S = VT, T = S:V, V = S:T- для пути S, времени T и скорости V;
A = VT, T = A:V, V = A:T- для количества работы A, времени T и производительности V.
В аналогичных соотношениях находится стоимость, цена и количество. Кроме того, применяются некоторые правила: сложение или вычитание скоростей при движении в движущейся среде, сложение или вычитание производительностей при совместной работе и др. Методику решения задач на смеси, растворы и сплавы опирается на такие же зависимости и правила.
Основные понятия в задачах на смеси, растворы и сплавы
Прежде всего, введем основные понятия. Говоря о смесях, растворах и сплавах, будем употреблять термин «смесь» независимо от их вида (твердая, жидкая, газообразная, сыпучая и т.д.). Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси». Что есть «чистое вещество», определяется в каждой задаче отдельно, однако при этом остальные вещества, составляющие смесь, относят к примеси. Долей (a) чистого вещества в смеси называется отношение количества чистого вещества (m) смеси к общему количеству (M) смеси при условии, что они измерены одной и той же единицей массы или объема: a = m : M.
Отсюда получаем m = aM, M= m : a.
Отметим, что 0 ≤a ≤ 1, ввиду того, что 0 ≤m ≤M. Случай a=0 соответствует отсутствию выбранного чистого вещества в рассматриваемой смеси (m=0), случай a=1 соответствует тому, что рассматриваемая смесь состоит только из чистого вещества (m= M). Понятие доли чистого вещества в смеси можно вводить следующей условной записью:
Доля чистого вещества в смеси = (Количество чистого вещества в смеси):(Общее количество смеси).
Процентным содержанием чистого вещества в смеси (с) называют его долю, выраженную процентным отношением:
c = a·100%, a = c:100%;
При решении задач следует руководствоваться тем, что при соединении (разъединении) смесей с одним и тем же чистым веществом количества чистого вещества и общие количества смесей складываются (вычитаются). Складывать и вычитать доли и процентные содержания нельзя.
Основные этапы решения задач
Выбор неизвестной (или неизвестных). Чаще всего в качестве неизвестных величин выбирают те, которые требуются найти, но иногда целесообразно обозначать неизвестными некоторые промежуточные величины, через которые легко выражаются искомые.
Выбор чистого вещества. Из веществ, фигурирующих в условии задачи, выбирается одно в качестве чистого вещества. Чаще всего выбирают вещество, о котором речь идет в требовании задачи, или вещество, о доле которого в условии содержится больше всего информации. При этом, если a – доля чистого вещества, то (1-a) – доля примеси.
Переход к долям. Если в задаче имеются процентные содержания, их следует перевести в доли и в дальнейшем работать только с долями.
Отслеживание состояния смеси. На каждом этапе изменения смеси (добавление, изъятие) необходимо описывать состояние смеси с помощью трех основных величин m, M, a.
Составление уравнения. В результате преобразований смеси, описанных в задаче, мы приходим к ее итоговому состоянию. Оно характеризуется величинами m, M, a, содержащими неизвестные. Уравнением, связывающим эти неизвестные, будет уравнение m = aM.
В ходе осуществления этих этапов рекомендуется ввести следующую таблицу.
Таблица 1
Состояние смеси |
Количество чистого вещества (m) |
Общее количество смеси (M) |
Доля (a) |
1 2 … |
|||
Итоговое состояние |
Решение уравнения (или их системы) и нахождение требуемых величин.
Формирование ответа. Если в задаче требовалось найти то или иное процентное содержание, то следует полученные доли перевести в процентные содержания.
Далее проиллюстрируем перечисленные этапы на примерах.
Примеры решения задач
Задача 1. Морская вода содержит 5% соли по массе. Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация составляла 1,5%?
Решение.
Пусть требуется добавить x кг пресной воды.
За чистое вещество примем соль. Тогда морская вода – это смесь с 5%-ным содержанием чистого вещества, пресная вода – с 0%-ным содержанием чистого вещества.
Переходя долям, получаем, что доля соли в морской воде составляет 0,05, доля соли в пресной воде равна 0, доля в смеси, которую нужно получить, – 0,015.
Происходит соединение смесей (таблица 2).
Таблица 2
Состояние смеси |
m (кг) |
M (кг) |
a |
1 |
0,05· 30 |
30 |
0,015 |
2 |
0 · x |
x |
0 |
3 |
0,05 · 30 |
30 + x |
0,015 |
Исходя из третьей строки таблицы 2, составим уравнение m = aM:
0,05 · 30 = 0,015(30 + x).
Решим полученное уравнение и находим x = 70.
В данной задаче не содержалось требования найти процентное содержание какого-либо вещества, поэтому нет необходимости переводить доли в процентные содержания.
Ответ: 70 кг.
Задача 2. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого вещества было взято?
Решение.
Пусть взялиxг первого раствора, тогда второго раствора (600 – x) г (таблица 3).
Таблица 3
Состояние смеси |
m (г) |
M (г) |
a |
I |
0,3x |
x |
0,3 |
II |
0,1(600 –x) |
600 – x |
0,1 |
I + II |
0,3x + 0,1(600 – x) |
600 |
0,15 |
Тогда 0,3x + 0,1(600 – x) = 0,15· 600, откудаx = 150, 600 – x = 450.
Ответ:150 г 30%-ного раствора, 450 г 10%-ного раствора.
Комментарий. При решении задач на составление уравнений задача может сводиться не к одному уравнению, а к их системе.
Пример усложненной задачи на смеси
Иногда состояние смеси в задаче характеризуются не процентным содержанием или долей того или иного компонента смеси, а процентным или простым отношением между компонентами. В таких задачах тоже выбирается чистое вещество, и состояние смеси следует описать в долях от общего количества смеси.
Возможно также, что в задаче участвуют смеси, составленные из одних и тех же компонентов, но состояние этих смесей охарактеризовано долями разных компонентов. Тем не менее, такие задачи тоже могут быть решены в рамках указанной схемы.
Задача 3. Имеются два сплава, состоящие из цинка, меди и олова. Известно, что первый сплав содержит 25% цинка, а второй – 50% меди. Процентное содержание олова в первом сплаве в 2 раза выше, чем во втором. Сплавив 200 кг первого и 300 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалось 28% олова. Определить, сколько килограммов меди содержится в получившемся новом сплаве.
Решение.
Пусть x – доля олова во II сплаве, тогда 2x – доля олова в I сплаве. Сначала определим долю олова в данных сплавах. Для этого заполним таблицу 4, выполнив переход от процентных содержаний к долям.
Таблица 4
Состояние смеси |
m (кг) |
M (кг) |
a |
|
I |
Цинк |
0,25· 200 |
200 |
0,25 |
Медь |
200(1 – (0,25 + 2 x)) |
1 – (0,25 + 2x) |
||
Олово |
2 · x ·200 |
2x |
||
II |
Цинк |
(1 – (0,5 + x))300 |
300 |
1 – (0,5 + x) |
Медь |
0,5 · 300 |
0,5 |
||
Олово |
x· 300 |
x |
||
I+II |
Цинк |
0,25· 200 + (1 –(0,5 + x))300 |
500 |
? |
Медь |
(1 – (0,25 + 2x))200+0,5 · 300 |
? |
||
Олово |
2 · x·200 +x· 300 |
0,28 |
Становится очевидным, что уравнение можно составить по последней строке таблицы, используя зависимость m = aM:
2 · x · 200 + x· 300 = 0,28 · 500, откуда x = 0,2.
Таким образом, доля олова в первом сплаве будет 0,4, а во втором – 0,2.
Теперь выберем в качестве чистого вещества медь, и пусть y – доля меди в получившемся сплаве.
Сосчитаем по таблице 4 долю меди в первом сплаве
1 – (0,25 + 0,4) = 0,35.
Составим таблицу 5 (относительно меди).
Таблица 5
Состояние смеси |
m (кг) |
M (кг) |
a |
I |
0,35 · 200 |
200 |
0,35 |
II |
0,5· 300 |
300 |
0,5 |
I + II |
0,35 · 200 + 0,5· 300 |
500 |
y |
Составим уравнение по последней строке таблицы 5, используя зависимость m = aM:
0,35 · 200 + 0,5 · 300 = 500y.
Находим y= 0,44.
Доля меди в получившемся сплаве – 0,44. Выполним требование задачи и найдем количество меди: m = 500· 0,44 = 220.
Ответ: 220 кг.
Задача на смеси может быть усложнена дополнительными требованиями. Иногда практикуется в качестве усложняющего элемента задание на оптимальный выбор.
Подборка задач на смеси и сплавы
Все задачи соответствуют типовому стандарту B13 на ЕГЭ. Их также можно использовать для подготовки к ГИА по математике и в олимпиадной практике в 7-8 классе.
Задачи на добавление (удаление) одного вещества.
1) В 5 кг сплава олова и цинка содержится 80% цинка. Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву, чтобы процентное содержание цинка стало 40%?
2) Масса смеси, состоящей из двух вещество равна 900г. После того, как из этой смеси выделили (взяли) первого вещества и 70% второго, в ней осталось первого вещества на 18г меньше, чем второго. Сколько каждого вещества осталось в смеси?
3) В сплаве цинка и меди содержалось на 640г меньше цинка, чем меди. После того, как из этого сплава выделили (взяли) имевшейся в нем меди и 60 % цинка, получился сплав массой 200г. Найдите массу первоначального сплава.
4) Имеется 4 литра 20%-го раствора спирта. Сколько воды него нужно, чтобы получился 10%-й раствор спирта?
5) к 40%-му раствору соляной кислоты добавили 50г чистой соляной кислоты, в силу чего концентрация такого раствора стала равной 60%. Найти первоначальный вес раствора.
6) Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25% выше, чем во втором. Когда их сплавили вместе, то получили сплав, содержащий 30% серебра. Найдите вес сплавов, если в первом сплаве было 4кг, а во- втором 8 кг.
7) К раствору, содержащему 30г соли, добавили 400г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%/. Найти начальную концентрацию соли.
8) В первом сосуде растворили 0,36 л, а во втором 0,42 л чистого спирта. Процентное содержание спирта в первом сосуде оказалось на 6% больше, чем во втором. Каково процентное содержание спирта во втором и первомсосудах, если известно, что раствора в первом сосуде на 4 литра меньше?
9) К 5 килограмм сплава олова и цинка добавили 4 кг олова. Найдите первоначальное процентное содержание цинка в первоначальном сплаве, если в новом сплаве цинка стало в 2 раза меньше олова.
10) Собрали 100кг грибов. оказалось, что их влажность равна 99%. Когда их подсушили, то влажность снизилась до 95 % вода. Какова масса этих грибов после того, как их подсушили.
Комментарий к задачам: рекомендуется решать задачи на смеси и сплавы с помощью таблиц. Каждая такая таблица составляется отдельно для каждого сплава или смеси. Каждому веществу в ней отводится своя строка, в которой записываются данные о нем в классических единицах измерения (в литрах, граммах, килограммах) и в относительных (в процентах).
Задачи на смешивание
11) Имеется два раствора некоторого вещества. Один 15%-ный, а второй 65%-ный Сколько нужно взять литров каждого раствора, чтобы получить 200л раствора, содержание вещества в котором равно 30%?
12) Имеется два сплава никеля с другой сталью, в которых содержание никеля составляет 5% и 40%. Сколько тонн каждого сплава нужно сплавить, чтобы получилось 140 тонн новой стали с 30-ным содержанием никеля?
13) Имеется два разных сплава меди, процент содержания которой в первом сплаве на 40% меньше, чем во втором. Когда оба сплава соединили вместе, то новый сплав получился с 36-ным содержанием меди. Известно, что в первом сплаве было 6 кг меди, а во втором в 2 раза больше. Каково процентное содержание меди в обоих сплавах?
14) Смешали 30-ный раствор соляной кислоты с 10-ным. В итоге получилось 600г раствора с 15-ным содержанием соляной кислоты. Найдите, сколько взято было каждого раствора.
15) В какой пропорции нужно смешать 10-ный и 15-ный растворы аммиачной селитры, чтобы приготовить из них 15-ный раствор селитры.
Комментарий к задачам: в задачах на смешивание важно помнить, что вес или объем одного и того же вещества накапливается суммированием его веса по всем смешивающимся смесям. Обычно такие задачи решаются с введением двух переменных, каждая для своего начального сплава (смеси).
Задачи на выливание
16) Из бака, полностью заполненного кислотой, вылили несколько литров кислоты и долили доверху водой, затем снова вылили такое количество литров смеси и послечего в баке осталось 24 литра чистой кислоты. Емкость бака составляет 54 литра. Сколько кислоты вылили в первый раз?
17) Из бутылки, наполненной 12%-ным раствором соли, отлили 1 литр и долили 1 литр воды. В бутылке оказался 3%-нывй раствор соли . Найти вместимость бутылки.
18) В сосуде находится 10%-ный раствор соли. Из сосуда отлили его содержимого и долили водой так, что сосуд оказался заполненным на первоначального объема. Каково оказалось процентное содержание соли в сосуде?
Комментарий к задачам: при решении задач на отливание необходимо использовать главную отличительную особенность, о которой в тексты задач умалчивают: при выливании не меняется процентное содержание веществ. Значение концентрации, полученные в таблице для одного раствора нужно перенести в другую для другого раствора.
Комбинированные задачи на многократное смешивание
19) Если к сплаву меди и цинка добавить 20г меди, то содержание меди в сплаве станет равным 70%. Если же к первоначальному сплав добавить 70г сплава, содержащего 40% меди, то содержание меди станет равным 52%. Найдите первоначальный вес сплава.
20) Если к раствору спирта добавить 10 г спирта, то его концентрация станет равной 37,5%. Если же к первоначальному раствору добавить 50г раствора с 30%-ным содержанием спирта, то его концентрация станет равной 32,5%. Найти первоначальное количество спирта в растворе.
21) Если к раствору кислоты добавить 50г воды, то его концентрация станет равной 15%. Если же к первоначальному раствору добавить 50г кислоты, то его концентрация станет равной 40%. Найдите первоначальную концентрацию раствора.
22) Когда к раствору серной кислоты добавить 100г воды, то его концентрация уменьшилась на 40%. Если бы к начальному раствору добавили 100г серной кислоты, то его концентрация увеличилась бы на 10%. Какова у раствора концентрация кислоты?
.Литература:
Еремина Е.А. и др. Словарь школьника по химии: 8–11 кл., М.: Дрофа, 1997. – 208 с.
Н. И. Прокопенко. “Задачи на смеси и сплавы”. М.: Чистые пруды, 2010.
Н. В. Удальцова. “Математические шарады и ребусы” , М.: Чистые пруды, 2010, 32 с.
Шукайло А.Д. Тематические игры по химии. М.: ТЦ Сфера, 2004. – 96 с.
Кузнецова Л.В. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе. - М.: Просвещение, 2010.
Прокопенко Н.И. Задачи на смеси и сплавы.- М. :Чистые пруды, 2010 (Библиотечка «Первого сентября». Выпуск 31 )