V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Экстраполятор трения пластины является базой для прогнозирования вязкостного сопротивления воды движению судна при его безотрывном обтекании. Аналитические экстраполяторы трения основаны на решениях уравнений движения жидкости при заданном профиле скорости в пограничном слое (ПС). При этом особенности движения жидкости в ламинарном подслое не учитываются [1,2,3,4,…]. Кроме того, им присущи значительные погрешности в области средних чисел Рейнольдса. Для устранения этого недостатка часто применяют эмпирические зависимости [2,5].

В работе разрабатываются экстраполяторы трения на основании решения уравнения движения жидкости в ламинарном подслое. В результате для пристеночной области движение жидкости описывается уравнением Лапласа [1]:

∂2υx∂x2+∂2υx∂y2=0. (1)

_{Наиболее простым способом отыскания проекции скорости вдоль пластины x является разделение переменных , с учетом которого решение уравнение определяется функцией вида:}

_{. (2)}

_{Постоянные А1 и А2 определяются как:}

_{, (3)}

_{а именно из значений касательных напряжений 00 на носике пластины (при х=0) и 0L – конце пластины (при х=L). Соответствующий закон изменения касательных напряжений по длине пластины примет вид}

_{. (4)}

_{В настоящее время [1,2,5,…] в пристеночной области x описывается линейным законом , который удовлетворяет уравнению движения (1) и хорошо согласуется с экспериментально подтвержденным фактом [5], что}

₍₅₎

_{в области ламинарного подслоя и переходной зоне по толщине ПС при . По существу линейная зависимость для x является частным тривиальным решением (1). Решение вида (2) более общим и не противоречит условию (5). Невозможность точного определения  из условия (5) не исключает возможности использования (4) для определения экстраполятора трения Cf для пластины. В этом случае  можно рассматривать как коэффициент, определяемый из условия согласования Cf с экспериментальными данными. Для этого случая выражение для экстраполятора будет, конечно, полуэмпирическим. Но используемые в настоящее время экстраполяторы, например, Прандтля-Шлихтинга,}

Cf=0.455(lgRe)2.58 ₍₆₎

_{так же являются полуэмпирическими, за счет корректировки выполненной Шлихтингом (по экспериментальным данным) [2] для решения полученного Прандтлем.}

_{Перейдем к определению структурной зависимости для экстраполятора трения Cf0. Коэффициент трения пластины единичной ширины, длиной L определится в результате суммирования касательных напряжений по длине пластины,}

Cf0=Rтрρυ22∙L∙1=20Lτ0dxρυ2L , (7)

которая при λL~δL-1 и thλL2→1, дает соотношение:

Cf0=2(τ00-τ0L)λLρυ2 . (8)

_{Формула (8) кроме неопределенного члена L содержит значения касательных напряжений 00 и 0L в носике и на конце пластины. Для их определения воспользуемся интегральным соотношением для ПС пластины [1]: , где - толщина потери импульса ПС. Тогда структура формулы для экстраполятора трения Cf0 будет:}

_{, (9)}

_{что хорошо согласуется с известным решением для Cf0, полученным из интегрального соотношения [1]: . Относительная толщина на задней кромке пластины δL}^**_{/L, в настоящее время, может быть определена по одной из следующих формул [1,2,5,…]:}

δL**L=a(lgRe)n (10)

δL**L=a(lgmRe)n (11)

δL**L=a(lgRe)n+b(lgRe)m (12)

_{Коэффициенты a,n,m,b в них определяются из экспериментальных данных для пластины обобщённых Шлихтингом [2] и Г.Е. Павленко [7].}

В результате обработки этих данных (с использованием метода наименьших квадратов и исключением явных промахов) получены следующие экстраполяторы трения:

Сf0=0.486/(lgRe)-2.612 (13)

Cf0=9.48∙1014lgRe+24.08-11.722 (14)

Cf0=0.229(lgRe)-2.705+0.262(lgRe)-2.532 (15)

Эти зависимости приведены на рис. 1, где (для сравнения) нанесены и другие экстраполяторы трения.

Рисунок 1– Экстраполятор трения. Обобщение экспериментальных данных (точки):

1 – по формуле Прандтля-Шлихтинга Cf0=0.455/(lgRe)2.58; 2 – по формуле

А.Ф. Пустошного и В.М. Котловича Cf0=0.323/(lgRe)2.45; 3 – по формуле МКОБ

Cf0=0.075/(lgRe-2)2; 4, 5, 6 – по формулам (15), (13), (14) соответственно.

Анализируя результаты приходим к следующим выводам:

- экстраполятор трения (13) Сf0=0.486/(lgRe)-2.612хорошо соответствует обобщенным экспериментальным данным (рисунок 1). При этом его значения численно близки к соответствующим значениям, полученным с использованием экстраполятора Прандтля-Шлихтинга. Но в тоже время, этот экстраполятор частично устраняет недостаток отмечаемый для формулы Прандтля-Шлихтинга – занижение значений трения при малых числах Рейнольдса;

- экстраполяторы трения (14) и (15) полученные исходя из более детального анализа характеристик ПС на пластине хорошо согласуются с экспериментальными данными в области чисел Рейнольдса Re>1•10⁷, где все экстраполяторы практически идентичны. В области более малых Re экстраполятор (15) завышает значения C_f0, а (14) приводит к занижению этих значений. Таким образом, область их применения ограничена Re>1•10⁷ при большей точности (14).

ЛИТЕРАТУРА

1. Войткунский Я.И., Фадеев Ю.И, Федяевский К.К. Гидромеханика. Л.: Судостроение, 1982. – 456 с.

2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974 . – 711 с.

3. Кошкин С.В., Селиванов Е.И., Тарануха Н.А., Шадрин М.П. Модернизация и развитие дальневосточного опытового бассейна КнАГТУ. Л.: Морские интеллектуальные технологии, специальный выпуск №2, 2011. – 45 с.

4. Кошкин С.В., Селиванов Е.И., Тарануха Н.А., Шадрин М.П. Методика обработки результатов буксировочных испытаний моделей судов в опытовом бассейне. Л.: Ученые записки КнАГТУ, № II-1(6), 2011. – 86 с.

5. Кацман Ф.М., Пустошный А.Ф., Штумпф В.М. Пропульсивные качества морских судов, Л.: Судостроение, 1972. – 512 c.

6. Ротта И.К. Турбулентный пограничный слой в несжимаемой жидкости. Л.: Судостроение, 1967. – 226 с.

7. Павленко Г.Е. Сопротивление воды движению судов. М.: Морской транспорт,1956. – 508 с.

Код для цитирования: Скопировать