V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

В разделе математики «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» мы изучили скалярное, векторное и смешанное произведения векторов. Я случайно увидел в некоторых книгах информацию о двойном векторном произведении и решил подробнее узнать о нём и его свойствах.

Пусть вектор aумножается векторно на вектор b, после чего полученный вектор a×bумножается снова векторно на вектор c. В результате получается так называемое двойное векторное произведение(a×b)×c=d(ясно, что в результате имеемd- вектор).

Двойное векторное произведение вычисляется по формуле

a×b×c=b∙ac-a∙bc. (1)

В общем случае, a×b×c≠a ×b×c. Покажем это, используя свойства векторного и скалярного произведения двух векторов

a ×b×c=-b×c×a=c×b×a=b∙ac-c∙ab. (2)

Из сопоставления формул (1) и (2) можно вывести следующее правило для запоминания: двойное векторное произведение равно произведению среднего вектора на скалярное произведение двух других, минус крайний вектор скобки, умноженный на скалярное произведение двух другихилиговорятa ×b×cравно «б а ц»минус«ц а б».

При круговой перестановке векторов a,b, c формула (1) приводит к трем разным векторам:

a×b×c=b∙ac-a∙bc

b×c×a=с∙ab-b∙ac

c×a×b=a∙bc-c∙ab

Складывая вместе эти три равенства, получим тождество

a×b×c+b×c×a+c×a×b=0.

Одно из применений формулы (2) состоит в выводе разложения данного вектора b, на две компоненты, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна к заданному вектору a. В самом деле, положив в формуле (2) c=a, найдем:

a ×b×a=b∙aa-a∙ab=b∙a2-a∙ab

Решая это уравнение относительно b, получим:

b=aba2∙a+1a2a ×b×a (3)

Первый из слагаемых векторов правой части, очевидно, параллелен вектору a, а второй перпендикулярен к нему.Формула (3) для разложения упрощается, если a есть единичный вектор. Тогда a2=1 и формула (3) примет вид:

b=ab∙a+a ×b×a.

Рассмотрим следующий пример:

показать, что если a ⊥b, тоa ×a ×a ×a ×b=a4∙b.

По формуле (2) имеем

a ×a ×b=aab-b∙aa=-b∙a2, т.к. ab=0 (a ⊥b).

Умножая векторно слева на a, получим:

a ×a ×a ×b=a ×-b∙a2=-a2a ×b=a2b ×a.

Повторяя ту же операцию, найдем:

a ×a ×a ×a ×b=a ×a2∙b ×a=a2∙a ×b ×a=

=a2∙a ×b ×a=a2∙b∙aa-a∙ab=a2∙b∙a2=a4∙b,

что и требовалось.

Таким образом, я познакомился с двумя случаями произведений трех векторов в трехмерном пространстве: скалярно-векторное (в результате получаем число) и двойное векторное произведение (в результате получаем вектор).

Использованная литература

Н. Е Кочин «Введение в векторный и тензорный анализ».

Д.В.Клетеник «Сборник задач по аналитической геометрии»

В.Н. Задорожный, В.Ф. Зальмеж, А.Ю. Трифонов, А.В. Шаповалов

«Высшая математика для технических университетов. Линейная алгебра: Учебное пособие».

Код для цитирования: Скопировать