) и (8) принимают вид

(11)

(12)

(13)

Применение интегрального преобразования Фурье к уравнению (3) позволяет получить следующий вид функций и с учетом их ограниченности в области определения

(14)

Здесь и - произвольные достаточно гладкие функции, In(z) и Kn(z) - цилиндрические функции мнимого аргумента. Введем в рассмотрение функцию формулой

(15)

Из (12) - (15) после исключения из рассмотрения функций и может быть найдено следующее уравнение, связывающее функции γ и

(16)

Все оболочки находятся в равных условиях, и поэтому функции должны удовлетворять следующим условиям

Дифференциальное уравнение (10) в безразмерных переменных имеет вид

(17)

где .

Приближенное решение этого уравнения будем искать в виде

(18)

Функции - функции Крылова. Эти функции определятся следующим образом

(19)

где (n=1,2,3,...) - корни уравнения

Функции образуют полную ортогональную систему.

Решение интегрального уравнения ищется в виде

(20)

Функции (n=1,2,...) определяются из интегрального уравнения (в безразмерных величинах)

(21)

где , .

Ядро интегрального уравнения (21) имеет сингулярную особенность, поэтому его решение целесообразно строить методом ортогональных многочленов. В этом случае

(22)

Реализация процедуры метода ортогональных многочленов приводит интегральное уравнение (21) для каждого значения n к однородной системе линейных алгебраических уравнений относительно . Нетривиальное решение системы возможно, если определитель, составленный из её коэффициентов, равен нулю. Равенство нулю определителя системы является уравнением для определения собственных частот колебания оболочек.

В следующих таблицах приведены значения первых собственных частот для разных параметров задачи:

α, β, μ, λ, - безразмерные параметры, определенные ранее,

N - порядок системы линейных алгебраических уравнений, к которой сводится решение дифференциального уравнения,

M - порядок системы линейных алгебраических уравнений, к которой сводится решение интегрального уравнения,

K - число членов разложения в ряд регулярной части ядра.

Таблица 1

Значения собственных частот ω в несжимаемой жидкостипри α = 1000, β = 30, λ = 2, M = 6 для случая одной оболочки

N	ω1	ω2	ω3	ω4	ω5	ω6
2	4,17472	9,33225	-	-	-	-
4	4,17323	8,92652	15,14411	31,81115	-	-
6	4,17321	8,92558	15,12986	31,64971	61,47074	105,46377
8	4,17321	8,92553	15,12924	31,64383	61,42455	105,13458
10	4,17321	8,92553	15,12918	31,64318	61,41949	105,12108
12	4,17321	8,92553	15,12916	31,64306	61,41855	105,11576

Таблица 2

Зависимость значений собственных частот ω в несжимаемой жидкости от параметра N при α = 1000, β = 30, λ = 2, μ = 10, K = 10, M = 6

N	ω1	ω2	ω3	ω4	ω5	ω6
2	4,17629	9,42244	-	-	-	-
4	4,17506	9,06270	15,31721	31,91906	-	-
6	4,17505	9,06162	15,30310	31,75833	61,51325	105,47683
8	4,17505	9,06157	15,30250	31,75243	61,46691	105,14821
10	4,17505	9,06157	15,30242	31,75176	61,46183	105,12471
12	4,17505	9,06156	15,30241	31,75164	61,46090	105,11771

Таблица 3

Зависимость значений собственных частот ω в несжимаемой жидкости от

параметра K при α = 1000, β = 30, λ = 2, N = 12, μ = 10, M = 6

K	ω1	ω2	ω3	ω4	ω5	ω6
10	4,17505	9,06156	15,20241	31,75164	61,46090	105,11771
12	4,17887	9,11621	15,23621	31,65012	63,93565	151,26252
14	4,17786	9,15814	15,24651	31,72038	63,95454	151,48035
16	4,19338	9,18520	15,26369	31,76386	63,97000	151,94061
18	4,19348	9,19005	15,27366	31,81213	63,98952	151,67147

Таблица 4

Зависимость значений собственных частот ω в несжимаемой жидкости от

параметра M при α = 1000, β = 30, λ = 2, N = 12, K = 18, μ = 10

M	ω1	ω2	ω3	ω4	ω5	ω6
6	4,19318	9,19005	15,27366	31,61213	63,98952	151,97147
8	4,19318	9,19004	15,20366	31,59746	61,42278	106,54968
10	4,19319	9,19004	15,20366	31,59746	61,41422	105,10929

Таблица 5

Зависимость значений собственных частот ω в несжимаемой жидкости от

параметра μ при α = 1000, β = 30, λ = 2, N = 12, K = 10, M = 6

μ	ω1	ω2	ω3	ω4	ω5	ω6
2	4,11360	9,26172	15,37210	31,58473	64,11207	150,57658
5	4,18120	8,68845	15,13851	31,74217	63,98080	151,74436
10	4,18344	8,93171	15,45475	31,72774	63,97024	150,92517

Список литературы:

1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Физматгиз, 1963. 636 с.

2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1973. 848 с.

Код для цитирования: Скопировать