НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ - Студенческий научный форум

V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

НАХОЖДЕНИЕ СУММЫ НЕКОТОРЫХ РЯДОВ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
При изучении математики мы пользуемся различными числами - целыми, дробными, рациональными, положительными, отрицательными и т.д. Но меня заинтересовали числа, которые возникли раньше других видов и являются основанием для образования всех остальных видов чисел. Это натуральные числа. В школьном курсе математики так мало им уделяется внимания: действия над ними, чётные и нечётные, простые и составные. А оказывается так много правил и формул для работы с натуральными числами. С некоторыми из этих формул мне хочется вас познакомить.

Первая задача о нахождении суммы n первых натуральных чисел, т.е.1+2+3+…n. Сначала, например, возьмём n=7. Изобразим числа 1,2,3,4,5,6,7 соответственным числом квадратов:

   
     
       
         
           
             
             

Число клеток в этой фигуре равно сумме чисел 1+2+3+4+5+6+7. Соединим две такие фигуры:

               
               
               
               
               
               
               

Мы получили прямоугольник, у которого одна сторона содержит 8 клеток, а другая 7, следовательно, площадь прямоугольника равна 7∙8. Так как прямоугольник получился соединением двух равных фигур, то есть он изображает двойную сумму чисел 1+2+3+4+5+6+7. А значит 1+2+3+4+5+6+7 =∙

Очевидно, что построение, выполненное нами для семи чисел, может быть сделано для любого количества n первых чисел натурального ряда. Получаем формулу:

1+2+3+…+(n-1)+n =∙

Например, сумма первых 50 натуральных чисел равна =25∙51=1275.

Интересен тот факт, что указанная формула была открыта в шестилетнем возрасте впоследствии знаменитым немецким математиком Карлом Гауссом (1777-1855).

С помощью подобных рассуждений находиться и сумма первых нечётных чисел: 1+3+5+…+(2n-1).

Изобразим первые, например, пять нечётных чисел 1,3,5,7,9 фигурами:

1 - 3 - 5 - 7 7 - 9 -

Составим из них новую, дающую сумму этих чисел:

         
         
         
         
         

Получили квадрат, содержащий 52=25 квадратиков. Выполненное нами построение можно применить к любому количеству первых нечётных чисел натурального ряда и получаем формулу:

1+3+5+…+(2n-1)=n2.

Например, 1+3+…+35=182=324.

Что касается формулы суммы квадратов первых n натуральных чисел 12+22+32+…+n2, то вывести её лучше с помощью таблицы, в которой n строк и (2n+1) столбец. Сумма чисел каждого столбца 1+2+3+…+n= Так как всех столбцов 2n+1, то сумма всех чисел нижестоящей таблицы

∙(2n+1) = .

n 1 n

1

1

1

1

-

-

-

-

-

1

1

1

1

1

1

1

-

-

-

-

-

1

1

1

1

2

2

2

2

-

-

-

-

-

2

2

2

2

 

2

2

-

-

-

-

-

2

2

2

2

3

3

3

3

-

-

-

-

-

3

3

3

3

3

3

3

-

-

-

-

-

3

3

3

3

4

4

4

4

4

-

-

-

-

4

4

4

4

4

4

4

-

-

-

-

4

4

4

4

4

5

5

5

5

5

5

-

-

-

5

5

5

5

5

5

5

-

-

-

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

-

-

6

6

6

6

6

6

6

-

-

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

7

7

-

7

7

7

7

7

7

7

-

7

7

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

8

8

8

-

8

8

8

8

8

8

8

-

8

8

8

8

8

8

8

8

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

-

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

n-1

                                                 

Разделим таблицу ломаной линией на 3 части, как показано на чертеже. Правая и левая части под ломаной одинаковые. Вычислим сумму чисел, стоящих в каждой из частей таблицы. В левой части под ломаной имеем:

1=12

2+2=22

3+3+3=32

4+4+4+4=42

n+n+n+…+n=n2

Значит, числа левой части под ломаной дают в сумме 12+22+32+…+n2. Такова же сумма чисел правой части таблицы под ломаной. Найдём сумму чисел, стоящих над ломаной. Складываем их по ломаным:

1=12

1+2+1=22

1+2+3+2+1=32

1+2+3+4+3+2+1=42

…………………………….

1+2+3+….+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n2.

Итак, сумма чисел, стоящих над ломаной равна 12+22+32+…+n2.

Оказывается, что в каждой из трёх частей таблицы суммы чисел одинаковые. Выше мы нашли, что сумма всех чисел таблицы равна

и она же есть утроенная сумма12+22+32+…+n2. Значит,

3(12+22+32+…+n2) = или

(12+22+32+…+n2)=

Например, 12+22+…+1002 = = 338350.

Учёными – математиками были выведены формулы для суммы кубов первых натуральных чисел. Процесс выведения этой формулы тоже интересен – с помощью Пифагоровой таблицы, хотя давно установлен факт, что эта таблица никакого отношения к Пифагору не имеет.

1

2

3

4

5

6

7

………

n-1

 

2

4

6

8

10

12

14

………

2(n-1)

2n

3

6

9

12

15

18

21

………

3(n-1)

3n

4

8

12

16

20

24

28

………

4(n-1)

4n

5

10

15

20

25

30

35

………

5(n-1)

5n

6

12

18

24

30

36

42

………

6(n-1)

6n

7

14

21

28

35

42

49

………

7(n-1)

7n

.

.

.

.

.

.

.

………

..

..

n-1

2(n-1)

3(n-1)

4(n-1)

5(n-1)

6(n-1)

7(n-1)

 

n(n-1)

n∙n

                   

Легко убедиться, что в каждом “наугольнике” (на научном языке они называются гномами) сумма чисел даёт полный куб:

1=13

2+4+2=8=23

3+6+9+6+3=27=33

……………………….

n+2n+3n+…+(n-1)n+n∙n+(n-1)n+(n-2)n+…+3n+2n+n =

=n{1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1}}=

=n{[1+2+3+…+(n-1)+n]+[1+2+3+…+(n-1)]} = n∙n2=n3

Итак, сумма чисел таблицы, вычисленная по наугольникам, равна

13+23+33+…+(n-1)3+n3.

С другой стороны, складывая числа по строкам, имеем:

(1+2+3+…+n)+2(1+2+3+…+n)+3((1+2+3+…+n)+…+n(1+2+3+…+n) =

= (1+2+3+…+n) (1+2+3+…+n) = (1+2+3+…+n)2

Но из формулы, с которой мы познакомились в начале реферата, видим, что 1+2+3+…+(n-1)+n =. Следовательно,

 

2

 

13+23+33+…+n3 =

Позже времена были найдены формулы для сумм четвёртых, пятых, шестых и дальнейших степеней n первых чисел натурального ряда.

Свойства чисел и их последовательностей кажутся отвлечёнными и далёкими от практических вопросов. Не нужно бояться того, что какая-то теорема или формула пока ещё не имеет практического применения. Применение со временем найдётся и полезно вспомнить слова нашего крупнейшего инженера и замечательного математика А.Н.Крылова (1863-1945г.г.):

“Митрофанушка Простаков из “Недоросля” когда-то говорил, что дверь, прилаженная к своему месту, есть имя прилагательное; та же которая лежит в чулане, - имя существительное. Математические теоремы и правила по их открытии являются “существительными”, они только существуют, часто не имея приложений. Рано или поздно, иногда после сотен и тысяч лет, эти математические существительные становятся “прилагательными”, находят применение в других науках, технике, искусстве…”

Просмотров работы: 11554