V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Диофантовыми уравнениями называются уравнения вида P(X₁, X₂, ..., Xn) = 0, где P(X₁ ..., Xn) - многочлен с целыми коэффициентами. Названы в честь древнегреческого математика Диофанта. Обычно, произвольное неопределенное уравнение (но, как правило, все-таки с целыми коэффициентами) получает титул "диофантово", если хотят подчеркнуть, что его требуется решить в целых числах. Отметим, что проблема решения уравнений в целых числах решена только для уравнений с одним неизвестным, для уравнений первой степени и для уравнений второй степени с двумя неизвестными. Для уравнений выше второй степени с двумя или более неизвестными является достаточно трудной даже задача существования целочисленных решений. Например, не известно, имеет ли уравнение x³ + y³ + z³ = 30 хотя бы одно целочисленное решение. Более того, доказано, что в принципе не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать в целых числах произвольные диофантовы уравнения.

Рeшение диофантовых уравнений имеет не только теоритический интерес. Диофантовы уравнения часто встречаются в физике, механике, астрономии. Ими занимались Пифагор, Диофант, Брахмагупта, П.Ферма, Л.Эйлер, Ж.Л.Лагранж, К.Ф.Гаусс, П.Л.Чебышев и другие.

Рассмотрим пример решения урaвнения первой степени приведенный из монографий к.ф-м.н., доцента кафедры высшей математики Семипалатинского государственного педагогического института Кожегельдинова С. Ш. «Двухтысячелетний барьер взят». Общий вид диофантовых урaвнений первой степени с двумя переменными ax+by=c, где a,b,c ∈ Z.

Пример №1:

Решить в целых числах уравнение 7х+13y=79.

Данное уравнение имеет решение, так как свободный член делится на НОД (7,13)=1

Учитывая, что 13y=6y+7y, преобразуем уравнение:

7(x+y)+6y=79 (1)

После замены x+y= t₁ (I) это уравнение запишется следующим образом

7t₁+6y=79 (2)

Учитывая, что 7t₁=6t₁+ t₁, преобразуем уравнение:

t₁+6(t₁+y)=79 (3)

После замены t₁+y= t₂ (II) это уравнение запишется следующим образом

t₁+6t₂=79 (4)

возьмем t₂=t (III)

От (4) и (ІІІ)→t₁=79-6t

(II)→y=t₂ -t₁=t-(79-6t)= -79+7t

(I)→x=t₁-y=158-13t

Из (І) и (ІІ) уравнений составим систему уравнений:

x=158-13ty=-79+7t

Отсюда видим что вставляя вместо t целые числа мы получим бесконечное количество решений в целых числах. Следовательно, диофантово уравнение 7х+13y=79 в целых числах разрешимо и имеет бесконечное число решений.

В указанной монографий данный пример решен в множестве натуральных чисел.

Пример №2:

Решить в целых числах уравнение 5х+13y=7.

Учитывая, что 13y=2·5y+3y, преобразуем уравнение:

5(x+2y)+y=7 (1)

После замены x+2y= t₁ (I) это уравнение запишется следующим образом

5t₁+3y=7 (2)

Учитывая, что 5t₁=3t₁+ 2t₁, преобразуем уравнение:

2t₁+3(t₁+y)=7 (3)

После замены t₁+y= t₂ (II) это уравнение запишется следующим образом

2t₁+3t₂=7 (4)

Учитывая, что 3t₂=t₂+ 2t₂, преобразуем уравнение:

2(t₁+t₂)+t₂=7 (5)

После замены t₁+t₂= t₃ (III) это уравнение запишется следующим образом

2t₃+t₂=7 (6)

возьмем t₃=t (IV)

От (6) и (ІV)→t₁=t₃-t₂=-7-t

(II)→y=t₂-t₁=14-5t

(I)→x=t₁-2y=-35+13t

Из (І) и (ІІ) уравнений составим систему уравнений:

x=35+13ty=14-5t

Отсюда видим что вставляя вместо t целые числа мы получим бесконечное количество решений в целых числах. Следовательно, диофатово уравнение 5х+13y=7 в целых числах разрешимо и имеет бесконечное число решений.

Решая эти примеры мы могли определить существования целочисленных корней диофантогого уравнения вида ax+by=c, где a,b,c ∈ Z.

Код для цитирования: Скопировать