V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

При изучении математики мы пользуемся различными числами - целыми, дробными, рациональными, положительными, отрицательными и т.д. Но меня заинтересовали числа, которые возникли раньше других видов и являются основанием для образования всех остальных видов чисел. Это натуральные числа. В школьном курсе математики так мало им уделяется внимания: действия над ними, чётные и нечётные, простые и составные. А оказывается так много правил и формул для работы с натуральными числами. С некоторыми из этих формул мне хочется вас познакомить.

Первая задача о нахождении суммы n первых натуральных чисел, т.е.1+2+3+…n. Сначала, например, возьмём n=7. Изобразим числа 1,2,3,4,5,6,7 соответственным числом квадратов:

Число клеток в этой фигуре равно сумме чисел 1+2+3+4+5+6+7. Соединим две такие фигуры:

Мы получили прямоугольник, у которого одна сторона содержит 8 клеток, а другая 7, следовательно, площадь прямоугольника равна 7∙8. Так как прямоугольник получился соединением двух равных фигур, то есть он изображает двойную сумму чисел 1+2+3+4+5+6+7. А значит 1+2+3+4+5+6+7 =∙

Очевидно, что построение, выполненное нами для семи чисел, может быть сделано для любого количества n первых чисел натурального ряда. Получаем формулу:

1+2+3+…+(n-1)+n =∙

Например, сумма первых 50 натуральных чисел равна =25∙51=1275.

Интересен тот факт, что указанная формула была открыта в шестилетнем возрасте впоследствии знаменитым немецким математиком Карлом Гауссом (1777-1855).

С помощью подобных рассуждений находиться и сумма первых нечётных чисел: 1+3+5+…+(2n-1).

Изобразим первые, например, пять нечётных чисел 1,3,5,7,9 фигурами:

1 - 3 - 5 - 7 7 - 9 -

Составим из них новую, дающую сумму этих чисел:

Получили квадрат, содержащий 5²=25 квадратиков. Выполненное нами построение можно применить к любому количеству первых нечётных чисел натурального ряда и получаем формулу:

1+3+5+…+(2n-1)=n².

Например, 1+3+…+35=18²=324.

Что касается формулы суммы квадратов первых n натуральных чисел 1²+2²+3²+…+n², то вывести её лучше с помощью таблицы, в которой n строк и (2n+1) столбец. Сумма чисел каждого столбца 1+2+3+…+n= Так как всех столбцов 2n+1, то сумма всех чисел нижестоящей таблицы

∙(2n+1) = .

n 1 n

1	1	1	1	-	-	-	-	-	1	1	1	1	1	1	1	-	-	-	-	-	1	1	1	1
2	2	2	2	-	-	-	-	-	2	2	2	2		2	2	-	-	-	-	-	2	2	2	2
3	3	3	3	-	-	-	-	-	3	3	3	3	3	3	3	-	-	-	-	-	3	3	3	3
4	4	4	4	4	-	-	-	-	4	4	4	4	4	4	4	-	-	-	-	4	4	4	4	4
5	5	5	5	5	5	-	-	-	5	5	5	5	5	5	5	-	-	-	5	5	5	5	5	5
6	6	6	6	6	6	6	-	-	6	6	6	6	6	6	6	-	-	6	6	6	6	6	6	6
7	7	7	7	7	7	7	7	-	7	7	7	7	7	7	7	-	7	7	7	7	7	7	7	7
8	8	8	8	8	8	8	8	-	8	8	8	8	8	8	8	-	8	8	8	8	8	8	8	8
-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1	n-1

Разделим таблицу ломаной линией на 3 части, как показано на чертеже. Правая и левая части под ломаной одинаковые. Вычислим сумму чисел, стоящих в каждой из частей таблицы. В левой части под ломаной имеем:

1=1²

2+2=2²

3+3+3=3²

4+4+4+4=4²

n+n+n+…+n=n²

Значит, числа левой части под ломаной дают в сумме 1²+2²+3²+…+n². Такова же сумма чисел правой части таблицы под ломаной. Найдём сумму чисел, стоящих над ломаной. Складываем их по ломаным:

1=1²

1+2+1=2²

1+2+3+2+1=3²

1+2+3+4+3+2+1=4²

…………………………….

1+2+3+….+(n-1)+n+(n-1)+…+3+2+1=n^2.

Итак, сумма чисел, стоящих над ломаной равна 1²+2²+3²+…+n².

Оказывается, что в каждой из трёх частей таблицы суммы чисел одинаковые. Выше мы нашли, что сумма всех чисел таблицы равна

и она же есть утроенная сумма1²+2²+3²+…+n². Значит,

3(1²+2²+3²+…+n²) = или

(1²+2²+3²+…+n²)=

Например, 1²+2²+…+100² = = 338350.

Учёными – математиками были выведены формулы для суммы кубов первых натуральных чисел. Процесс выведения этой формулы тоже интересен – с помощью Пифагоровой таблицы, хотя давно установлен факт, что эта таблица никакого отношения к Пифагору не имеет.

1	2	3	4	5	6	7	………	n-1
2	4	6	8	10	12	14	………	2(n-1)	2n
3	6	9	12	15	18	21	………	3(n-1)	3n
4	8	12	16	20	24	28	………	4(n-1)	4n
5	10	15	20	25	30	35	………	5(n-1)	5n
6	12	18	24	30	36	42	………	6(n-1)	6n
7	14	21	28	35	42	49	………	7(n-1)	7n
.	.	.	.	.	.	.	………	..	..
n-1	2(n-1)	3(n-1)	4(n-1)	5(n-1)	6(n-1)	7(n-1)		n(n-1)	n∙n

Легко убедиться, что в каждом “наугольнике” (на научном языке они называются гномами) сумма чисел даёт полный куб:

1=1³

2+4+2=8=2³

3+6+9+6+3=27=3³

……………………….

n+2n+3n+…+(n-1)n+n∙n+(n-1)n+(n-2)n+…+3n+2n+n =

=n{1+2+3+…+(n-1)+n+(n-1)+(n-2)+…+3+2+1}}=

=n{[1+2+3+…+(n-1)+n]+[1+2+3+…+(n-1)]} = n∙n²=n³

Итак, сумма чисел таблицы, вычисленная по наугольникам, равна

1³+2³+3³+…+(n-1)³+n³.

С другой стороны, складывая числа по строкам, имеем:

(1+2+3+…+n)+2(1+2+3+…+n)+3((1+2+3+…+n)+…+n(1+2+3+…+n) =

= (1+2+3+…+n) (1+2+3+…+n) = (1+2+3+…+n)²

Но из формулы, с которой мы познакомились в начале реферата, видим, что 1+2+3+…+(n-1)+n =. Следовательно,

 

2

 

1³+2³+3³+…+n³ =

Позже времена были найдены формулы для сумм четвёртых, пятых, шестых и дальнейших степеней n первых чисел натурального ряда.

Свойства чисел и их последовательностей кажутся отвлечёнными и далёкими от практических вопросов. Не нужно бояться того, что какая-то теорема или формула пока ещё не имеет практического применения. Применение со временем найдётся и полезно вспомнить слова нашего крупнейшего инженера и замечательного математика А.Н.Крылова (1863-1945г.г.):

“Митрофанушка Простаков из “Недоросля” когда-то говорил, что дверь, прилаженная к своему месту, есть имя прилагательное; та же которая лежит в чулане, - имя существительное. Математические теоремы и правила по их открытии являются “существительными”, они только существуют, часто не имея приложений. Рано или поздно, иногда после сотен и тысяч лет, эти математические существительные становятся “прилагательными”, находят применение в других науках, технике, искусстве…”

Код для цитирования: Скопировать