МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ - Студенческий научный форум

V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ

 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
В числе текстовых задач особое место занимают задачи на смеси, растворы и сплавы, называемые еще задачами на процентное содержание или концентрацию, наличие в которых простых и процентных отношений зачастую побуждает относить их к разряду чисто арифметических, а не к задачам на составление уравнений. Вместе с тем такие задачи можно решать составлением уравнений или их систем по схеме, очень близкой к той, что применяется в задачах на движение, работу и др. Как известно, в основе методики решения этих задач лежит связь между тремя величинами в виде прямой и обратной зависимостей:

S = VT, T = S:V, V = S:T- для пути S, времени T и скорости V;

A = VT, T = A:V, V = A:T- для количества работы A, времени T и производительности V.

В аналогичных соотношениях находится стоимость, цена и количество. Кроме того, применяются некоторые правила: сложение или вычитание скоростей при движении в движущейся среде, сложение или вычитание производительностей при совместной работе и др. Методику решения задач на смеси, растворы и сплавы опирается на такие же зависимости и правила.

Основные понятия в задачах на смеси, растворы и сплавы

Прежде всего, введем основные понятия. Говоря о смесях, растворах и сплавах, будем употреблять термин «смесь» независимо от их вида (твердая, жидкая, газообразная, сыпучая и т.д.). Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». Что есть «чистое вещество», определяется в каждой задаче отдельно, однако при этом остальные вещества, составляющие смесь, относят к примеси. Долей (a) чистого вещества в смеси называется отношение количества чистого вещества (m) смеси к общему количеству (M) смеси при условии, что они измерены одной и той же единицей массы или объема: a = m : M.

Отсюда получаем m = aM, M= m : a.

Отметим, что 0 a ≤ 1, ввиду того, что 0 m M. Случай a=0 соответствует отсутствию выбранного чистого вещества в рассматриваемой смеси (m=0), случай a=1 соответствует тому, что рассматриваемая смесь состоит только из чистого вещества (m= M). Понятие доли чистого вещества в смеси можно вводить следующей условной записью:

Доля чистого вещества в смеси = (Количество чистого вещества в смеси):(Общее количество смеси).

Процентным содержанием чистого вещества в смеси (с) называют его долю, выраженную процентным отношением:

c = a·100%, a = c:100%;

При решении задач следует руководствоваться тем, что при соединении (разъединении) смесей с одним и тем же чистым веществом количества чистого вещества и общие количества смесей складываются (вычитаются). Складывать и вычитать доли и процентные содержания нельзя.

Основные этапы решения задач

  1. Выбор неизвестной (или неизвестных). Чаще всего в качестве неизвестных величин выбирают те, которые требуются найти, но иногда целесообразно обозначать неизвестными некоторые промежуточные величины, через которые легко выражаются искомые.

  2. Выбор чистого вещества. Из веществ, фигурирующих в условии задачи, выбирается одно в качестве чистого вещества. Чаще всего выбирают вещество, о котором речь идет в требовании задачи, или вещество, о доле которого в условии содержится больше всего информации. При этом, если a – доля чистого вещества, то (1-a) – доля примеси.

  3. Переход к долям. Если в задаче имеются процентные содержания, их следует перевести в доли и в дальнейшем работать только с долями.

  4. Отслеживание состояния смеси. На каждом этапе изменения смеси (добавление, изъятие) необходимо описывать состояние смеси с помощью трех основных величин m, M, a.

  5. Составление уравнения. В результате преобразований смеси, описанных в задаче, мы приходим к ее итоговому состоянию. Оно характеризуется величинами m, M, a, содержащими неизвестные. Уравнением, связывающим эти неизвестные, будет уравнение m = aM.

В ходе осуществления этих этапов рекомендуется ввести следующую таблицу.

Таблица 1

Состояние смеси

Количество чистого

вещества (m)

Общее количество

смеси (M)

Доля (a)

1

2

     

Итоговое состояние

     
  1. Решение уравнения (или их системы) и нахождение требуемых величин.

  2. Формирование ответа. Если в задаче требовалось найти то или иное процентное содержание, то следует полученные доли перевести в процентные содержания.

Далее проиллюстрируем перечисленные этапы на примерах.

Примеры решения задач

Задача 1. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация составляла 1,5%?

Решение.

  1. Пусть требуется добавить x кг пресной воды.

  2. За чистое вещество примем соль. Тогда морская вода – это смесь с 5%-ным содержанием чистого вещества, пресная вода – с 0%-ным содержанием чистого вещества.

  3. Переходя долям, получаем, что доля соли в морской воде составляет 0,05, доля соли в пресной воде равна 0, доля в смеси, которую нужно получить, – 0,015.

  4. Происходит соединение смесей (таблица 2).

Таблица 2

Состояние смеси

m (кг)

M (кг)

a

1

0,05· 30

30

0,015

2

0 · x

x

0

3

0,05 · 30

30 + x

0,015

  1. Исходя из третьей строки таблицы 2, составим уравнение m = aM:

0,05 · 30 = 0,015(30 + x).

  1. Решим полученное уравнение и находим x = 70.

  2. В данной задаче не содержалось требования найти процентное содержание какого-либо вещества, поэтому нет необходимости переводить доли в процентные содержания.

Ответ: 70 кг.

Задача 2. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого вещества было взято?

Решение.

Пусть взялиxг первого раствора, тогда второго раствора (600 – x) г (таблица 3).

Таблица 3

Состояние смеси

m (г)

M (г)

a

I

0,3x

x

0,3

II

0,1(600 –x)

600 – x

0,1

I + II

0,3x + 0,1(600 – x)

600

0,15

Тогда 0,3x + 0,1(600 – x) = 0,15· 600, откудаx = 150, 600 – x = 450.

Ответ:150 г 30%-ного раствора, 450 г 10%-ного раствора.

Комментарий. При решении задач на составление уравнений задача может сводиться не к одному уравнению, а к их системе.

Пример усложненной задачи на смеси

Иногда состояние смеси в задаче характеризуются не процентным содержанием или долей того или иного компонента смеси, а процентным или простым отношением между компонентами. В таких задачах тоже выбирается чистое вещество, и состояние смеси следует описать в долях от общего количества смеси.

Возможно также, что в задаче участвуют смеси, составленные из одних и тех же компонентов, но состояние этих смесей охарактеризовано долями разных компонентов. Тем не менее, такие задачи тоже могут быть решены в рамках указанной схемы.

Задача 3. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 25% цинка, а второй – 50% меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в 2 раза выше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого и 300 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 28% олова. Определить, сколько килограммов меди содержится в получившемся новом сплаве.

Решение.

Пусть xдоля олова во II сплаве, тогда 2x – доля олова в I сплаве. Сначала определим долю олова в данных сплавах. Для этого заполним таблицу 4, выполнив переход от процентных содержаний к долям.

Таблица 4

Состояние смеси

m (кг)

M (кг)

a

I

Цинк

0,25· 200

200

0,25

Медь

200(1 – (0,25 + 2 x))

1 – (0,25 + 2x)

Олово

2 · x ·200

2x

II

Цинк

(1 – (0,5 + x))300

300

1 – (0,5 + x)

Медь

0,5 · 300

0,5

Олово

x· 300

x

I+II

Цинк

0,25· 200 + (1 –(0,5 + x))300

500

?

Медь

(1 – (0,25 + 2x))200+0,5 · 300

?

Олово

2 · x·200 +x· 300

0,28

Становится очевидным, что уравнение можно составить по последней строке таблицы, используя зависимость m = aM:

2 · x · 200 + x· 300 = 0,28 · 500, откуда x = 0,2.

Таким образом, доля олова в первом сплаве будет 0,4, а во втором – 0,2.

Теперь выберем в качестве чистого вещества медь, и пусть y – доля меди в получившемся сплаве.

Сосчитаем по таблице 4 долю меди в первом сплаве

1 – (0,25 + 0,4) = 0,35.

Составим таблицу 5 (относительно меди).

Таблица 5

Состояние смеси

m (кг)

M (кг)

a

I

0,35 · 200

200

0,35

II

0,5· 300

300

0,5

I + II

0,35 · 200 + 0,5· 300

500

y

Составим уравнение по последней строке таблицы 5, используя зависимость m = aM:

0,35 · 200 + 0,5 · 300 = 500y.

Находим y= 0,44.

Доля меди в получившемся сплаве – 0,44. Выполним требование задачи и найдем количество меди: m = 500· 0,44 = 220.

Ответ: 220 кг.

Задача на смеси может быть усложнена дополнительными требованиями. Иногда практикуется в качестве усложняющего элемента задание на оптимальный выбор.

Подборка задач на смеси и сплавы

Все задачи соответствуют типовому стандарту B13 на ЕГЭ. Их также можно использовать для подготовки к ГИА по математике и в олимпиадной практике в 7-8 классе.

Задачи на добавление (удаление) одного вещества.

1) В 5 кг сплава олова и цинка содержится 80% цинка. Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву, чтобы процентное содержание цинка стало 40%?

2) Масса смеси, состоящей из двух вещество равна 900г. После того, как из этой смеси выделили (взяли) первого вещества и 70% второго, в ней осталось первого вещества на 18г меньше, чем второго. Сколько каждого вещества осталось в смеси?

3) В сплаве цинка и меди содержалось на 640г меньше цинка, чем меди. После того, как из этого сплава выделили (взяли) имевшейся в нем меди и 60 % цинка, получился сплав массой 200г. Найдите массу первоначального сплава.

4) Имеется 4 литра 20%-го раствора спирта. Сколько воды него нужно, чтобы получился 10%-й раствор спирта?

5) к 40%-му раствору соляной кислоты добавили 50г чистой соляной кислоты, в силу чего концентрация такого раствора стала равной 60%. Найти первоначальный вес раствора.

6) Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25% выше, чем во втором. Когда их сплавили вместе, то получили сплав, содержащий 30% серебра. Найдите вес сплавов, если в первом сплаве было 4кг, а во- втором 8 кг.

7) К раствору, содержащему 30г соли, добавили 400г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%/. Найти начальную концентрацию соли.

8) В первом сосуде растворили 0,36 л, а во втором 0,42 л чистого спирта. Процентное содержание спирта в первом сосуде оказалось на 6% больше, чем во втором. Каково процентное содержание спирта во втором и первомсосудах, если известно, что раствора в первом сосуде на 4 литра меньше?

9) К 5 килограмм сплава олова и цинка добавили 4 кг олова. Найдите первоначальное процентное содержание цинка в первоначальном сплаве, если в новом сплаве цинка стало в 2 раза меньше олова.

10) Собрали 100кг грибов. оказалось, что их влажность равна 99%. Когда их подсушили, то влажность снизилась до 95 % вода. Какова масса этих грибов после того, как их подсушили.

Комментарий к задачам: рекомендуется решать задачи на смеси и сплавы с помощью таблиц. Каждая такая таблица составляется отдельно для каждого сплава или смеси. Каждому веществу в ней отводится своя строка, в которой записываются данные о нем в классических единицах измерения (в литрах, граммах, килограммах) и в относительных (в процентах).

Задачи на смешивание

11) Имеется два раствора некоторого вещества. Один 15%-ный, а второй 65%-ный Сколько нужно взять литров каждого раствора, чтобы получить 200л раствора, содержание вещества в котором равно 30%?

12) Имеется два сплава никеля с другой сталью, в которых содержание никеля составляет 5% и 40%. Сколько тонн каждого сплава нужно сплавить, чтобы получилось 140 тонн новой стали с 30-ным содержанием никеля?

13) Имеется два разных сплава меди, процент содержания которой в первом сплаве на 40% меньше, чем во втором. Когда оба сплава соединили вместе, то новый сплав получился с 36-ным содержанием меди. Известно, что в первом сплаве было 6 кг меди, а во втором в 2 раза больше. Каково процентное содержание меди в обоих сплавах?

14) Смешали 30-ный раствор соляной кислоты с 10-ным. В итоге получилось 600г раствора с 15-ным содержанием соляной кислоты. Найдите, сколько взято было каждого раствора.

15) В какой пропорции нужно смешать 10-ный и 15-ный растворы аммиачной селитры, чтобы приготовить из них 15-ный раствор селитры.

Комментарий к задачам: в задачах на смешивание важно помнить, что вес или объем одного и того же вещества накапливается суммированием его веса по всем смешивающимся смесям. Обычно такие задачи решаются с введением двух переменных, каждая для своего начального сплава (смеси).

Задачи на выливание

16) Из бака, полностью заполненного кислотой, вылили несколько литров кислоты и долили доверху водой, затем снова вылили такое количество литров смеси и послечего в баке осталось 24 литра чистой кислоты. Емкость бака составляет 54 литра. Сколько кислоты вылили в первый раз?

17) Из бутылки, наполненной 12%-ным раствором соли, отлили 1 литр и долили 1 литр воды. В бутылке оказался 3%-нывй раствор соли . Найти вместимость бутылки.

18) В сосуде находится 10%-ный раствор соли. Из сосуда отлили его содержимого и долили водой так, что сосуд оказался заполненным на первоначального объема. Каково оказалось процентное содержание соли в сосуде?

Комментарий к задачам: при решении задач на отливание необходимо использовать главную отличительную особенность, о которой в тексты задач умалчивают: при выливании не меняется процентное содержание веществ. Значение концентрации, полученные в таблице для одного раствора нужно перенести в другую для другого раствора.

Комбинированные задачи на многократное смешивание

19) Если к сплаву меди и цинка добавить 20г меди, то содержание меди в сплаве станет равным 70%. Если же к первоначальному сплав добавить 70г сплава, содержащего 40% меди, то содержание меди станет равным 52%. Найдите первоначальный вес сплава.

20) Если к раствору спирта добавить 10 г спирта, то его концентрация станет равной 37,5%. Если же к первоначальному раствору добавить 50г раствора с 30%-ным содержанием спирта, то его концентрация станет равной 32,5%. Найти первоначальное количество спирта в растворе.

21) Если к раствору кислоты добавить 50г воды, то его концентрация станет равной 15%. Если же к первоначальному раствору добавить 50г кислоты, то его концентрация станет равной 40%. Найдите первоначальную концентрацию раствора.

22) Когда к раствору серной кислоты добавить 100г воды, то его концентрация уменьшилась на 40%. Если бы к начальному раствору добавили 100г серной кислоты, то его концентрация увеличилась бы на 10%. Какова у раствора концентрация кислоты?

.Литература:

  1. Еремина Е.А. и др. Словарь школьника по химии: 8–11 кл., М.: Дрофа, 1997. – 208 с.

  2. Н. И. Прокопенко. “Задачи на смеси и сплавы”. М.: Чистые пруды, 2010.

  3. Н. В. Удальцова. “Математические шарады и ребусы” , М.: Чистые пруды, 2010, 32 с.

  4. Шукайло А.Д. Тематические игры по химии. М.: ТЦ Сфера, 2004. – 96 с.

  5. Кузнецова Л.В. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. - М.: Просвещение, 2010.

  6. Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы.- М. :Чистые пруды, 2010 (Библиотечка «Первого сентября». Выпуск 31 )

Просмотров работы: 9238