РАЗРАБОТКА МОДЕЛЕЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА АЛЬТЕРНАТИВ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Соколова А.Ю. 1

1Владимирский государственный университет имени А.Г. и Н.Г. Столетовых

Работа в формате PDF

10.3 MB

Сертификат участника

Комментарии

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Задача многокритериального выбора альтернатив и возможные методы ее решения

1.1 Принятие решений

1.2 Выбор продуктовых программ в инвестиционной деятельности

1.3 Особенности информации в экономике

1.4 Анализ существующих методов решения (возможности и недостатки)

1.4.1 Классификация методов многокритериального выбора альтернатив

1.4.2 Метод анализа иерархий

1.4.3 Декомпозиционные методы теории ожидаемой полезности

1.4.4 Методы деревьев решений

1.4.5 Методы теории нечетких множеств

1.4.6 Нечеткие деревья решений

1.4.7 Выбор метода. Нечеткие множества второго порядка

2. Нечетко-множественный подход

2.1 Нечеткие множества первого порядка

2.1.1 Основные понятия

2.1.2 Операции. Принципы выполнения

2.1.3 Нечеткий вывод

2.1.4 Многокритериальный выбор альтернатив с использованием правила

нечеткого вывода

2.1.5 Расширение возможностей нечетко-множественного подхода

2.2 Нечеткие множества второго порядка

2.2.1 Сопоставление нечетких множеств первого и второго порядков

2.2.2 Специфика нечетких множеств второго порядка

2.2.3 Операции над ИНМТ-2

2.2.4 Нечеткий вывод для нечетких множеств второго порядка

2.2.5 Понижение типа нечеткого множества второго порядка

2.2.6 Алгоритм нечеткого вывода для ИНМТ-2

2.2.7 Преимущества и ограничения методов, основанных на НМ-2

3. Разработка и тестирование программного средства

3.1 Применение программных средств с нечеткой логикой

3.2 Анализ существующих программных средств

3.2.1 MATLAB

3.2.2 FuzzyTECH

3.3 Описание разработанного программного средства

3.4 Описание решаемой задачи. Основные условия

3.5 Расчет показателей без программного средства

3.6 Расчет показателей при помощи программного средства

3.7 Выводы

Заключение

Библиографический список

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ВВЕДЕНИЕ

Как в жизни отдельного человека, так и в повседневной деятельности организаций или общества в целом, принятие решений является важнейшей составляющей, которая определяет будущее. Под принятием решений понимают особый процесс человеческой деятельности, направленный на выбор наилучшего варианта из возможных действий. [1]

На выбор решения определяющее воздействие оказывают результаты анализа их последствий, но, к сожалению, очень сложно точно рассчитать и оценить последствия для подавляющего большинства решений, принимаемых человеком. В рамках возможностей человека лишь предположение о результате определенного варианта. Из-за того, что далеко не всегда удается учесть все факторы, влияющие на результат принятого решения, такое предположение может оказаться неверным.

На сегодняшнем этапе развития вычислительной техники, компьютеры во много раз превосходят человека в скорости и точности вычислений, но с другой стороны, люди обладают уникальным умением быстро оценивать обстановку, выделять главное и отбрасывать второстепенное, соизмерять противоречивые оценки, восполнять неопределенность своими догадками.

Но, несмотря на это, количество ошибочных решений велико, и вместе с развитием человеческого общества и тенденций к глобализации, возрастает сила их отрицательного влияния. Поэтому однажды и возникла необходимость в создании средств, которые помогут человеку в принятии решений.

В данной работе была рассмотрена одна из важнейших групп этих средств, а именно методов поддержки принятия решения при нескольких критериях.

Все эти методы объединены в теории принятия решений, которая и является теоретической основой для данной области. Именно в ее рамках и стали развиваться методы, которые помогали решать важные жизненные задачи и лежат в основе систем поддержки и принятия решений.

Системы поддержки принятия решений могут использоваться для различных задач и на различных уровнях принятия решений. Так, например, они могут быть полезны при анализе и прогнозировании динамики конъюнктуры рынка, при разработке стратегии развития организации, при оценке потенциала предприятия и проектов его реконструкции или технического перевооружения, повышения качества выпускаемой продукции и т.д. [2]

1 ЗАДАЧА МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА АЛЬТЕРНАТИВ

И ВОЗМОЖНЫЕ МЕТОДЫ ЕЕ РЕШЕНИЯ

1.1 Принятие решений

В последнее время наблюдается такая тенденция в разработке методов принятия решения, как приближение описания и формализации задачи к естественному человеческому языку и пониманию. Зачастую эксперту сложно однозначно оценить объект по некоторому критерию, возникают сомнения и поиски усредненной оценки. Но нередко затруднения в точном определении значения возникают не из-за недостатка опыта, а как раз, наоборот, из-за интуитивного понимания размытости оценки. Излишняя точность понятия может привести к потере части наилучших альтернатив или неправильному их ранжированию, если таковое применяется. Поэтому возникает необходимость разработки все более гибких по отношению к человеческому восприятию информации методов, позволяющих учитывать неопределенность все в большем количестве измерений.

Но, так или иначе, для начала необходимо разобрать саму основу, к которой и будут применены новые алгоритмы. В нашем случае - это момент времени, когда человеку или целой группе людей необходимо принять решение, от которого зависит дальнейшая деятельность технической, экономической или какой-либо иной системы. Данная ситуация определена в теории принятия решений. Сформулируем основные понятия, которые будут использоваться в данной работе, и дадим определение самой задачи.

Задача принятия решений (ЗПР) — одна из самых распространенных в любой предметной области. Например, в экономике при планировании стратегий, подборе персонала, а также в технических областях, когда необходимо разработать проектное или конструкторское решение, часто приходится решать эту задачу.

Процесс принятия решений сводится к выбору одной или нескольких лучших альтернатив из некоторого набора. Для того чтобы сделать такой выбор, необходимо четко определить цель и критерии (показатели качества), по которым будет проводиться оценка некоторого набора альтернативных вариантов. Выбор метода решения такой задачи зависит от количества и качества доступной информации. Данные, необходимые для осуществления обоснованного выбора, можно разделить на четыре категории: информация об альтернативных вариантах, информация о критериях выбора, информация о предпочтениях, информация об окружении задач. [3]

Рассмотрим некоторые из этих параметров более подробно.

Альтернативы

Любая задача выбора начинается с обзора и описания перечня доступных альтернатив или набора решений. Можно сказать, что именно их существование и порождает саму необходимость принятия решения.

Альтернативы также будем называть множеством допустимых (возможных) решений X. Часто этот термин подразумевает под собой еще и варианты, планы, стратегии.

Логично предположить, что минимальное количество элементов данного множества равно двум, так как это подразумевает существование выбора. Верхнюю границу нельзя четко обозначить, в теории количество предлагаемых альтернатив может быть бесконечно, на практике же все обуславливается разумным смыслом и вычислительными мощностями. Такова их природа.

Наилучшее решение

Выбор самого решения состоит в выделении среди множества X наилучшего (выбранного) варианта. Следует заметить, что часто возникает ситуация, когда выбирается не одно, а целый набор решений, являющийся определенным подмножеством множества допустимых решений X.

Задачи многокритериального выбора имеют определенную сложность, которая заключается в невозможности априорного выделения наилучшего варианта. Само понятие «наилучшего» зависит от психологического восприятия ситуации человеком и от множества факторов, которые на данный момент развития науки и математического аппарата невозможно учесть в модели.

Обозначим множество выбираемых решений C(X). Оно представляет собой решение задачи выбора и принадлежит к множеству допустимых решений X(является любым из его подмножеств). Таким образом, решить задачу выбора - означает найти подмножество CX, CX⊂X. Когда множество выбираемых решений не содержит ни одного элемента (т.е. пусто), собственно выбора не происходит, так как ни одно решение не оказывается выбранным. Подобная ситуация не представляет практического интереса, так как для того, чтобы выбор состоялся, множество C(X) должно содержать, по крайней мере, один элемент. В некоторых задачах оно может оказаться бесконечным [4].

Лицо, принимающее решение

Процесс выбора невозможен без наличия того, кто осуществляет этот выбор, преследуя свои цели. Человека (или целый коллектив, подчиненный достижению определенной цели), который производит выбор и несет полную ответственность за его последствия, называют лицом, принимающим решение (сокращенно: ЛПР). Причем, в рамках задачи важны лишь те характеристики ЛПР, которые участвуют в ее решении, как, например, опыт в данной области и психологические особенности.

Векторный критерий

Обычно считается, что выбранным (а потому – приемлемым, выгодным, лучшим) является такое допустимое решение, которое наиболее полно удовлетворяет желаниям, интересам или целям данного ЛПР. Стремление ЛПР достичь определенной цели нередко в математических терминах удается выразить в виде максимизации (или минимизации) некоторой числовой функции, заданной на множестве X . Однако в более сложных ситуациях приходится иметь дело не с одной, а сразу несколькими подобного рода функциями. Такое встречается при рассмотрении объекта с различных точек зрения, в динамике или поэтапно, когда для каждого случая необходимо формировать функцию.

Будем считать, что задан набор числовых функций f1, f2, …,fm, m≥2, определенных на множестве возможных решений X . В зависимости от содержания задачи выбора эти функции именуют критериями оптимальности, критериями эффективности или целевыми функциями

Указанные выше числовые функции f1, f2, …,fm образуют векторный критерий

f=f1, f2, …,fm, (1.1)

который принимает значения в пространстве m -мерных векторов R^m. Это пространство называют критериальным пространством или пространством оценок, а всякое значение fx=(f1x, f2x,…,fm(x))∈Rmвекторного критерия f при определенном x∈Xименуют векторной оценкой возможного решения x . Все возможные векторные оценки образуют множество возможных оценок (возможных или допустимых векторов)

Y=fx=y∈Rm y=fx при некотором x∈X}. (1.2)

Наряду с множеством выбираемых решений удобно ввести в рассмотрение множество выбираемых векторов (выбираемых оценок)

CY=fCX=y∈Y y=fxпри некотором x∈C(X)}, (1.3)

представляющее собой некоторое подмножество множества Y .

Как правило, между множествами возможных решений X и соответствующим множеством векторов Y можно установить взаимно однозначное соответствие, т.е. каждому возможному решению поставить в соответствие определенный возможный вектор, и обратно – каждому возможному вектору сопоставить определенное возможное решение. [4]

Многокритериальная задача

Задачу выбора, которая включает множество допустимых решений X и векторный критерий f , обычно называют многокритериальной задачей или задачей многокритериальной оптимизации.

Отношения предпочтения

Рассмотрим два допустимых решения x'и x'' . Предположим, что после предъявления ЛПР этой пары решений, оно выбирает (отдает предпочтение) первому из них. В этом случае пишут x'≻Xx''.

Знак ≻Xслужит для обозначений предпочтений данного ЛПР, выражаемых отношением строгого предпочтения, или короче – отношением предпочтения.

Модель многокритериального выбора

Теперь можно сформулировать все основные компоненты задачи многокритериального выбора.

Постановка всякой задачи многокритериального выбора включает

1) множество возможных решений X ,

2) векторный критерий f вида (1.1),

3) отношение предпочтения ≻X.

Задача многокритериального выбора состоит в отыскании множества выбираемых решений CX, CX⊂X, с учетом его отношения предпочтения ≻Xна основе заданного векторного критерия f , отражающего набор целей ЛПР.[4]

1.2 Выбор продуктовых программ в инвестиционной деятельности

Нужно отметить, что чаще всего задачи принятия решения встречаются в экономической отрасли, причем присущи любому уровню управления. Хотя они различаются по важности, первоочередности и сложности, но являются определяющими для успешной деятельности экономических субъектов.

Особенно часто возникает потребность долгосрочного прогнозирования поведения экономических систем. К разряду таких задач относится инвестиционная деятельность. Высокий риск, присущий ей, делает неизбежным использование всевозможных методик расчетов, помогающих дать более точную оценку будущих результатов.

Одной из нескольких причин инвестиционной деятельности предприятий является, в первую очередь, экономический интерес. Учитывая, что потребности как частных, так и корпоративных пользователей изменяются с течением времени, организация не может быть уверена в том, что ее сегодняшний продуктовый портфель будет приносить аналогичный доход и завтра. Именно поэтому инвестиционная деятельность столь важна для каждой организации и каждая организация стремится в ней преуспеть.

Приведем основополагающие понятия этой деятельности.

Инвестиции - временный отказ экономического субъекта от потребления имеющихся в его распоряжении ресурсов (капитала) и использование этих ресурсов для увеличения в будущем своего благосостояния.

Инвестиционный проект - план или программа мероприятий, связанных с осуществлением капитальных вложений с целью их последующего возмещения и получения прибыли.

Инвестиционный процесс - развернутая во времени реализация инвестиционного проекта. Началом инвестиционного процесса является принятие решения об инвестициях, а концом - либо достижение всех поставленных целей, либо вынужденное прекращение осуществления проекта.

Оценке инвестиционных проектов посвящено много работ и методик. В реальной экономической жизни на окончательном выборе инвестиционного проекта планирование может быть не закончено.

Часто возникает ситуация, что в рамках инвестиционного проекта может быть выделено несколько продуктовых программ. Подобный выбор дальнейшего направления инвестирования, называется продуктовым планированием.

При продуктовом планировании в рамках стратегического планирования должны решаться следующие основные задачи.

Следует определить, рассматривать ли в качестве альтернативных (будущих продуктовых программ) существующие или новые продукты на действующих или новых рынках. Здесь необходимо заметить, что, говоря о существующих продуктах, имеем в виду, что эти продукты будут иметь другие потребительские свойства.

Альтернативные решения рассматриваются на двух уровнях: на уровне полей бизнеса и на уровне предприятия.

На уровне полей бизнеса альтернативные программы формируются по отдельным продуктам и продуктовым группам; на уровне предприятия в целом – из комбинаций полей бизнеса.

В общем виде альтернативные решения являются различным образом сформированными возможными комбинациями будущих продуктовых программ, дифференцированных по ряду показателей (критериев) и по времени. Выбранная альтернатива включает в себя также и решение о рыночной стратегии, то есть расширение старых рынков или открытие новых.

Для оценки возможных продуктовых и производственных альтернатив очень важен анализ полезности и целевых издержек продуктов и производства. Для такого анализа разрабатывают так называемые профили оценок продуктов и производства: сначала грубых, а затем для представляющих интерес продуктов детальных.

Приведем вариант профиля оценки нового продукта и возможный перечень критериев:

Вклад в покрытие постоянных затрат и прибыль;
Затраты капитала:

- - в основные средства;
  - в оборотные средства.

Пригодность для НИОКР ноу-хау;
Техническое исполнение;
Пригодность для сбыта, система маркетинга;
Система распределения;
Пригодность для производства, наличие технологий;
Наличие мощностей;
Пригодность для снабжения, доступность сырья (материалов)»;
Зависимость от поставщиков;
Пригодность для утилизации, повторное (дальнейшее) использование;
Повторная (дальнейшая) утилизация;
Общая оценка пригодности.

Новые продуктовые программы отличаются тем, что на момент принятия решенийнет полной информации или информация имеет расплывчатый характер. Оценка альтернатив по приведенным критериям будет носить экспертный характер и полагаться на интуитивные суждения.

Для начала процесса анализа необходимо задать математическую модель задачи.

Построение математической модели задачи принятия решения сводится к заданию двух структур: реализационной структуры и оценочной структуры. Реализационная структура отражает зависимость между выбираемыми альтернативами и возникающими исходами. С помощью оценочной структуры производится субъективная оценка возникающих исходов с точки зрения принимающего решение.

Ситуация оценки продуктовой программы подходит под модель задачи многокритериального выбора. Это позволяет предложить формализованную модель этих систем.

Введем в рассмотрение множества:

(1.4) – множество возможных продуктовых программ;

(1.5)

– множество альтернатив, элементами которого являются различные комбинации продуктовых программ, при этом комбинации образуются как по множеству, так и по времени, то есть – это некоторое подмножество Р. В частном случае , то есть альтернатива содержит только одну продуктовую программу;

(1.6)

– множество рыночных стратегий, которые могут рассматриваться как для конкретной продуктовой программы, так и для их совокупности. Поэтому в дальнейшем будем полагать, что некоторая альтернатива включает в себя элементы множеств P и S;

(1.7)

– множество критериев, по которым осуществляется оценка продуктовых программ и альтернатив. В качестве таких критериев можно, например, рассматривать влияние на показатели оборота, размеры денежных потоков, а также капитала и имущества в будущих периодах, уровень риска, очевидно, могут использоваться и немонетарные показатели (критерии) [5].

1.3 Особенности информации в экономике

Экономическая информация, пожалуй, является самой разнообразной по типу и темпам изменения, поэтому, метод помогающий произвести выбор в данной отрасли, можно применять и по отношению к более устойчивым областям, как, например, техническая или медицинская.

Исходя из этого, данная работа направлена на решение именно задач многокритериального выбора в экономической среде.

Важной отличительной особенностью внешней среды предприятия является наличие рыночной неопределенности, поскольку на него воздействуют неконтролируемые факторы внешней среды. В рыночных условиях, когда внешняя среда стала менее благоприятной, а конкуренция – более жесткой, роль научного подхода в решении актуальных задач управления деятельностью любого предприятия (фирмы, банка) резко возрастает.

В современных условиях предприятие должно само определять и прогнозировать параметры внешней среды, ассортимент продукции и услуг, цены, поставщиков, рынки сбыта, свои долгосрочные цели и стратегию их достижения.

Неопределенность, присутствующая в задачах управления деятельностью любого предприятия (фирмы, банка), характеризуется размытостью используемых мнений и оценок экспертов, неполнотой и нечеткостью информации об основных параметрах и условиях анализируемой задачи. Эта неопределенность создается как за счет действий других субъектов экономики, преследующих собственные интересы, так и за счет неполноты имеющейся у предприятия информации о сложившейся экономической обстановке.

Таким образом, она приводит к значительному повышению сложности задач управления деятельностью предприятия и порождается множеством факторов. Сочетание этих факторов на практике создаёт обширный спектр различных видов неопределённости. Поэтому и возникает необходимость использования методов, которые позволяют использовать размытые значения показателей.

О типе информации

Следует отметить, что очень важный момент, как для процесса сбора, так и для процессов анализа и обработки данных - это определение того является ли информация количественной или неколичественной (качественной).

Количественная информация, если она достаточно надежна, обладает тем преимуществом, что позволяет использовать точные математические методы и модели и определять тенденции развития ситуации с определенной точностью, с указанием доверительных интервалов, возможных погрешностях при расчетах и т.д. Однако необходимо отметить, что круг проблем, для которых удается разработать адекватные математические модели, оказывается значительно уже того множества ситуаций, в которых необходимо принимать реальные решения.

Значительно чаще в задачах принятия решений приходится иметь дело с ситуациями, когда данные представлены в виде вербальных (словесных) описаний, когда оценки получены с помощью вербальных или вербально числовых шкал, когда имеется информация лишь о сравнительных оценках альтернативных вариантов, то есть информация имеет качественный характер.

Существуют также ситуации, когда полученная количественная информация не может быть «вписана» ни в одну из имеющихся математических моделей, и должна быть проанализирована с помощью специально разрабатываемых методов качественного анализа.

Экономические задачи часто сочетают и числовое, и вербальное описание. Поэтому метод, имеющий возможности обработки количественной и качественной информации, найдет широкое применение и позволит получить более адекватные (соответствующие) анализируемой ситуации результаты.

Тип информации может быть использован как один из критериев при классификации методов принятия решения.[3]

1.4 Анализ существующих методов решения

(возможности и недостатки)

1.4.1 Классификация методов многокритериального выбора альтернатив

Эффективность решения задачи во многом зависит от правильности подбора метода. Чтобы не ошибиться с выбором, нужно четко осознавать все особенности поставленной задачи и сопоставить их с возможностями и ограничениями методов, которые могут использоваться на первый взгляд. Сама задача принятия решения при множестве критериев была описана разделом выше, поэтому перейдем к выбору метода.

Существует множество классификаций методов принятия решений, основанных на применении различных признаков (критериев). В табл. 1.1 приведена одна из возможных классификаций, признаками которой являются содержание и тип получаемой экспертной информации.

Таблица 1.1 - Классификация методов принятия решений

№ п/п

Содержание информации

Тип информации

Метод принятия решений

Экспертная информация не требуется

Метод доминирования

Метод на основе глобальных критериев

Информация о предпочтениях на множестве критериев

Качественная информация

Количественная оценка предпочтительности критериев

Количественная информация о замещениях

Лексикографическое упорядочение

Сравнение разностей критериальных оценок

Метод припасовывания

Методы "эффективность-стоимость"

Методы свертки на иерархии критериев

Методы порогов

Методы идеальной точки

Метод кривых безразличия

Методы теории ценности

Продолжение таблицы 1.1

№ п/п

Содержание информации

Тип информации

Метод принятия решений

Информация о предпочтительности альтернатив

Оценка предпочтительности парных сравнений

Методы математического программирования

Линейная и нелинейная свертка при интерактивном способе определения ее параметров

Информация о предпочтениях на множестве критериев и о последствиях альтернатив

Отсутствие информации о предпочтениях; количественная и/или интервальная информация о последствиях. Качественная информация о предпочтениях и количественная о последствиях

Методы с дискретизацией неопределенности

Стохастическое доминирование

Методы принятия решений в условиях риска и неопределенности на основе глобальных критериев

Метод анализа иерархий

Методы теории нечетких множеств

Качественная (порядковая) информация о предпочтениях и последствиях

Метод практического принятия решений

Методы выбора статистически ненадежных решений

Количественная информация о предпочтениях и последствиях

Методы кривых безразличия для принятия решений в условиях риска и неопределенности

Методы деревьев решений

Декомпозиционные методы теории ожидаемой полезности

Используемый принцип классификации позволяет достаточно четко выделить четыре большие группы методов, причем три группы относятся к принятию решений в условиях определенности, а четвертая — к принятию решений в условиях неопределенности. Из множества известных методов и подходов к принятию решений наибольший интерес представляют те, которые дают возможность учитывать многокритериальность и неопределенность, а также позволяют осуществлять выбор решений из множеств альтернатив различного типа при наличии критериев, имеющих разные типы шкал измерения (эти методы относятся к четвертой группе). Именно эти методы применимы при решении экономических задач.

В свою очередь, среди методов, образующих четвертую группу, более перспективными являются декомпозиционные методы теории ожидаемой полезности, методы анализа иерархий и теории нечетких множеств. Такой выбор определен тем, что эти методы в наибольшей степени удовлетворяют требованиям универсальности, учета многокритериальности выбора в условиях неопределенности из дискретного или непрерывного множества альтернатив, простоты представления экспертной информации.

Таким образом, мы имеет полное право отбросить все методы, предложенные в первых трех классификационных группах, и сосредоточить внимание на тех, которые дают возможность учитывать неопределенность и являются наиболее применимыми на данный момент.

Рассмотрим особенности этих методов и проанализируем их возможности и недостатки, что позволит сделать окончательный вывод [3].

1.4.2 Метод анализа иерархий

Достаточно широкую область применения нашел метод анализа иерархий.

Метод анализа иерархий – методологическая основа для решения задач выбора альтернатив посредством их многокритериального рейтингования. [6]

Метод анализа иерархий (МАИ) предполагает декомпозицию проблемы на все более простые составляющие части и обработку суждений лица, принимающего решение. В результате определяется относительная значимость исследуемых альтернатив для всех критериев, находящихся в иерархии. Относительная значимость выражается численно в виде векторов приоритетов. Полученные таким образом значения векторов являются оценками в шкале отношений и соответствуют так называемым жестким оценкам.

Основное применение метода – поддержка принятия решений посредством иерархической композиции задачи и рейтингования альтернативных решений. Имея в виду это обстоятельство, перечислим возможности метода.

Возможности:

1) метод позволяет провести анализ проблемы. При этом проблема принятия решения представляется в виде иерархически упорядоченных:

а) главной цели (главного критерия) рейтингования возможных решений,

б) нескольких групп (уровнейMainNotion_Struct) однотипных факторов, так или иначе влияющих на рейтинг;

в) группы возможных решений;

г) системы связей, указывающих на взаимное влияние факторов и решений.

2) метод позволяет провести сбор данных по проблеме;

3) метод позволяет оценить противоречивость данных и минимизировать ее;

4) метод позволяет провести синтез проблемы принятия решения;

5) метод позволяет организовать обсуждение проблемы, способствует достижению консенсуса;

6) метод позволяет оценить важность учета каждого решения и важность учета каждого фактора, влияющего на приоритеты решений;

7) метод позволяет оценить устойчивость принимаемого решения.

Преимущества:

Позволяет учитывать «человеческий фактор» при подготовке принятия решения;
Детальность представления взаимодействия факторов, влияющих на приоритеты решений;
Простые процедуры расчета рейтингов;
Универсальность. Нет привязок к конкретной сфере деятельности;
Возможность разбиения на ряд самостоятельных задач, благодаря кластерной структуре модели;
Проверка на осмысленность (непротиворечивость) данных.

Недостатки:

Трудоемкость процедуры минимизации противоречий в данных;
Трудоемкость составления модели;
Нет средств для проверки достоверности данных;
Метод дает только способ рейтингования альтернатив, но не имеет внутренних средств для интерпретации рейтингов.

Данный метод может служить надстройкой для других методов, призванных решать плохо формализованные задачи, где более адекватно подходят человеческие опыт и интуиция, нежели сложные математические расчеты. Метод дает удобные средства учета экспертной информации для решения различных задач. [3]

1.4.3 Декомпозиционные методы теории ожидаемой полезности

Декомпозиционные методы теории ожидаемой полезности получили наиболее широкое распространение среди группы аксиоматических методов принятия решений в условиях риска и неопределенности.

Основная идея этой теории состоит в получении количественных оценок полезности возможных исходов, которые являются следствиями процессов принятия решений. В дальнейшем на основании этих оценок можно выбрать наилучший исход. Для получения оценок полезности необходимо иметь информацию о предпочтениях лица, ответственного за принимаемое решение.

Парадигма анализа решения может быть сведена к процессу, включающему пять этапов.

Этап 1. Предварительный анализ. На этом этапе формулируется проблема, и определяются возможные варианты действий, которые можно предпринять в процессе ее решения.

Этап 2. Структурный анализ. Этот этап предусматривает структуризацию проблемы на качественном уровне, на котором ЛПР намечает основные шаги процесса принятия решений и пытается упорядочить их в виде некоторой последовательности. Для этой цели строится дерево решений, (рис.1).

Рисунок 1.1 - Фрагмент дерева решений

Дерево решений имеет два типа вершин: вершины решения (обозначены квадратиками) и вершины случаи (обозначены кружочками). В вершинах решениях выбор полностью зависит от ЛПР, в вершинах случаях ЛПР не полностью контролирует выбор, так как случайные события можно предвидеть лишь с некоторой вероятностью.

Этап 3. Анализ неопределенности. На этом этапе ЛПР устанавливает значения вероятности для тех ветвей на дереве решений, которые начинаются в вершинах случаях. При этом полученные значения вероятностей подлежат проверке на наличие внутренней согласованности.

Для получения значений вероятности привлекается вся доступная информация: статистические данные, результаты моделирования, экспертная информация и т. д.

Этап 4. Анализ полезности. На данном этапе следует получить количественные оценки полезности последствий (исходов), связанных с реализацией того или иного пути на дереве решений. На рис. 1.1 показан один из возможных путей — от начала до точки G.

Исходы (последствия принимаемых решений) оцениваются с помощью функции полезности фон Неймана — Моргенштерна, которая каждому исходу r_k ставит в соответствие его полезность и (r_k). Построение функции полезности осуществляется на основе знаний ЛПР и экспертов.

Этап 5. Процедуры оптимизации. Оптимальная стратегия действий (альтернатива, путь на дереве решений) может быть найдена с помощью вычислений, а именно: максимизации ожидаемой полезности на всем пространстве возможных исходов. Одно из условий постановки задачи оптимизации — наличие адекватной математической модели, которая связывает параметры оптимизации (в данном случае это альтернативные варианты действий) с переменными, входящими в целевую функцию (функция полезности). В методах теории полезности такие модели имеют вероятностный характер и основаны на том, что оценка вероятности ожидаемого исхода может быть использована для введения числовых оценок возможных вероятных распределений на конечном множестве исходов.

Таким образом, методы теории полезности занимают промежуточное место между методами принятия решений в условиях определенности и методами, направленными на выбор альтернатив в условиях неопределенности. Для применения этих методов необходимо иметь количественную зависимость между исходами и альтернативами, а также экспертную информацию для построения функции полезности. Эти условия выполняются не всегда, что накладывает ограничение на применение методов теории полезности. К тому же следует помнить, что процедура построения функции полезности трудоемка и плохо формализуема. [3]

1.4.4 Методы деревьев решений

Деревья решений – это способ представления правил в иерархической, последовательной структуре, где каждому объекту соответствует единственный узел, дающий решение.

Под правилом понимается логическая конструкция, представленная в виде "если ... то ...".

Рисунок 1.2- Пример дерева решений

Область применения деревья решений в настоящее время широка, но все задачи, решаемые этим аппаратом, могут быть объединены в следующие три класса:

Описание данных: Деревья решений позволяют хранить информацию о данных в компактной форме, вместо них мы можем хранить дерево решений, которое содержит точное описание объектов.
Классификация: Деревья решений отлично справляются с задачами классификации, т.е. отнесения объектов к одному из заранее известных классов. Целевая переменная должна иметь дискретные значения.
Регрессия: Если целевая переменная имеет непрерывные значения, деревья решений позволяют установить зависимость целевой переменной от независимых (входных) переменных. Например, к этому классу относятся задачи численного прогнозирования (предсказания значений целевой переменной).

Принцип построения дерева решений.

Пусть нам задано некоторое обучающее множество T, содержащее объекты (примеры), каждый из которых характеризуется m атрибутами (атрибутами), причем один из них указывает на принадлежность объекта к определенному классу.

Идею построения деревьев решений из множества T, впервые высказанную Хантом, приведем по Р. Куинлену (R. Quinlan).

Пусть через {C₁, C₂, ... C_k} обозначены классы (значения метки класса), тогда существуют 3 ситуации:

Множество T содержит один или более примеров, относящихся к одному классу C_k. Тогда дерево решений для Т – это лист, определяющий класс C_k;
Множество T не содержит ни одного примера, т.е. пустое множество. Тогда это снова лист, и класс, ассоциированный с листом, выбирается из другого множества отличного от T, скажем, из множества, ассоциированного с родителем;
Множество T содержит примеры, относящиеся к разным классам. В этом случае следует разбить множество T на некоторые подмножества. Для этого выбирается один из признаков, имеющий два и более отличных друг от друга значений O₁, O₂, ... On. T разбивается на подмножества T₁, T₂, ... Tn, где каждое подмножество T_i содержит все примеры, имеющие значение O_i для выбранного признака. Это процедура будет рекурсивно продолжаться до тех пор, пока конечное множество не будет состоять из примеров, относящихся к одному и тому же классу.

Достоинства:

быстрый процесс обучения;
генерация правил в областях, где эксперту трудно формализовать свои знания;
извлечение правил на естественном языке;
интуитивно понятная классификационная модель;
высокая точность прогноза, сопоставимая с другими методами (статистика, нейронные сети);
построение непараметрических моделей.

Недостатки:

большинство из известных алгоритмов являются "жадными алгоритмами". Если один раз был выбран атрибут, и по нему было произведено разбиение на подмножества, то алгоритм не может вернуться назад и выбрать другой атрибут, который дал бы лучшее разбиение. И поэтому на этапе построения нельзя сказать даст ли выбранный атрибут, в конечном итоге, оптимальное разбиение.
сложный и математически обоснованный выбор критериев (алгоритмы теоретико-информационного и статистического критерия).
необходимость определения момента остановки разбиения дерева при процессе индукции.
возможность «переполнения данными» дерева. Необходимость процедуры отсечения.

В силу этих и многих других причин, методология деревьев решений является важным инструментом в работе каждого специалиста, занимающегося анализом данных, вне зависимости от того практик он или теоретик. [7]

1.4.5 Методы теории нечетких множеств

В последнее время становится распространено решение задачи многокритериального выбора методами с нечётким отношением предпочтения ЛПР. Подобные задачи, с одной стороны, формально являются более общими, чем задачи с обычным отношением, а с другой – они более реалистичны с точки зрения практики, поскольку в обычной жизни требование от человека однозначной предпочтительности одного варианта по сравнению с другим является слишком жёстким. Чаще всего у ЛПР имеются аргументы за какой-либо вариант по сравнению с другим, но есть и определённые возражения, т.е. данные против. В таких случаях удобно говорить, что у ЛПР есть некоторая степень уверенности (оцениваемая, например, в процентах или, что-то же самое, числом от 0 до 1) в том, что один вариант из двух предпочтительнее другого. Именно с такого рода информацией и оперирует теория нечетких множеств.

Использование функций принадлежности, да и всего механизма теории нечетких множеств скорее идея, поскольку, на их основе создано несколько методов, каждый из которых по-своему использует описанные механизмы. В то же время они имеют и общие преимущества по сравнению в другими, приведенными в данной работе, методами.

Перечислим методы многокритериального выбора альтернатив с использованием нечетких множеств:

отношения предпочтения;
нечеткий вывод;
аддитивная свертка;
максиминная свертка.

С учетом различных механизмов вполне возможна ситуация получения различных результатов. Хотя чаще всего общий порядок ранжирования будет прослеживаться один и тот же, значения функции принадлежности будут отличны друг от друга.

Несовпадение результатов, полученных разными методами, объясняется, с одной стороны, разными способами представления экспертной информации, а с другой стороны — различием подходов к принятию решений. Максиминная свертка и лингвистическая векторная оценка являются реализациями пессимистического подхода, игнорирующего хорошие стороны альтернатив, когда лучшей считается альтернатива, имеющая минимальные недостатки по всем критериям. Аддитивная свертка предполагает оптимистический подход, когда низкие оценки по критериям имеют одинаковый статус по сравнению с высокими. Нечеткий вывод на правилах реализует эвристический подход. Последний нашел широкое применение в экспертных системах.

Как и было сказано выше, все методы, основанные на теории нечетких множеств, имеют общие свойства:

1. Методы принятия решений на нечетких моделях позволяют удобно и качественно производить оценку альтернатив по отдельным критериям. В отличие от других методов добавление новых альтернатив не изменяет порядок ранее ранжированных наборов. При оценке альтернатив по критериям возможна как лингвистическая оценка, так и оценка на основе точечных оценок с использованием функций принадлежности критериев;

2. Основной проблемой многокритериального выбора с применением нечетких моделей является представление информации о взаимоотношениях между критериями и способы вычисления интегральных оценок. Методы, базирующиеся на разных подходах, дают различные результаты. Каждый подход имеет свои ограничения и особенности, и пользователь должен получить о них представление, прежде чем применять тот или иной метод принятия решений. Наиболее широкие возможности для представления информации дает эвристический подход;

3. Большинство нечетких методов принятия решений показывает слабую устойчивость результатов относительно исходных данных. Считается, что наибольшей устойчивостью обладает метод, основанный на правилах.

Преимущества нечетких систем

Коротко перечислим преимущества fuzzy-систем по сравнению с другими:

возможность оперировать нечеткими входными данными: например, непрерывно изменяющиеся во времени значения (динамические задачи), значения, которые невозможно задать однозначно (результаты статистических опросов, рекламные компании и т.д.);
возможность нечеткой формализации критериев оценки и сравнения: оперирование критериями "большинство", "возможно", преимущественно" и т.д.;
возможность проведения качественных оценок как входных данных, так и выходных результатов: оперирование не только значениями данных, но и их степенью достоверности и ее распределением;
возможность проведения быстрого моделирования сложных динамических систем и их сравнительный анализ с заданной степенью точности.

Недостатками нечетких систем являются:

отсутствие стандартной методики конструирования нечетких систем;
невозможность математического анализа нечетких систем существующими методами;
применение нечеткого подхода по сравнению с вероятностным не приводит к повышению точности вычислений. [3]

1.4.6 Нечеткие деревья решений

Хотелось бы упомянуть еще метод, не вошедший в классификацию, но использующий средства двух предыдущих: нечетких множеств и деревьев решений.

Еще раз вспомним, что дерево решений – широко известный и популярный метод автоматического анализа данных, в основе которого лежит обучение на примерах. Правила представлены в виде иерархической последовательной структуры, где каждый объект принадлежит конкретному узлу.

Однако может возникнуть случай, когда точно классифицировать объект по тому или иному признаку довольно трудно. Эти ситуации разрешаются благодаря возможностям нечеткой логики, когда говорят не просто о принадлежности к кому-то классу, признаку, атрибуту, а о её степени. При использовании нечетких деревьев решений (fuzzy decision trees) не теряются знания о том, что объект может обладать свойствами как одного признака, так и другого в той или иной мере.

Главной идеей в таком подходе является сочетание возможностей деревьев решений и нечеткой логики.

Безусловным достоинством данного подхода является высокая точность классификации, достигаемая за счет сочетания достоинств нечеткой логики и деревьев решений. Процесс обучения происходит быстро, а результат прост для интерпретации. Так как алгоритм способен выдавать для нового объекта не только класс, но и степень принадлежности к нему, это позволяет управлять порогом для классификации.

Однако для этого необходим репрезентативный набор обучающих примеров, в противном случае сгенерированное алгоритмом дерево решений будет слабо отражать действительность и, как следствие, выдавать ошибочные результаты. [7]

1.4.7 Выбор метода. Нечеткие множества второго порядка

Среди рассмотренных методов особый интерес представляют нечеткие множества, так как они предоставляют широкий инструментарий для решения задач принятия решения в экономической сфере.

Теория нечетких множеств сама по себе являются очень гибким механизмом, позволяющие получить более адекватные анализируемой ситуации результаты.

Благодаря этому свойству, она получила широкое применение и развитие. В последнее время внимание научных умов привлекли нечеткие множества второго порядка или, иначе, второго типа (Fuzzy Sets Type-2).

Нечеткие множества второго типа позволяют моделировать различные неопределенности, которые не могут быть адекватно представлены с помощью нечетких множеств первого типа. Однако применение нечетких множеств второго типа обычно увеличивает вычислительную сложность по сравнению с нечеткими множествами первого типа из-за наличия дополнительной размерности. Поэтому, использование нечетких множеств второго типа является целесообразным, если позволяет обеспечить значительное улучшение результатов (например, повышение точности прогноза).

Интервальное дискретное нечеткое множество второго типа (ИДНМТ2) A, определенное на универсуме U может быть определено в виде:

(1.8)

где – «нижняя» и «верхняя» функции принадлежности ИДНМТ2, являющиеся функциями принадлежности ДНМТ1, характеризующие «отпечаток неопределенности» (footprint of uncertainty) FOU :

– степень принадлежности элемента u_rпо «нижней» и «верхней» функциям принадлежности ИДНМТ2. [8]

На рисунке 1.3 приведен пример «отпечатка неопределенности» для нечетких множеств второго порядка. UMF(A) и LMF(A) - верхняя и нижняя функции принадлежности соответственно.[9]

Рисунок 1.3 - Функция принадлежности типа-2

Добавление нечеткости в саму функцию принадлежности позволяет приблизить модель альтернативного выбора к человеческому мышлению и восприятию за счет снятия жестких рамок при задании степени неопределенности каждому из значений интервала.

Методы, использующие теорию нечетких множеств, помогают априорно избежать противоречивости данных, не слишком трудоемки при составлении модели и обосновывают итоговое ранжирование альтернатив числовым значением функции принадлежности, что позволяет эксперту оценить степень различия соседних в рейтинге вариантов. Также для них нет необходимости в определении количественных зависимостей между исходами и альтернативами, в их алгоритме четко определена точка остановки и нет риска переполнения данными. Таким образом, методы нечетких множеств позволяют обойти основные недостатки рассмотренных ранее методов.

Компьютерные модели на основе нечеткой математики абсолютно точны и однозначны по отношению к конкретной ситуации на входе модели. Их замечательным свойством является способность обрабатывать разнородную по качеству входную информацию, в целом повышая достоверность описания поведения объекта. Иными словами нечеткие системы отражают на выходе суммарную степень размытости, неполноты и неточности входных данных, тем не менее, могут предлагать единственное для данной конкретной ситуации решение.

2. НЕЧЕТКО-МНОЖЕСТВЕННЫЙ ПОДХОД

2.1 Нечеткие множества первого порядка

Наверное, самым впечатляющим у человеческого интеллекта является способность принимать правильные решения в условиях неполной и нечеткой информации. Построение моделей приближенных размышлений человека и использование их в компьютерных системах представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

Основы нечеткой логики были заложены в конце 60-х лет в работах известного американского математика Лотфи Заде. Главная концепция новой теории звучала как «неудовлетворенность математическими методами классической теории систем, которая вынуждала добиваться искусственной точности, неуместной во многих системах реального мира, особенно в так называемых гуманистических системах, включающих людей». [10]

Его работа "Fuzzy Sets", опубликованная в 1965 году в журнале "Information and Control", заложила основы моделирования интеллектуальной деятельности человека и стала начальным толчком к развитию новой математической теории. Он же дал и название для новой области науки - "fuzzy logic" (fuzzy - нечеткий, размытый, мягкий). [11]

Таким образом, все основные понятия данного направления были изложены в теории нечетких множеств. Данная теория привлекает внимание ученых и разработчиков и в настоящее время, поскольку помимо разработанных алгоритмов и методик, предоставляющих широкие возможности для анализа данных, имеет неплохой потенциал для расширения границ представления неопределенности, что позволяет приблизить компьютерную логику к человеческому мышлению.

Рассмотрим основные понятия теории нечетких множеств.

2.1.1 Основные понятия

Главной характеристикой нечеткого множества выступает функция принадлежности (Membership Function). Именно ее существование обеспечивает введение такого понятия как «неопредленность».

Обозначим функцию принадлежности через μx. Она выражает степень принадлежности к нечеткому множеству C, представляющей собой обобщение понятия характеристической функции обычного множества. Тогда нечетким множеством С называется множество упорядоченных пар вида C={μ(x)/x}, μ(x)∈ [0,1]. [12] Графически это можно изобразить следующим образом:

Рисунок 2.1 - Функция принадлежности типа-1

Из графика следует, что у любого значения x’ можно определить степень его принадлежности к функции μx. Значение μx=0 означает отсутствие принадлежности к множеству, 1 – полную принадлежность.

Вместе с функцией и степенью принадлежности необходимо использовать понятия нечеткой и лингвистической переменных. Грубо говоря, лингвистические переменные описывают понятия, присущие человеческому мышлению.

Нечеткая переменная описывается набором (N,X,A), где N – это название переменной, X – универсальное множество (область рассуждений), A – нечеткое множество на X.

Значениями лингвистической переменной могут быть нечеткие переменные, т.е. лингвистическая переменная находится на более высоком уровне, чем нечеткая переменная. Каждая лингвистическая переменная состоит из:

названия;
множества своих значений, которое также называется базовым терм-множеством T. Элементы базового терм-множества представляют собой названия нечетких переменных;
универсального множества X;
синтаксического правила G, по которому генерируются новые термы с применением слов естественного или формального языка;
семантического правила P, которое каждому значению лингвистической переменной ставит в соответствие нечеткое подмножество множества X.

На рисунке 2.2 приведен пример нечеткого представления лингвистической переменной. [7]

Рисунок 2.2 - Нечеткое представление лингвистической переменной

Основные характеристики нечетких множеств. Чтобы использовать инструментарий нечетких множеств необходимо знать некоторые из их характеристик. Для описания этих свойств еще раз определим нечеткое множество. Пусть μ = [0,1] и А - нечеткое множество с элементами из универсального множества E и множеством принадлежностей μ.

Величина supμ(x)x∈E называется высотою нечеткого множества A. Нечеткое множество A является нормальным, если его высота равняется 1, то есть верхняя граница ее функции принадлежности равняется 1 . При нечеткое множество называется субнормальным.

Нечеткое множество является пустым, если Непустое субнормальное множество можно нормализировать по формуле

(2.1)

Нечеткое множество является унимодальным, если лишь для одного x из E.

Множеством уровня (-срезом) нечеткого множества называется четкое подмножество универсального множества , определяемое по формуле

(2.2)

Множество строгого уровня определяется в виде . В частности, носителем нечеткого множества является множество элементов, для которых . Понятие множества уровня является расширением понятия интервала. Оно представляет собой объединение не более чем счетного числа интервалов. Соответственно, алгебра интервалов есть частный случай алгебры множеств уровня.

Точка перехода нечеткого множества — это такой элемент , для которого .

Четкое множество , ближайшее к нечеткому множеству , определяется следующим образом [13]:

(2.3)

2.1.2 Операции. Принципы выполнения

Нечеткие множества были бы простым инструментом представления начальных данных, если бы не позволяли выполнять над собой операции. В теории нечетких множеств, как и для обычных множеств, предусмотрено три основные логические операции: объединение, пересечение и дополнение.

Нечеткие теоретико-множественные операции объединения, пересечения и дополнения могут быть обобщены из теории обычных множеств. В теории нечетких множеств степень принадлежности может принимать значения из интервала [0, 1], а не ограничена бинарными значениями 0 и 1, как в обычной теории множеств. Поэтому, нечеткие теоретико-множественные операции могут быть определены по-разному. Ясно, что выполнение нечетких операции объединения, пересечения и дополнения нал обычными множествами должно дать такие же результаты, как и при использовании традиционных (канторовских) теоретико-множественных операций. [10]

В итоге существенным отличием является то, что нет единого мнения о механизме их выполнения. Для определения пересечения и объединения нечетких множеств наибольшей популярностью пользуются следующие три группы операций [13]:

Максиминные:

(2.4)

Алгебраические:

(2.5)

Ограниченные:

(2.6)

Дополнение нечеткого множества во всех трех случаях определяется одинаково:

. (2.7)

Используя максиминные операции, получим множества, изображенные на рисунке (пересечение, объединение и дополнение).

Рисунок 2.3 - Примеры выполнения логических операций

2.1.3 Нечеткий вывод

Человеческие знания представляются в виде нечеткого правила с помощью следующего синтаксиса:

ЕСЛИТОГДА

Нечеткие суждения делятся на два вида, первый из них называется единичный (атомарный): х есть А, где х – лингвистическая переменная, а А - ее лингвистическое значение; второй тип называется композиционный и имеет вид: А есть х и В есть у, это композиция атомарных суждений, соединенных операторами И, ИЛИ, НЕ, представленными как нечеткие пересечение, объединение и дополнение соответственно. Композиционные нечеткие суждения нечетко взаимосвязаны. Функция принадлежности для таких композиционных суждений вычисляется при помощи нечеткой импликации. Нечеткие правила объединяются в одно или более множество на входе (посылка), и связаны с нечетким множеством на выходе (следствия). Нечеткие множества в посылке связываются операторами И, ИЛИ, НЕ или лингвистическими модификациями.

Нечеткие правила разрешают выражать имеющиеся знания об отношениях между посылками и следствием. Чтобы полностью отобразить эту информацию часто приходится использовать несколько сгруппированных правил. [14]

Этапы (схема) нечеткого вывода

Для нечетких множеств первого типа характерна следующая схема нечеткого вывода (рисунок 2.4). [12] Эта совокупность также называется нечетким логическим контроллером, нечеткой логической системой, системой, основанной на правилах, а также нечеткой логической системой.

Рисунок 2.4 - Нечеткая логическая схема первого типа

Как уже говорилось, в основе данной системы лежат правила (Rules) по схеме «ЕСЛИ-ТОГДА». При этом должны соблюдаться следующие условия:

Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной.
Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

В противном случае имеет место неполная база нечетких правил. Допустим, что мы имеем полную базу правил, тогда этапы логического вывода будут следующими:

1. Фаззификация. Несомненно, нечетко-множественный подход в представлении информации более приближен к человеческому мышлению, но, все же, не идентичен. На входе любой нечеткой логической системы находится информация об оценках альтернатив экспертами по предложенным критериям.

Поэтому необходимо проведение процедуры фаззификации, которая состоит в определении степени истинности, т.е. значения функции принадлежности для левых частей каждого правила.

Подведем некоторый итог этапа фаззификации и дадим некое подобие алгоритма по формализации задачи в терминах нечеткой логики [15].

Шаг 1. Для каждого терма взятой лингвистической переменной найти числовое значение или диапазон значений, наилучшим образом характеризующих данный терм. Так как это значение или значения являются «прототипом» терма, то для них выбирается единичное значение функции принадлежности.

Шаг 2. После определения значений с единичной принадлежностью необходимо определить значение параметра с принадлежностью «0» к данному терму. Это значение может быть выбрано как значение с принадлежностью «1» к другому терму из числа определенных ранее.

Шаг 3. После определения экстремальных значений нужно определить промежуточные значения. Для них выбираются трапециевидные (П-вид) или треугольные функции (Л-вид) принадлежности из числа стандартных функций принадлежности.

Шаг 4. Для значений, соответствующих экстремальным значениям параметра, выбираются S- или Z-функции принадлежности.

2. Разработка нечетких правил

На этом этапе определяются продукционные правила, связывающие лингвистические переменные. Совокупность таких правил описывает стратегию управления, применяемую в данной задаче. Правила строятся по схеме «ЕСЛИ…ТОГДА».

3. Нечеткий вывод

На первом шаге логического вывода необходимо определить степень принадлежности всего антецедента правила. Для этого в нечеткой логике существуют два оператора: MIN(…) и MAX(…). Первый вычисляет минимальное значение степени принадлежности, а второй - максимальное значение. Когда применять тот или иной оператор, зависит от того, какой связкой соединены посылки в правиле. Если использована связка И, применяется оператор MIN(…). Если же посылки объединены связкой ИЛИ, необходимо применить оператор MAX(…). Ну а если в правиле всего одна посылка, операторы вовсе не нужны. [14]

Рассмотрим пример нечеткого вывода для одного композиционного правила: «Если x₁это F₁ и x₂ это F₂, то y это G» . Определяем степени принадлежности x’₁к F₁ , x’₂к F₂ ивоспользовавшись операцией пересечения (min) находим минимальную степень принадлежности. Она и определяет максимальное значение соответствия альтернативы правой части правила, т.е. вывода.

Рисунок 2.5- Свертка правил для НМ-1

Использование одного правила – достаточно простой случай, который практически невозможно встретить в реальности. Поэтому был разработан механизм, позволяющий объединять результаты вывода по каждому правилу в единое нечеткое представление.

На рисунке представлена ситуация нечеткого вывода с двумя композиционными правилами.

Рисунок 2.6 - Композиционный вывод для НМ-1

Для объединения используется операция max, что соответствует отысканию максимального значения степени принадлежности среди частных выводов всех правил.[12]

4) Дефаззификация.

Дефаззификацией называется преобразование нечеткого множества в четкое число.

В теории нечетких множеств дефаззификация аналогична нахождению характеристик положения случайных величин (математического ожидания, моды, медианы) в теории вероятностей. Простейшим способом дефаззификации является выбор четкого числа с максимальной степенью принадлежности. Пригодность этого способа ограничивается лишь одноэкстремальными функциями принадлежности. Для многоэкстремальных функций принадлежности применяются такие методы дефаззификации: центр тяжести (Centroid); медиана (Bisector); центр максимумов (Mean of Maximums); наибольший из максимумов (Largest of Maximums); наименьший из максимумов (Smallest of Maximums). [10]

2.1.4 Многокритериальный выбор альтернатив

с использованием правила нечеткого вывода

Рассмотрим метод многокритериального выбора альтернатив на основе композиционного правила агрегирования описаний альтернатив с информацией о предпочтениях лица, принимающего решение, которые заданы в виде нечетких суждений.

Для начала приведем общую схему (рисунок 2.7) данного метода.

Рисунок 2.7 - Схема многокритериального выбора с помощью НМ-1

В данной схеме отображено соотношение этапов алгоритма многокритериального выбора с этапами метода Мамдани. На стадии постановки задачи необходимо выделить альтернативы и критерии, по которым будет происходить их оценка. Определенные комбинации критериев и их предположительный результат создают базу правил, на основе которой и будет рассчитана окончательная точечная оценка всех альтернатив. Следующие шаги направлены на вычисление функций принадлежности для каждой из посылок и окончательный расчет точечных оценок для альтернатив.

Данный метод можно адаптировать под компьютерную систему, и это будет выглядеть следующим образом.

Пусть U — множество элементов, А — его нечеткое подмножество, степень принадлежности элементов к которому есть число из единичного интервала [0, 1]. Подмножества A_j являются значениями лингвистической переменной X.

Допустим, что множество решений характеризуется набором критериев х₁, х₂, ..., xp, т.е. лингвистических переменных, заданных на базовых множествах u₁, u₂, .... up соответственно. Например, переменная х₁ "качество управления" может иметь значение НИЗКОЕ, а переменная х₂ "стоимость" — значение ХОРОШЕЕ и т. д. Набор из нескольких критериев с соответствующими значениями характеризует представления лица, принимающего решение, об удовлетворительности альтернативы. Переменная S "удовлетворительность" также является лингвистической. Ниже приведен пример высказывания:

d1: "Если x1 = НИЗКОЕ и x2 = ХОРОШЕЕ, то S = ВЫСОКАЯ". В общем случае высказывание d1 имеет вид:

d1: "Если x1 = А_1i, и x2 = А_2i и ... хр = А_рi то S = В_i".

Обозначим пересечение (x1 = А1i ∩ x2 = А2i ∩... хр = Арi) через х = Аi. Операции пересечения нечетких множеств соответствует нахождение минимума их функций принадлежности:

μA1ν=minν∈VμAi1u1, μAi2u2,…,μAipup. (2.8)

Здесь V= U1xU2x...xUp; v = (u1, u2 ..., up); μAij (uj) — значение принадлежности элемента и, нечеткому множеству Аij.

Тогда высказывание (d1) можно записать в виде:

dj:"Если x=Ai, то S=Bj" . (2.9)

Для придания общности суждениям обозначим базовые множества U и V через W. Тогда Аi — нечеткое подмножество W, в то время как Вi — нечеткое подмножество единичного интервала I.

Для представления правил используется операция импликации, для которой предложены различные способы нечеткой реализации. Нечеткая импликация Мамдани имеет вид:

μHw,i=minμAw,μBi, (2.10)

где Н — нечеткое подмножество на W x I, w ∈ W, i ∈I.

Аналогичным образом высказывания d1, d2,..., dq преобразуются в множества Н1, Н2, ..., Нq. Их объединением является множество D:

D = H1 ∪ H2 ∪ ... ∪ Нq (2.11)

и для каждого (w, i) ∈ W x I

μDw,i=maxw∈WμHjw,i, j=1,q. (2.12)

Удовлетворительность альтернативы, которая описывается нечетким подмножеством А из W, определяется на основе композиционного правила вывода:

G = А ° D, (2.13)

где G — нечеткое подмножество интервала I.

Тогда

μGi=maxw∈WminμAwμDw,i. (2.14)

Сопоставление альтернатив происходит на основе точечных оценок. Для нечеткого множества С ∈ I определяем a-уровневое множество (α ∈ [0, 1]):

Cα=xμAx≥α, xϵ I. (2.15)

Для каждого Сα можно вычислить среднее число элементов — М(Сα):

- для множества из п элементов

(2.16)

- для Сα={a≤ i ≤ b}

(2.17)

- для Cα=j=1n{aj≤i≤bj}

(2.18)

при 0 ≤ a1 ≤ b1 ≤ а2 ≤ b2 ≤ ... ≤ аn ≤ bn ≤ 1.

Тогда точечное значение для множества С можно записать в виде:

(2.19)

где α_max— максимальное значение в множестве С.

При выборе альтернатив для каждой из них находится удовлетворительность и вычисляется соответствующая точечная оценка. Лучшей считается альтернатива с наибольшим ее значением [3].

2.1.5 Расширение возможностей нечетко-множественного подхода

В прошлых десятилетиях нечеткие системы стали заменять привычные технологии обработки данных в различных системных и научно-технических приложениях. Особо широкое применение они нашли в системах управления и распознавания образов. Та же технология приближенных рассуждений все больше внедряется в информационные технологии: их способность описывать задачу близко к человеческому восприятию при помощи ограниченного числа правил применяется в экспертных системах и СППР.

Интеллектуальные системы, основанные на нечеткой логике, являются фундаментальными инструментальными средствами для нелинейного сложного системного моделирования. Нечеткие множества и нечеткая логика являются основой для нечетких систем, главная задача которых моделировать человеческое мышление.

Нечеткие методы используются в системах, которым присущи, в той или иной мере, неточности, неопределенности. При работе с такими системами справедливо предположить, что данные, первоначально поступающие на вход, будут в четкой форме. Этого недостаточно для получения необходимой точности результатов. Использование механизмов приведения к нечеткому виду помогает решить эту ситуацию. Эта идея нашла свое отражение в нечетком выводе при помощи использования четких (жестких) степеней принадлежности.

Возникает вопрос, почему принадлежность нечетких значений к НМ выражается в виде четкой степени принадлежности? Это предполагает, что мы можем описать степень принадлежности нечеткого значения с абсолютной точностью. Функция принадлежности, представленная экспертами жестком виде, хотя бы в малой степени, но может содержать ошибки, которые впоследствии могут оказать значительное влияние на результат.

Эта точка зрения присутствует в работах Менделя, Фолджера, Клира и ряда других ведущих исследователей и является очень важной. Конечно, это существенный недостаток, но все же, успехи и преимущества нечетких множеств первого типа нельзя сбрасывать со счетов. Можно понять этот парадокс, если подумать о различиях четкого представления функции принадлежности и аппроксимации нечеткой величины, неточности.

Размытость понятий справляется с неточностью в информации лучше, чем обычные логические методы, так как позволяют использовать степень принадлежности. Она может соответствовать любому значению из промежутка [0,1] и дает более адекватный поставленной задаче результат, чем булево представление, в виде 0 или 1.

Успех нечетким множествам принесло то, что они обеспечивают надежность вычислений в условиях неточности. И методы, основанные на нечетких множествах, могут дать конкурентное решение для любой проблемы, связанной с неопределенностью факторов.

Нечетко-множественные переменные модели используют семантику предметной области. Это представление является целесообразным, поскольку позволяет задавать неточное соответствие этим понятиям, не пытаясь приблизиться к точному уровню.

Чтобы реализовать это, необходимо изменить нечеткую модель, изменяя способ моделирования степени принадлежности к нечеткому множеству. Если сама степень принадлежности описывается с применением неопределенности, т.е. нечеткими числами первого типа в [0,1], то создается модель, учитывающая неопределенность в еще одном измерении. Неопределенность в нечеткой переменной может быть использована в процессе логического вывода, что дает более надежные и полные решения. Изложенные идеи уже хорошо описаны терминами «отпечаток (след) неопределенности» или «размытость». [14]

2.2 Нечеткие множества второго порядка

2.2.1 Сопоставление нечетких множеств первого и второго порядков

Первоначально нечеткие множества второго порядка были представлены Заде в 1975 году и по существу были «нечеткими нечеткими» множествами, в которых степень принадлежности – это нечеткое множество первого типа. Новые понятия были введены уже Менделем и Лингом (Mendel и Liang), которые заключались в описании нечеткого множества второго типа посредствам нижней и верхней функций принадлежности. Каждая из этих функций могут быть представлена в виде нечеткого множество первого типа. Интервал между этими двумя функциями представляет собой отпечаток неопределенности (footprint of uncertainly, FOU), который и является главной характеристикой нечеткого множества второго порядка. [14]

Проследим основные отличия НМ-1 и НМ-2, чтобы лучше оценить возможности и недостатки нового подхода.

В первую очередь представим в графическом виде ФП. На рисунке 2.1 (а) изображено четкое задание степени принадлежности. При этом любому значению x’ соответствует только одно точечное значение функции принадлежности. Другая ситуация возникает при использовании размытой ФП, графическое представление которой изображено на рисунке 2.8 (б). В этом случае значение степени неопределенности x’ задается неоднозначно, с помощью нечеткого множества первого порядка, оно принадлежит интервалу, ограниченному верхней и нижней функциями принадлежности.

Рисунок - 2.8 а) Четкая ФП б) Нечеткая ФП

Что же подтолкнуло к такой эволюции нечеткого представления? Во-первых, это желание приблизить нечеткую модель к словесной. Очень важный фактор обусловлен особенностями психологии человека и его индивидуальности. Люди воспринимают реальность по-разному, и одно и то же слово может иметь для людей различный смысл. Особенно это касается оценочных выражений. Поэтому и возникла необходимость исключить однозначное сопоставление полученного значения степени функции принадлежности. [12]

Применение такого отображения нечетких переменных позволяет несколько «размыть» левую и правую границы функции принадлежности. Таким образом, при задании экспертом степеней принадлежности уменьшается риск накопления ошибок из-за не включения точек, расположенных около границ функции и находящихся под сомнением. Проиллюстрируем сложившуюся ситуацию. При использовании функции принадлежности первого типа (рисунок 2.9 (а)) приходится жестко задавать точки, начиная с которых, степень принадлежности начинает быть отличной от нуля. Значениям левее или правее границ также можно определить степень принадлежности к определенной степени принадлежности значения интервала. Этот случай, по сути, очень схож с проблемой задания чисел при помощи классических множеств, которая решалась при помощи нечетких множеств первого типа. Переход к НМ-2 обусловлен теми же потребностями в размытии границ. Новое представление изображено на рисунке 2.9 (б). Для задания неопределенности границ используется нечеткое множество.

Рисунок 2.9 - Границы принадлежности а) для ФП-1 б) Для ФП-2

Размытие границ - это первый шаг в переходе от НМ-1 к НМ-2. Для второго шага выберем вид функции принадлежности, как это делаем для нечетких множеств первого типа, например симметричные треугольники, и создадим их в таком количестве, которое позволит заполнить весь интервал между двумя неопределенностями (рисунок 2.10).

Рисунок 2.10 - Переход от ФП-1 к ФП-2

При количестве ФП первого типа, стремящемся к бесконечности, получим размытую неточечную функцию принадлежности, которая определяется отпечатком неопределенности (FOU), заключенным между верхней и нижней функциями принадлежности (UMF и LMF соответственно).

Рисунок 2.11- Понятия ФП-2

Помимо «размытости» нечеткие множества второго порядка характеризуются способом распределения значений степеней принадлежности для одного значения.

В зависимости от вида функции принадлежности второго порядка можно выделить две разновидности представлений НМ-2. Если значение принадлежности к степени принадлежности значения неравномерно, то имеет место неунифицированная (неоднородная) функция принадлежности второго порядка. Если для любого х’ на всем интервале от нижней степени принадлежности до верхней, значение ФП второго порядка неизменно, то данный вид функции – унифицированный (однородный) (рисунок 2.12). [12]

В теории нечетких множеств, первую разновидности обозначают как нечеткие множества второго типа общего вида, вторую - интервальные нечеткие множества второго типа (ИНМТ-2). Именно для данного вида на данный момент разрабатывается наибольшее количество алгоритмов, которые и будут применяться в рамках решения поставленной задачи.

Рисунок 2.12 - Виды ФП-2

Функцию принадлежности второго порядка в общем (неоднородном) виде можно представить с помощью первичной переменной и первичной ФП (характеристики типа-1) и вторичными переменной и ФП (как характеристики типа-2). Последние задают параметры вертикального среза функции принадлежности-2. Их графическое соотношение представлено на рисунке 2.13.

Рисунок 2.13 - Основные понятия НМ-2

Использование неунифицированного (неоднородного) вида функции принадлежности второго типа, несмотря на большее количество степеней свободы, не слишком распространенно ввиду дорогостоящих вычислений. Поэтому в основном, экспертные системы основывают на интервальном типе нечетких множест-2. ИНМТ-2 позволяют использовать весь инструментарий интервальных вычислений и имеют значительные практические наработки.

В теоретическом плане вид функции принадлежности не ограничен. Можно использовать любые функции, такие как, например, линейного или гаусового вида (рисунок 2.14) [12]

Рисунок 2.14- Возможные виды ФП-2

Существует два основных и очень важных представления нечетких множеств второго порядка. Каждое из них имеет свой подход к описанию и область применения.

С помощью вертикальных срезов (рисунок 2.15) задается вторичная ФП для каждого рассматриваемого значения первичной переменной. Вертикальное представление при помощи срезов очень удобно и широко используется при вычислениях.

Рисунок 2.15 -Вертикальное представление

Применение волнистого представления среза (слоя) очень широко используется для описания теоретических событий. Это свойство нашло отражение в теореме представления Менделя-Джона, которая заключается в том, что все операции использующие НМ-2 могут быть выполнены с использованием математики НМ-1. И оба описанных представления позволяют описать отпечаток (след) неопределенности.

Рисунок 2.16- Вложенная ФП-1

В зависимости от поведения значений вторичной ФП, вложенные функции принадлежности также можно разделить на первый и второй порядок. Неравномерное распределение степеней указывает на принадлежность ко второму типу.

Рисунок 2.17 -Виды вложенных ФП

Хотя использование вложенных функций дает наглядное представление при описании теоретических событий, все же непригодно в практических расчетах, поскольку зачастую невозможно выделить все функции из-за большого их количества. Данное представление скорее пригоднее для вычисления общего вида функций при выполнении логических операций, таких как, например, объединение. Но, впоследствии, для вычисления точечных значений все равно придется выполнять переход на методы с применением вертикальных срезов. [12]

Более подробный перечень основных понятий представлен в таблице 2.1. [14]

Таблица 2.1- Основные понятия НМ-2

Термин	Термин в анг. написании	Описание
Первичная переменная	Primary variable—x ∈X	Главная переменная, задающая значения критерия
Значение первичной ФП	Primary membership—J_x	Каждому значению первичной переменной соответствует интервал значений ФП
Вторичная переменная	Secondary variable—u ∈J_x	Элемент первичной ФП
Вторичная степень принадлежности	Secondary grade—f_x(u)	Вес, назначенный вторичной переменной
Второй тип НМ	Type-2 FS— A	Трехэлементная ФП, описывающаяся первичной и вторичной переменными, а также их значением принадлежности
Вторичная ФП по x	Secondary MFat x	НМ-1, характеризующее вертикальный срез по х
Отпечаток (след) неопределенности	Footprint of Uncertainty of A — FOU(A)	Объединение всех вложенных ФП, область между LMF(A) и UMF(A)
Нижняя ФП НМ А	Lower MF of A — LMF(A) orμA(x)	Нижняя граница отпечатка неопределенности
Верхняя ФП НМ А	Upper MF of A — UMF(A) or μA(x)	Верхняя граница отпечатка неопределенности
Интервал НМ-2	Interval T2 FS	Вторичная ФП, имеющая значение 1 в рамках всего отпечатка неопределенности
Вложенная ФП-1	Embedded Tl FS—Ae(x)	Любая ФП-1, заключенная в A
Вложенная ФП -2	Embedded T2 FS—Ae(x)	Вложенная ФП-1, имеющая различные значения степени принадлежности (см. рисунок 2.17)
Первичная ФП	Primary MF	Учитывается ФП-1, по крайней мере, с одним параметром, который имеет диапазон значений.

2.2.2 Специфика нечетких множеств второго порядка

Формализация нечетких множеств второго порядка

НМ-2 выражаются с помощью степени истинности неопределенности, которая отображает расплывчатость и неточность принадлежности элемента к данному множеству. НМ-2 обозначаются A и характеризуются функцией принадлежности второго типа (порядка) , где и и выражается в уравнении (2.20):

(2.20)

Графически функцию принадлежности второго типа и отпечаток неопределенности можно представить следующим образом:

Рисунок 2.18 Функция принадлежности типа-2

Если A непрерывно, то его можно представить следующим уравнением (2.21):

(2.21)

где ∫∫ обозначает объединение x и u. Если же A дискретно, то для представления используется формула (2.22):

(2.22)

где ∑∑ обозначает объединение x и u.

Если , то функция принадлежности второго типа выражена нижней функцией принадлежности первого типа и верхней функцией принадлежности первого типа (рис. 2.18), тогда это является интервальным нечетким множеством второго порядка (ИНМТ-2) и представляется уравнениями (2.23) и (2.24).

(2.23)

или

(2.24)

Если A единична (одиночна), то функция принадлежности выражается уравнением (2.25) [16]

(2.25)

2.2.3 Операции над ИНМТ-2

В теории нечетких множеств имеется возможность проводить операции, как над конкретным НМ, так и между несколькими множествами. В каждом случае мы получаем совершенно новые множества, имеющие иные, отличные от первоначальных, значения характеристик. Нечеткие множества второго типа расширены информацией для представления неопределенности степени принадлежности, что создает дополнительную вычислительную сложность.

Допустим, мы имеем два нечетких подмножества второго типа. Тогда можно выполнить над ними три базовых логических операции: объединение, пересечение и дополнение. Рассмотрим два множества A и B на области значений Х.

Объединение, пересечение и дополнение могут быть определены следующим образом:

Объединение:

Пересечение:

Дополнение:

где ∪ и ∩ - соответствуют операциям объединения и пересечения, • - t-конорма, - t-норма. [17]

Данные операции разработаны для функции принадлежности второго порядка общего типа. Если рассмотреть интервальный тип, то значения fx(ui) и gx(wj) будут равномерны на протяжении всего вертикального среза функции и иметь значение равное единице. С учетом данного обстоятельства, целесообразно в дальнейших расчетах использовать операции в виде, представленном в таблице 2.2.[16]

Таблица 2.2 - Базовые операции над ИНМТ-2

Оператор	Операция
Объединение
Пересечение
Дополнение

2.2.4 Нечеткий вывод для нечетких множеств второго порядка

Нечеткие системы логического вывода, основанные на правилах, состоят из 4-х основных компонентов: фаззификатора, правил, самого механизма логического вывода и процессора вывода, которые связаны, как показано на иллюстрации 2.19. Как только правила были установлены, нечеткая логическая система может считаться чередой звеньев от четкого входа, до четкого вывода. Данная схема часто используется в различных технических системах и иногда называется нечетким логическим контроллером.[12]

Рисунок 2.19 - Система нечеткого логического вывода типа-2

В данной схеме не изменяются правила, необходимо только модифицировать нечеткие модели на входе и выходе. Меняется обработка вывода: база правил применяется к данным представленным при помощи ФП-2, добавляется этап для сокращения порядка нечеткого множества, который представлен на рисунке 2.20, и уже к типу-1 применяется дефаззификация.

Рисунок 2.20 - Организация нечеткого вывода через вложенные ФП

Функция принадлежности второго типа представлена в системе условного вывода как совокупность вложенных ФП-1. Благодаря этому, имеется возможность использовать математику условного вывода для типа-1.

Рисунок 2.21 - Организация нечеткого вывода через вложенные ФП

Нечеткий вывод для одного правила представлен на рисунке 2.22. Сохраняется общая логика вывода для первого порядка, только операции проводятся для пар верхних и нижних функций принадлежности. Результатом такого нечеткого вывода является ИНМТ-2. [12]

Рисунок 2.22 - Свертка правил для НМ-2

При использовании нескольких правил, вывод производится по схеме, представленной на рисунке 2.23.

Рисунок 2.23 - Композиционный вывод для НМ-2

Для получения интерпретируемого результата необходимо провести процедуры понижения порядка и дефаззификации. [12]

Понижение типа может быть достаточно трудоемкой операцией с вычислительной точки зрения, так как обычно нечеткое множество второго типа содержит большое число вложенных множеств первого типа. Однако, для интервального нечеткого множества второго типа возможно применить широко используемый итерационный алгоритм Карника-Менделя, обеспечивающий поиск минимального и максимального центроидов вложенных нечетких множеств первого типа, которые в дальнейшем могут быть использованы при выполнении операции понижения типа (центроид нечетких множеств второго типа равен их среднему арифметическому).

Кроме того, используя принцип расширения, можно использовать геометрическую интерпретацию центроида. Одна из причин использования такой интерпретации состоит в том, что невозможно выполнить понижение типа для геометрического множества, если внутри него содержится бесконечное число вложенных множеств. Используя геометрию, возможно вычислить центр площади геометрического нечеткого множества первого типа, эквивалентный центру площади дефаззификации. Эту же операцию можно расширить и на интервальные нечеткие множества второго типа. [8]

2.2.5 Понижение типа нечеткого множества второго порядка

Рассмотрим процесс вывода, который заключается в процедурах понижения порядка нечетких множеств и дефаззификации. Схематично представим это на рисунке 2.24.

Рисунок 2.24- Схема обработки вывода для НМ-2

После процедуры понижения типа получаем нечеткое множество первого типа, описанное двумя ФП-1, соответствующие границам отпечатка неопределенности. Процедура дефаззицикации значительно упрощена после понижения степени.

По сути, методы понижения степени – это расширенная дефаззификация для нечетких множество первого типа. Она также удовлетворяет требованиям уменьшения неопределенности.

Существуют различные методы понижения степени и они совпадают с методами дефаззицикации для НМ-1:

Метод центра;
Метод центра тяжести;
Метод медианы;
Метод максимальной высоты.

Для нечетких множеств второго типа понижение степени приводит к интервальному представлению функции принадлежности. Все вычисления в итоге сводятся к отысканию некоторой средней точки функции принадлежности второго типа или обобщенной средней точки. Чтобы привести к необходимому виду весь интервал значений, необходимо использование итерационных алгоритмов.[12]

Рассмотрим более подробно метод понижения степени центроидного вида. Допустим, что после объединения результатов нечеткого вывода по нескольким правилам, мы получили функцию принадлежности второго типа (B), которая представлена на рисунке 2.25.

Рисунок 2.25 - Результат композиционного вывода для НМ-2

Для реализации данного алгоритма необходимо провести:

дискретизацию значений y и u;
выделение всех nB вложенных функций принадлежности первого типа;
вычислить центр тяжести GOC для каждой вложенной функции принадлежности
в результате должны быть получены GOCв количестве nB

(2.31)

Вычисления по данному пути непрактичны, т.к.:

Необходимо выделить все вложенные функции принадлежности, что представляет определенную сложность;
Расчеты для большого количества вложенных функций требуют огромных вычислительных ресурсов.

Вместо этого рационально использовать две конечные точки, характеризующие ФП-2, а именно y_lи y_r. Чтобы использовать это принцип были созданы два итерационных алгоритма Карника-Менделя (Karnik-Mendel), который также называется КМ-алгоритм. Независимо от того, какой путь выбран, КМ-алгоритм призван вычислять значения для конечных интервальных множеств.

Итерационный алгоритм Карника-Менделя позволяет определить два «вложенных» НМТ1 – L и R – внутри FOU ИНМТ2 X . Множества L и R имеют минимально и максимально возможные центроиды y_l(L) и y_r(R) в X соответственно. Четкое значение центроида определяется как среднее значение от центроидов НМТ1: L и R .

Представим алгоритм КМ для y_l

yl=min∀θiϵ[LMFByi,UMFByi]i=1Nyiθii=1Nθi (2.32)

Он основывается на формуле (10) и выполняется следующим образом:

Определяем каждую θ как LMFByi+UMFByi/2
Вычисляем c'=i=1Nyiθii=1Nθi
Находим k(k=1,…,N-1) так, что yk≤c'≤yk+1
Получаем θi=UMFByi i≤k LMFByi i≥k+1
Вычисляем c''≡c' на втором шаге, используя θi, полученную на шаге 4.
Если c''=c', то СТОП, задаем yl=c''и определяем k как L. В противном случае переходим к шагу 7.
Определяем c'=c'' и переходим к шагу 3.

Представим алгоритм КМ для y_r

yr=max∀θiϵ[LMFByi,UMFByi]i=1Nyiθii=1Nθi (2.32)

Он основывается на формуле (11) и выполняется следующим образом:

Определяем каждую θ как LMFByi+UMFByi/2
Вычисляем c'=i=1Nyiθii=1Nθi
Находим k(k=1,…,N-1) так, что yk≤c'≤yk+1
Получаем θi=LMFByi i≤k UMFByi i≥k+1
Вычисляем c''≡c' на втором шаге, используя θi, полученную на шаге 4.
Если c''=c', то СТОП, задаем yr=c''и определяем k как R. В противном случае переходим к шагу 7.
Определяем c'=c'' и переходим к шагу 3.

Каждый из алгоритмов КМ определяет точку остановки на отпечатке неопределенности: L для y_l, R для y_r. Примерный результат изображен на рисунке 2.26.

Рисунок 2.26 - Результаты применения алгоритма КМ (дляL и R )

При обобщении всех итераций, можно выделить следующие формулы для расчета значений R и L.

(2.33)

(2.34)

В пределе, при дискретизации u и y стремящимися к нулю, L→y_l, R→y_r.

В результате применения такого усовершенствованного алгоритма КМ значительно сокращается время вычислений. Кроме этого, алгоритм Карника-Менделя среди достоинств имеет:

лучшее определение параметров;
лучшая организация шагов;
не происходит повторных вычислений при переходе от одной итерации к следующей.

Вычисление объединения всех результирующих правил на выходе занимает много времени. При выполнении дефаззификации нечеткого множества первого типа методом средней точки необходимо выполнить следующие действия:

Вычисляем центроиды для каждого логического правила j, выраженного НМ-1. Обозначим это cj, (j=1,…,M)
Вычисляем все центроиды для каждого результирующей части правила. Обозначим это fj , (j=1,…,M)
И рассчитываем CG-центроид:

(2.35)

Расчет параметров нечеткого множества второго типа происходит аналогично дефаззификации для НМ-1 и соответствует следующему алгоритму:

Вычисляем центроиды для каждого логического правила j, используя алгоритм КМ. Обозначим их [ylj,yrj], (j=1,…,M)
Вычисляем результирующие уровни для каждой результирующей части правила j. Обозначим их как [fj, fj] , (j=1,…,M)
Вычисляем YCOSx=(ylx,yr(x)), где ylx – результат выполнения КМ-алгоритма методом минимизации, где yrx – результат выполнения КМ-алгоритма методом максимизации. Расчет происходит в общем представлении следующим образом:

(2.36)

Как видно при сравнении двух алгоритмов, присутствует общая логика при вычислении четкой оценки, но во втором случае, ввиду особенностей представления функции принадлежности часть действий преобразуется для работы с отпечатком неопределенности.

Общая схема понижения типа и дефаззицикации представлена на рисунке 2.27.

Рисунок 2.27 - Расширенная схема обработки нечеткого вывода типа-2

Процедура дефаззификации необходима при использовании нечеткой логики в компьютерных приложениях для наглядной интерпретации и корректной последующей обработки результатов. [12]

2.2.6 Алгоритм нечеткого вывода для ИНМТ-2

Интервальные нечеткие множества второго порядка имеют очень схожие алгоритмы обработки. Из-за постоянного значения вторичной переменной, равного единице, все логические операции проводятся только над границами следа неопределенности: нижней и верхней ФП. Общая логика остается неизменной.

Усложнена также процедура дефаззификации результата. Она включает понижение типа функции принадлежности.

Представим графически всю совокупность шагов нечеткого вывода, которая будет использоваться для создания программного алгоритма.

В алгоритме прослеживается три основных этапа, как для первого, так и для второго порядка. Первый этап соответствует заданию параметров задачи, а именно определение критериев, их соотношений в виде правил и оцененных альтернатив.

Именно на этапе оценки и вводятся нечеткие множества второго типа.

Для каждой альтернативы необходимо задать интервал, соответствующий вертикальному срезу функции неопределенности второго типа (рисунок 2.28).

Рисунок 2.28- Интервал вертикального среза

Таким образом, альтернатива будет характеризоваться двумя значениями по каждому критерию, что соответствует верхней и нижней ФП.

Второй этап заключается в процедуре обработки правил и их объединении. Все операции выполняются между верхними и нижними ФП обрабатываемых множеств соответственно.

После выполнения этого этапа получаем нечеткого множество второго порядка, что не может быть конечным результатом, поскольку сложно интерпретируемо. Для этого введен третий этап, проводящий операции понижения типа и дефаззицикации алгоритмом Карника-Менделя.

Разработанный алгоритм представлен на рисунке 2.29.

Рисунок 2.29 - Алгоритм нечеткого вывода для НМ-2

Формализуем представленный алгоритм.

Пусть U — множество элементов, A— его нечеткое подмножество, степени принадлежности элементов к которому есть два числа из единичного интервала [0, 1]. Подмножества A_j являются значениями лингвистической переменной X.

В общем случае высказывание d1 имеет вид:

d1: "Если x1 = А_1i, и x2 = А_2i и ... хр = А_рi то S = В_i".

Обозначим пересечение (x1 = А1i ∩ x2 = А2i ∩... хр = Арi) через х = Аi. Операции пересечения нечетких множеств соответствует нахождение минимума их функций принадлежности:

μA1ν={minν∈VμAi1u1, μAi2u2,…,μAipup,

minν∈VμAi1u1, μAi2u2,…,μAipup} (2.37)

Здесь V= U1xU2x...xUp; v = (u1, u2 ..., up); μAij (uj) — верхнее значение принадлежности элемента и, нечеткому множеству Аij, μAij (uj) — нижнее значение принадлежности элемента и, нечеткому множеству Аij.

Тогда высказывание (1) можно записать в виде:

dj:"Если x=Ai, то S=Bj"(2.38)

Для представления правил используется операция импликации, для которой предложены различные способы нечеткой реализации. Нечеткая импликация Мамдани для ФП второго типа имеет вид:

μHw,i={minμAw,μBi,minμAw,μBi}, (2.39)

где Н — нечеткое подмножество на W x I, w ∈ W, i ∈I.

D = H1 ∪ H2 ∪ ... ∪ Нq (2.40)

и для каждого (w, i) ∈ W x I

μDw,i={maxw∈WμHjw,i,maxw∈WμHjw,i}, j=1,q. (2.41)

Для сравнения и оценки альтернатив необходимо вычислить точечные значения. Для этого воспользуемся алгоритмом Карника-Менделя.

yl=min∀θiϵ[LMFByi,UMFByi]i=1Nyiθii=1Nθi (2.42)

yr=max∀θiϵ[LMFByi,UMFByi]i=1Nyiθii=1Nθi (2.43)

В пределе, при дискретизации u и y стремящимися к нулю, L→y_l, R→y_r.

Окончательная точечная оценка в соответствии с алгоритмом центра тяжести (центроида), происходит по следующей формуле:

yCOS=yl+yr2 (2.44)

2.2.7 Преимущества и ограничения методов, основанных на НМ-2

Методы НМ-2 эффективно отражают неопределенность, позволяя смоделировать лингвистические переменные. Это и есть основное достоинство методов НМ-2 и их реальное преимущество над НМ-1.

В список основных недостатков методов НМ-2 входит объем вычислений, необходимых для получения результата. Это ограничение имеет отражение в приложениях, зарегистрированных до настоящего момента. Нет приложений, выполняемых в реальном времени, которые можно полностью реализовать методами НМ-2, хотя интервальные методы все же нашли применение. При помощи описания неопределенностей методами НМ-2 можно найти более простые решения сложных проблем.

Крупным успехом методов НМ-1 было применение в управлении приложениями. Пока методы НМ-2 не пошли по этому пути, хотя потенциал НМ-2 в управлении значителен.

По сути, НМ-2 решают очень широкий круг задач, которые встречаются в повседневной жизни, поскольку меньше привязаны к четкому компьютерному представлению за счет использования неопределенности и размытости данных.

В перспективе, нечеткие множества второго порядка займут свое место среди классических методов (рисунок 2.30), когда за счет роста вычислительных мощностей затраты на обработку операций будут не столь значительными и приемлемыми в рамках динамических и оперативных задач.

Рисунок 2.30-Области применения НМ-2

3 РАЗРАБОТКА И ТЕСТИРОВАНИЕ ПП

3.1 Применение программных средств с нечеткой логикой

Как давно было доказано временем, жизнеспособность любой теоретической концепции в первую очередь определяется возможностью ее реализации и поддержки в соответствующих программных инструментах. Появление и успешное развитие коммерческих программных средств, которые специально ориентированы на решение задач нечеткого моделирования, объективно свидетельствуют в пользу того, что теория нечетких множеств и нечеткая логика могут и должны быть эффективно использованы для решения широкою круга практических задач.

Приложения, использующие нечеткую логику первого порядка, уже давно вошли на рынок программного обеспечения. Они применяются как в технических в виде систем управления и контроля, так и экономических системах как СППР или экспертные системы. С приложениями, основанными на нечеткой логике второго порядка, дело обстоит хуже. И дело тут совершенно не в сомнительной перспективности теории. Данное направление только начинает развиваться и в основном пока известно на теоретическом уровне, да и то в западных странах. Многие существующие программные средства имеют неплохую базу для расширения механизмов обработки нечетких множеств до второго порядка, но, да сегодняшний день о серьезных разработках ничего не известно.

Наиболее мощными программными средствами, имеющими механизмы обработки НМ-1 являются MATLAB и FuzzyTECH. Рассмотрим их основные механизмы обработки нечеткой логики.

3.2 Анализ существующих программных средств

3.2.1 MATLAB

Система MATLAB, разработанная и постоянно обновляемая компанией MathWorLs Inc. (США), является одной из наиболее известных систем компьютерной математики. К последним принято относить специализированные компьютерные программы, которые предназначены для решения широкого класса задач, связанных с тем пли иным разделом теоретической или прикладной математики, При этом отдельные классы задач, которые позволяет решать система MATI.AB, имеют весьма условное отношение к классической математике, поскольку в настоящее время представляют собой узко специализированные области научных и прикладных исследований.

Использование системы MATLAB и связанных с ней методик моделирования и процедур выполнения численных расчетов стало стандартом tie facto для широчайшего круга специалистов из самых различных областей науки, техники, экономики и образования Содержащая специальные средства нечеткого моделирования, система MATLAB позволяет выполнять весь комплекс исследований по разработке и применению нечетких моделей.

Система MATLAB (сокращение от англ. MATrix LABoratory матричная лаборатория) представляет собой интегрированную программную среду для выполнения численных расчетов, компьютерного моделирования и вычислительных экспериментов, охватывающих в том или ином объеме различные области классической и современной математики, а также широчайший спектр инженерных приложений.

Архитектурно система MATLAB состоит из базовой программы и нескольких десятков так называемых пакетов расширения, которые в своей совокупности обеспечивают исключительно широкий диапазон решаемых задач. Интеграция всех этих средств в единой рабочей среде обеспечивает необходимую гибкость использования сотен встроенных функции, реализующих разнообразные математические процедуры и вычислительные алгоритмы.

Нечеткое моделирование в среде MATLAB осуществляется с использованием пакета расширения Fuzzy Logic Toolbox, в котором реализованы десятки функций нечеткой логики и нечеткого вывода. Процесс моделирования может происходить в одном из следующих режимов:

в интерактивном режиме с помощью графических средств редактирования и визуализации всех компонентов систем нечеткого вывода;
в режиме команд с помощью ввода имен соответствующих функций с необходимыми аргументами непосредственно в окно команд системы MATLAB

Для разработки и дальнейшего применения систем нечеткого вывода в интерактивном режиме могут быть использованы следующие графические средства, входящие в состав пакета Fuzzy Logic Toolbox:

Редактор систем нечеткого вывода F1S (FIS Editor) или сокращенно - редактор FIS.

Рисунок 3.1- Редактор FIS

Редактор функций принадлежности системы нечеткою вывода (Membership Function Editor) или сокращенно - редактор функций принадлежности.

Рисунок 3.2-Редактор функций принадлежности

Редактор правил системы нечеткого вывода (Rule Editor) или сокращенно — редактор правил.

Рисунок 3.3-Редактор правил

Программа просмотра правил системы нечеткого вывода (Rule Viewer) или сокращенно — просмотрщик правил вывода.

Рисунок 3.4-Просмотрщик правил вывода

Программа просмотра поверхности системы нечеткого вывода (Surface Viewer) или сокращенно — просмотрщик поверхности вывода. [18]

Рисунок 3.5- Просмотрщик поверхности вывода

В программной среде MATLAB разработан очень гибкий, за счет множества настроек и параметризации, механизм. Но, к сожалению, он на данный момент не рассчитан на обработку нечетких множеств второго типа, которые требуют введения новой характеристики первичной переменной. Данное изменение сложно внести в уже существующий инструментарий среды.

К числу ограничений в использовании данного программного средства для решения поставленной задачи относится также его большая стоимость и значительные вычислительные ресурсы для поддержки всего комплекса средств. Последнее является серьезным недостатком с учетом собственной сложности вычислений для отпечатков неопределенности.

3.2.2 FuzzyTECH

Программа fuzzyTECH разработанная и постоянно обновляемая компанией INFORM GmbH (Inform Software Corporation, Германия), предназначена для решения различных задач нечеткого моделирования. В отличие от системы MAТLAB, программа fuzzyTECH является специализированным средством, которое позволяет разрабатывать и исследовать разнообразные нечеткие модели в графическом режиме.

Основные принципы работы fuzzyTECH:

Проект системы нечеткого вывода в fuzzyTECH может иметь несколько блоков правил (Rule Blocks) нечетких продукций, каждый из которых может содержать собственные входные и выходные лингвистические переменные. При этом отдельные блоки правил могут соединяться между собой последовательным или параллельным образом.
Кроме входных (Inputs) и выходных (Outputs) лингвистических переменных пропеты fuzzyTECH могут иметь так называемые промежуточные лингвистические переменные. Эти переменные появляются в тех случаях, когда блоки правил соединяются последовательно, т. е. выход одного блока правил соединяется с входом другого блока правил.
Все операции по разработке, редактированию, отладке и анализу проектов в программе fuzzyTECH выполняются в графическом интерактивном режиме, при этом для создания прототипов проектов и спецификации их отдельных компонентов могут быть использованы различные мастера (Wizards).
Использование в программе fuzzyTECH технологии динамического обмена данными (Dynamic Data Exchange или сокращенно - DDE) позволяет совместно использовать разработанные нечеткие модели с другими программами и инструментами, такими как MS Access. MS Excel, MATLAB. При этом программа fuzzyTECH может выступать как в роли сервера, так и в роли клиента, что существенно расширяет диапазон возможных приложении разрабатываемых нечетких моделей. В последнем случае для нечеткого управления удаленными объектами необходимо использовать тот или иной протокол передачи данных (TCP/IP, IРХ/SРХ) и дополнительные интерфейсы (последовательный интерфейс RS232,SD1 5, SFS.FTOCC).
В нечетких проектах fuzzyTECH могут быть использованы различные типы и формы функций принадлежности термов лингвистических переменных. Что касается типов функций принадлежности, то пользователь может выбрать один из вариантов, приведенных ниже.
- - Стандартный вариант функции принадлежности (Standard MBFs), который иногда называют "4-точечным" вариантом, поскольку основан на использовании 4 характеристических точек или параметров для задания соответствующей функции принадлежности.
  - Произвольный вариант функции принадлежности (Arbitrary MBFs), в рамках которого можно использовать до 16 характеристических точек или параметров для задания или аппроксимации соответствующей функции принадлежности.
  - Инверсный вариант функции принадлежности (Inverse MBFs), который может оказаться полезным при определении правил нечетких продукций с отрицанием существующих в проекте термов (inverse terms) для отдельных лингвистических переменных.
Каждый из типов функции принадлежности может иметь одну из форм, приведенных ниже.
- Линейную (L-shape), которая предполагает представление функции принадлежности в форме треугольной, трапециевидной функции или их некоторой комбинации.
- S-образную (S-shape), которая предполагает представление функции принадлежности в форме некоторой S-образной. Z-образной или //-образной кривой.
В программе fuzzy TECH могут быть, различные методы фаззификации входных переменных. При этом пользователь может выбрать один из следующих вариантов фаззификации.
- Стандартный метод фаззификации (Compute MBF) предполагает использование функций принадлежности стандартного типа — треугольных, трапециевидных и кусочно-линейных кривых.
- Нечеткий вход (Fuzzy Input) указывает, что вес термы соответствующей лингвистической переменной представляются в форме вектора значении функции принадлежности. Этот вариант более эффективен при реализации систем нечеткою вывода на конкретной аппаратной платформе.
- Нечеткий вход в форметаблицы указывает, что нечеткие значении соответствующей лингвистической переменной вычисляются с помощью некоторого алгоритма и представляются в форме таблицы. Этот вариант может быть использован для увеличения скорости вычислений на некоторых типах микроконтроллеров и нечетких микропроцессоров.
- Быстрый метод фаззификации (Fast Computation of MBF) является разновидностью стандартного метода применительно к некоторым конкретным типам микроконтроллеров. Этот вариант обладает наибольшей эффективностью при использовании конкретной аппаратной платформы.
- Обычный вход (Categorical) указывает, что все термы соответствующей лингвистической переменной представляются в форме обычного вектора значений.
В нечетких проектах fuzzyTЕCH могут быть также использованы различные методы агрегирования, композиции, аккумуляции и дефаззификации полученных результатов нечеткого вывода. [18]

FuzzyTЕCH является очень мощным программным средством. Являясь узкоспециализированным, оно предусматривает возможность использования огромного перечня вариантов исполнения основных функций нечеткого логического вывода, которые предлагает теория нечетких множеств. Огромная степень адаптивности работы как с внешними программными приложениями, так и на микроконтроллерном уровне сделало данное программное средство весьма востребованным.

Однако, как и в случае со средой MATLAB, разработчики FuzzyTЕCH пока не включили в его инструментарий средства обработки нечетких множеств второго порядка. Очень вероятно, что ситуации в ближайшие годы изменится, и системы, основанные на логическом выводе, выйдут на новую ступень.

3.3 Описание разработанного программного средства

Поскольку на данный момент не известно о доступных приложениях обработки нечеткой логики второго порядка, было разработано программное средство, направленное на демонстрацию основных возможностей данной концепции.

В основу данного средства был заложен механизм решения задачи многокритериального выбора альтернатив методами нечеткого вывода на основе базы правил.

Логика программы построена на использовании моделей, которые равносильны готовым шаблонам. Причем, любая модель составляется из двух компонентов, реализованных в отдельных файлах: совокупностей критериев и правил. Ее общая структура представлена на рисунке 3.6.

Рисунок 3.6- Структура программы

Как видно из структуры, при построении правил в задаче, имеется возможность использования модификаторов и логических связок, что позволяет использовать несколько критериев одновременно и задавать степень их значимости при помощи лингвистических окрасок (рисунок 3.7).

Рисунок 3.7- Форма просмотра и задания параметров модели

Используя данный инструментарий можно как загружать готовые модели, так и создавать новые (рисунок 3.8). Имеется возможность сохранения разработанных моделей.

Рисунок 3.8-Форма создания правил

Соотношение компонентов и их параметров, необходимых для корректного решения поставленной задачи, представлены в виде иерархии диаграмм нечеткой логической системы второго порядка (рисунок 3.9).

Рисунок 3.9 - Иерархия диаграмм нечеткой логической системы второго порядка

В диаграмме использованы следующие обозначения:

Метод_И - метод, реализующий логическое объединение.

Метод_ИЛИ – метод, реализующий логическое пересечение.

Метод_ДФ – метод, реализующий процедуру дефаззификации.

Метод_ПЦ – метод, реализующий процедуру поиска центра найденного множества.

Общая последовательность шагов решения задачи многоальтернативного выбора представлена на рисунке 3.10. Более подробно представлена часть определения основных параметров. Альтернативы оцениваются двумя значениями, заключающими интервал неопределенности по данному критерию.

Рисунок 3.10 - Общий алгоритм программы

Свертка правил происходит в соответствии со следующим механизмом. Разбор правил на критерии, модификаторы и логические операторы, представленных первоначально в строковом виде, осуществляется при помощи анализатора строк.

Разобранные правила переносятся в массив. Для удобства обработки, каждому виду модификаторов, операторов и лингвистических значений ФП были присвоены числовые эквиваленты (таблица 3.1)

Таблица 3.1 - Эквиваленты модификаторов, операций и значений следствий

Обозначение в массиве	Расшифровка значения
Операторы (ОПР)
0	Данный критерий в правиле не используется
1	Данный критерий последний в правиле (=)
2	После данного критерия расположен оператор AND (И)
3	После данного критерия расположен оператор OR (ИЛИ)
Модификаторы (МОД)
0	Модификатор для данного критерия не используется
1	Для данного критерия используется модификатор ОЧЕНЬ
2	Для данного критерия используется модификатор НЕ
Значения следствий
1	Удовлетворительно (S)
2	Более, чем удовлетворительно (MS)
3	Очень удовлетворительно (VS)
4	Безупречно (P)
5	Неудовлетворительно (US)

Листинг разработанной программы приведен в Приложении А.

3.4 Описание решаемой задачи. Основные условия

Для демонстрации применения разработанных алгоритмов и программного средства решим поставленную ранее задачу о выборе продуктовой программы в рамках инвестиционной деятельности.

Задачу поставим следующим образом.

В результате анализа предположительной эффективности организация остановила свой выбор на инвестиционном проекте номер 1, заключающемся во вложении свободных средств в возведение нежилого объекта. Данный проект может развиваться в нескольких вариантах, в зависимости от типа строения. В результате обсуждений, аналитики организации предложили следующие программы:

офисное назначение;
складское назначение;
торговое назначение (не продуктовое);
торговое назначение (продуктовое);
социальное назначение.

Для придания общего вида, обозначим данные варианты как Альтернатива 1,…Альтернатива 5 соответственно.

База правил (d1,..,d6) формируется из следующих высказываний:

Если для альтернативы вклад в покрытие постоянных затрат и прибыль, общая оценка пригодности и пригодность для сбыта приемлемы, то она – удовлетворительна.
Если для альтернативы вклад в покрытие постоянных затрат и прибыль приемлемы, но оценка пригодности на низком уровне, имеется неплохая система для сбыта и умеренные затраты капитала в основные средства, то она – более, чем удовлетворительна.
Если для альтернативы вклад в покрытие постоянных затрат и прибыль, общая оценка пригодности и пригодность для сбыта, затраты в основные и оборотные средства приемлемы, то она - безупречна.
Если для альтернативы вклад в покрытие постоянных затрат и прибыль, общая оценка пригодности и пригодность для сбыта, затраты в оборотные средства приемлемы, то она – очень удовлетворительна.
Если для альтернативы вклад в покрытие постоянных затрат и прибыль – очень привлекательны, общая оценка пригодности – на низком уровне, пригодность для сбыта и затраты в оборотные средства приемлемы, то она – удовлетворительная.
Если альтернатива имеет непривлекательные условия вклада в покрытие постоянных затрат и прибыть или совершенно не пригодна для сбыта, то она – неудовлетворительная.

Критерии (Х1, …, Х5), используемые для оценки данных альтернатив, были заданы следующим образом:

Вклад в покрытие постоянных затрат и прибыль (Критерий 1).
Общая оценка пригодности (Критерий 2).
Пригодность для сбыта, система маркетинга (спрос арендных площадей) (Критерий 3).
Затраты капитала в основные средства (Критерий 4).
Затраты капитала в оборотные средства (Критерий 5).

Переменные x1,x2,…,x5 будем измерять на базовом множестве U альтернатив.

Для дальнейшего формулирования правил необходимо определить возможные значения множества переменных x1,x2,…,x5 и y, которые будут использоваться для оценки альтернатив в правилах d1…d6:

d1: Если х1=приемлемо И

х2= приемлемо И

х3= приемлемо,

то y = удовлетворительно.

d2: Если х1=приемлемо И

х2= приемлемо И

х3= приемлемо И

х4= приемлемо,

то y = более, чем удовлетворительно.

d3: Если х1=приемлемо И

х2= приемлемо И

х3= приемлемо И

х4= приемлемо И

х5= приемлемо,

то y = безупречно.

d4: Если х1=приемлемо И

х2= приемлемо И

х3= приемлемо И

х5= приемлемо,

то y = очень удовлетворительно.

d5: Если х1=очень приемлемо И

х2= на неприемлемом уровне И

х3= приемлемо И

х5= приемлемо,

то y = удовлетворительно.

d6: Если х1= на неприемлемом уровне И

х3= на неприемлемом уровне,

то y = неудовлетворительно.

Переменная Y задана на множестве: Y={0;0,1;0,2;…;1}

Зададим вид функции принадлежности для следствий (таблица 3.2). Будем считать полученное значение - усредненным между верхней и нижней границей интервала неопределенности. Сами границы зададим как {max⁡(0,μx-0,05)/min⁡(1,μx+0,05)}.

Таблица 3.2 - Определение вида ФП для следствий

№	Обозначение	Алгебраическая форма	Графическая форма
1	S = удовлетворительно	μsx=x, xϵY
2	MS= более, чем удовлетворительно	μMSx=x3, xϵY
3	P= безупречно	μPx=1, если x=10, если x≠1

Продолжение таблицы 3.2

№	Обозначение	Алгебраическая форма	Графическая форма
4	VS= очень удовлетворительно	μVSx=x2, xϵY
5	US= неудовлетворительно	μUSx=1-x, xϵY

При формировании левой части правил, анцедентов, кроме логических операторов часто используются модификаторы, воздействующие на конечное значение функции принадлежности. Они приближают структуру правил к естественному языку. Примеры приведены в таблице 3.3.

Таблица 3.3 - Примеры модификаторов

Квантификатор	Функция принадлежности
Не t	1-μi(u)
Очень t	(μi(u))2
Более-менее t	μi(u)

Обозначим отношение каждого критерия на всю совокупность альтернатив через A,B,..E. Экспертные оценки значений степеней принадлежности альтернатив с учетом весов критериев представлены в таблице 3.4. LMF – нижнее значение ФП, UMF-верхнее значение ФП.

Таблица 3.4 - Заданные оценки для альтернатив

Критерий	u1		u2		u3		u4		u5
Критерий	LMF	UMF	LMF	UMF	LMF	UMF	LMF	UMF	LMF	UMF
A	0,7	0,9	0,4	0,7	0,5	0,6	0,1	0,2	0,2	0,4
	0,4	0,6	0,9	1	0	0,1	0,3	0,5	0,9	1
C	0,5	0,7	0,8	1	0,9	1	0,6	0,7	0,9	1
D	0,9	1	0,2	0,4	0,9	1	0	0,1	0	0,1
E	0	0,1	0,5	0,6	0,9	1	0,7	0,8	0,1	0,2

С учетом всех введенных обозначений конечный вид правил представлен следующим образом:

d1: Если x=A И В И С, то Y=S

d2: Если x=A И В И С И D, то Y=MS

d3: Если x=A И В И С И D И Е, то Y=P

d4: Если x=A И В И С И Е, то Y=VS

d5: Если x= ОЧЕНЬ A И НЕ В И С И Е, то Y=S

d6: Если x=НЕ A ИЛИ НЕ С, то Y=US

На этом этапе часть постановки задачи заканчивается и необходимо приступать к расчетам.

3.5 Расчет показателей без программного средства

Оценки заданным альтернативам были обозначены следующим образом:

A={0,70,9u1; 0,40,7u2; 0,50,6u3; 0,10,2u4; 0,20,4u5},

B=0,40,6u1; 0,91u2; 00,1u3; 0,30,5u4; 0,91u5,

C={0,50,7u1; 0,81u2; 0,91u3; 0,60,7u4; 0,90,1u5},

D={0,91u1; 0,20,4u2; 0,91u3; 00,1u4; 00,1u5},

E={00,1u1; 0,50,6u2; 0,91u3; 0,70,8u4; 0,10,2u5}.

Используя правило (2.37) вычисляем ФП μui для левых частей приведенных правил d1…d6:

d1: μM1u=minμAu,μBu,μcu/minμAu,μBu,μcu

M1={0,40,6u1; 0,40,7u2; 00,1u3; 0,10,2u4; 0,20,4u5}

d2: μM2u=minμAu,μBu,μcu,μDu/minμAu,μBu,μcu, μDu

M2={0,40,6u1; 0,20,4u2; 00,1u3; 00,1u4; 00,1u5}

d3: μM3u=minμAu,μBu,μcu,μDu,μEu//minμAu,μBu,μcu, μDu, μEu

M3={00,1u1; 0,20,4u2; 00,1u3; 00,1u4; 00,1u5}

d4: μM4u=minμAu,μBu,μcu,μEu/minμAu,μBu,μcu, μEu

M4={00,1u1; 0,40,6u2; 00,1u3; 0,10,2u4; 0,10,2u5}

d5: μM5u=minμA2u,μB1-u,μcu,μEu//minμA2u,1-μBu,μcu, μEu

M5=00,1u1; 00,1u2; 0,250,36u3; 0,010,04u4; 00,04u5

d6: μM6u=max1-μAu,1-μcu/max1-μAu,1-μcu

M6=0,30,5u1; 0,30,6u2; 0,40,5u3; 0,80,9u4; 0,60,8u5

В случае если значение нижней границы степени принадлежности превосходит верхнее значение после операции дополнения, как, например, в правиле 5, то они меняются местами.

Используя правило преобразования импликации «Если x=M, то Y=Q» в выражении μHw,i={minμAw,μBi,minμAw,μBi}, для каждой пары u,i, U×Y и учитывая дополнительное размытие ФП следствия (±0,05), получаем следующие нечеткие подмножества (D1…D6):

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

D1=

0/0,05

0,05/0,15

0,15/0,25

0,25/0,35

0,35/0,45

0,4/0,55

0,4/0,6

0/0,05

0,05/0,15

0,15/0,25

0,25/0,35

0,35/0,45

0,4/0,55

0,4/0,65

0,4/0,7

0/0,05

0/0,1

0/0,05

0,05/0,15

0,1/0,2

0/0,05

0,05/0,15

0,15/0,25

0,2/0,35

0,2/0,4

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

D2=

0/0,05

0/0,08

0,04/0,14

0,11/0,21

0,2/0,3

0,3/0,4

0,4/0,51

0,4/0,6

0/0,05

0/0,08

0,04/0,14

0,11/0,21

0,2/0,3

0,2/0,4

0/0,05

0/0,08

0/0,1

0/0,05

0/0,08

0/0,1

0/0,05

0/0,08

0/0,1

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

D3=

0/0

0/0,1

0/0

0,2/0,4

0/0

0/0,1

0/0

0/0,1

0/0

0/0,1

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

D4=

0/0,05

0/0,06

0/0,09

0/0,1

0/0,05

0/0,06

0/0,09

0,04/0,14

0,11/0,21

0,2/0,3

0,31/0,41

0,4/0,54

0,4/0,6

0/0,05

0/0,06

0/0,09

0/0,1

0/0,05

0/0,06

0/0,09

0,04/0,14

0,1/0,2

0/0,05

0/0,06

0/0,09

0,04/0,14

0,1/0,2

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

D5=

0/0,05

0/0,1

0/0,05

0/0,1

0/0,05

0,05/0,15

0,15/0,25

0,25/0,35

0,25/0,36

0/0,05

0,01/0,04

0,01/00,4

0,01/0,04

0/0,05

0/0,15

0/0,25

0/0,35

0/0,4

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

D6=

0,3/0,5

0,3/0,45

0,25/0,35

0,15/0,25

0,05/0,15

0/0,05

0,3/0,6

0,3/0,55

0,3/0,45

0,25/0,35

0,15/0,25

0,05/0,15

0/0,05

0,4/0,5

0,35/0,45

0,25/0,35

0,15/0,25

0,05/0,15

0/0,05

0,8/0,9

0,75/0,85

0,65/0,75

0,55/0,65

0,45/0,55

0,35/0,45

0,25/0,35

0,15/0,25

0,05/0,15

0/0,05

0,6/0,8

0,6/0,75

0,55/0,65

0,45/0,55

0,35/0,45

0,25/0,35

0,15/0,25

0,05/0,15

0/0,05

Функциональное решение D рассчитывается по формуле (2.41) и имеет вид:

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

0,3/0,5

0,35/0,5

0,4/0,55

0,4/0,6

0,3/0,6

0,35/0,6

0,4/0,55

0,4/0,65

0,4/0,7

0,4/0,5

0,35/0,45

0,25/0,36

0,8/0,9

0,75/0,85

0,65/0,75

0,55/0,65

0,45/0,55

0,35/0,45

0,25/0,35

0,15/0,25

0,1/0,2

0,6/0,8

0,6/0,75

0,55/0,65

0,45/0,55

0,35/0,45

0,25/0,4

0,2/0,4

Для интерпретации полученного функционального решения применим алгоритм Карника-Менделя.

Рассчитаем значение центроида для каждой альтернативы.

Альтернатива u1

Вычисление y_l:

1. Определяем каждую θ как LMFByi+UMFByi/2

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
u1	0,4	0,4	0,4	0,4	0,43	0,48	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5

2. Вычисляем c'=i=1Nyiθii=1Nθi

c'=0,53

3. Находим k(k=1,…,N-1) так, что yk≤c'≤yk+1

k=6, 0,5≤0,53≤0,6

4. Получаем θi=UMFByi i≤k LMFByi i≥k+1

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
u1	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,55	0,4	0,4	0,4	0,4	0,4

5. Вычисляем c''≡c' на втором шаге, используя θi, полученную на шаге 4.

c'=0,47

6. Если c''=c', то СТОП, задаем yl=c''и определяем k как L. В противном случае переходим к шагу 7.

c''≠c'. Следовательно, переходим к шагу 7.

7. Определяем c'=c'' и переходим к шагу 3.

c'=c''=0,47

3.2 Находим k(k=1,…,N-1) так, что yk≤c'≤yk+1

k=5, 0,4≤0,53≤0,5

4.2 Получаем θi=UMFByi i≤k LMFByi i≥k+1

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
u1	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5	0,4	0,4	0,4	0,4	0,4	0,4

5.2 Вычисляем c''≡c' на втором шаге, используя θi, полученную на шаге 4.

c'=0,47

6.2 Если c''=c', то СТОП, задаем yl=c''и определяем k как L. В противном случае переходим к шагу 7.

c''=c' . Следовательно, yl=c''=0,47

Вычисление y_r:

1. Определяем каждую θ как LMFByi+UMFByi/2

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
u1	0,4	0,4	0,4	0,4	0,43	0,48	0,5	0,5	0,5	0,5	0,5

2. Вычисляем c'=i=1Nyiθii=1Nθi

c'=0,53

3. Находим k(k=1,…,N-1) так, что yk≤c'≤yk+1

k=6, 0,5≤0,53≤0,6

4. Получаем θi=LMFByi i≤k UMFByi i≥k+1

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
u1	0,3	0,3	0,3	0,3	0,35	0,4	0,6	0,6	0,6	0,6	0,6

5. Вычисляем c''≡c' на втором шаге, используя θi, полученную на шаге 4.

c'=0,59

6. Если c''=c', то СТОП, задаем yr=c''и определяем k как R. В противном случае переходим к шагу 7.

c''≠c'. Следовательно, переходим к шагу 7.

7. Определяем c'=c'' и переходим к шагу 3.

c'=c''=0,59

3.2 Находим k(k=1,…,N-1) так, что yk≤c'≤yk+1

k=6, 0,5≤0,53≤0,6

4.2 Получаем θi=LMFByi i≤k UMFByi i≥k+1

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1
u1	0,3	0,3	0,3	0,3	0,35	0,4	0,6	0,6	0,6	0,6	0,6

5.2 Вычисляем c''≡c' на втором шаге, используя θi, полученную на шаге 4.

c'=0,59

6.2 Если c''=c', то СТОП, задаем yr=c''и определяем k как R. В противном случае переходим к шагу 7.

c''=c' . Следовательно, yl=c''=0,59

Вычисляем усредненное значение центроида по формуле (2.44):

yCOSu1=ylu1+yru12=0,47+0,592=0,53

Применив приведенный алгоритм для остальных альтернатив, получим следующие значения.

Таблица 3.5.- Результаты вычислений центроидов.

Альтернативы	yl	yr	ycos
u1	0,47	0,59	0,5300
u2	0,44	0,61	0,5271
u3	0,41	0,49	0,4513
u5	0,34	0,45	0,3959
u4	0,30	0,41	0,3345

Наивысшую суммарную оценку (0,53) получила альтернатива номер 1, что говорит о том, что инвесторы должны остановить выбор на стройке помещения офисного типа.

Окончательное решение остается за экспертами, которое можно сделать, учитывая результирующее ранжирование альтернатив.

3.6 Расчет показателей при помощи программного средства

Все данные, необходимые для анализа приемлемости альтернативы с помощью программного средства были представлены при постановке задачи. На их основании формируются перечни критериев и правил. Оба вида параметров задачи можно загрузить через диалог программы из готовых шаблонов (рисунок 3.11)

Рисунок 3.11 - Диалог открытия шаблона критериев

Кроме того, можно сформировать их непосредственно через интерфейс программы. Критерии вносятся простым добавлением в список при нажатии кнопки «Добавить критерий», правила строятся через дополнительный интерфейс (рисунок)

Рисунок 3.12 - Форма внесения нового правила

Правила формируются при помощи трех блоков элементов: операций и модификаторов, критериев, к которым должна быть применена первая группа компонентов, и оценки результата выполнения правила. Полностью сформированная модель поставленной задачи представлена на рисунке. При нажатии «Начать моделирование» происходит проверка наличия всех компонентов и переход на форму внесения экспертных оценок, соответствующих таблице 3.4 (рисунки 3.13, 3.14, 3.15, 3.16).

Рисунок 3.13 - Форма просмотра параметров задачи

Рисунок 3.14 -Внесение оценок экспертов

Рисунок 3.15- Внесение оценок экспертов

Рисунок 3.16- Внесение оценок экспертов

После оценки всех альтернатив по критериям по нажатию на кнопку «Далее>>» переходим на форму просмотра результатов анализа (рисунок ).

Рисунок 3.17- Форма результатов анализа

Разработанная программная система демонстрирует общий механизм работы алгоритма нечеткого вывода на основе нечетких множеств второго порядка. При дальнейшей доработке механизмов ввода и обработки первичных данных и увеличении степени дискретизации множеств, могут быть получены более качественные результаты.

Для решения реальных задач целесообразнее использовать более мощные приложения, такие как MATLAB и FuzzyTech, когда они будут включать механизмы обработки нечетких множеств второго порядка.

3.7 Выводы

Применение разработанного алгоритма с применением нечетких множеств второго порядка на практике показало его эффективность при решении задач многокритериального выбора альтернатив. В первую очередь это отражено в окончательном ранжировании результатов после нахождения центров множеств. Градация альтернатив получается более значительная, что позволяет эксперту сделать выбор с большей степенью уверенности. Увеличение шага между усредненными значениями центроидов обусловлено применением границ интервала неопределенности, а не точечной оценки.

Использование данного метода оценки альтернатив, кроме улучшения качества ранжирования, позволяет повысить качество вычислений предпочтительности. Это происходит за счет снятия ограничений в определении экспертом степеней соответствия критериям и размытия функции принадлежности для следствия правила.

Недостатком использования расширенного интервала степени соответствия альтернатив является увеличение объема вычислений. Это обусловлено, во-первых, проведением операций свертки правил и импликации для верхней и нижней функций принадлежности, во-вторых, итерационным алгоритмом Карника-Менделя.

Использование современных вычислительных средств позволяет снизить степень влияния проблемы объема вычислений при выборе средств решения задачи. Механизмом регулирования качества и времени вычислений является определение шага дискретизации нечеткого множества. Как правило, задачи с применением экспертных оценок не принадлежат к категории оперативных, поэтому дополнительное время расчетов вполне допустимо.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В качестве исходной для выполнения дипломной работы была поставлена задача нахождения метода, который поможет производить выбор в условиях неопределенности, соответствующих реальной жизни, выходя за рамки искусственной точности значений. Адаптация алгоритмов к информации такого вида позволяет делать прогнозы и оценки с гораздо большей точностью, чем использование классических «четких» методов, поскольку охватывают больше интуитивных представлений эксперта.

На этих принципах построена теория нечетких множеств. Она предлагает «нечеткие» оценки альтернатив, которые определяются степенями принадлежности к заданному критерию. Этот подход значительно расширяет возможности анализа в многокритериальном выборе, но они не всегда способны раскрыть всю степень неопределенности, присущую рассматриваемой задачи.

В связи с этим было предложено использовать естественное продолжение этой теории, а именно нечеткие множества второго порядка (НМ-2). Они позволяют задавать степень принадлежности при помощи НМ-1, что добавляет еще одно измерение неопределенности. Анализ особенностей данного типа множеств выявил возможность применения нечеткой математики первого типа при их интервальном представлении. Это свойство позволяет адаптировать НМ-2 к ранее разработанным алгоритмам с использованием НМ-1 для решения широкого ряда экономических и иных задач.

Используя инструментарий НМ-2, была разработана система нечеткого условного вывода на основе алгоритма Мамдани. Кроме применения процедур свертки правил и импликации для каждой из границ интервала неопределенности, важным отличием алгоритмов для НМ-2 порядка является необходимость применения процедур понижения типа, что успешно реализуется при помощи итерационного алгоритма Карника-Менделя.

С одной стороны это увеличивает время расчетов, но эта проблема решается использованием современных вычислительных средств. На данный момент не известны профессиональные программные средства, использующие нечеткую логику второго типа, но имеются тенденции к их скорому появлению.

Нечеткие множества второго порядка являются достаточно перспективным направлением, так как позволяют повысить качество вычислений. На примере рассмотренной задачи видно, что дополнительная неопределенность в степени принадлежности обеспечила более качественное ранжирование альтернатив, что позволяет эксперту сделать выбор альтернативы с большей степенью уверенности.

Таким образом, нечеткие множества второго порядка продвинут теорию и методологию принятия решений на шаг вперед, как в свое время это сделали нечеткие множества Л.Заде.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

Лотов А.В., Поспелова И.И. Многокритериальные задачи принятия решения: Учеб. пособие/ А.В . Лотов.- М: МАКС Пресс, 2008.-197 с.
Информационные технологии и системы поддержки принятия решений [Электронный ресурс] - Режим доступа: http://www.e-college.ru, свободный.
Планирование решений в экономике [Электронный ресурс]- Режим доступа: http://www.ecosyn.ru/page0003.html, свободный.
Ногин В.Д. Принятие решений при многих критериях: Учебно-методическое пособие/ В.Д. Ногин .-СПб: Издательство «ЮТАС», 2007.-104 с.
Чернов В.Г. Модели поддержки принятия решений в инвестиционной деятельности на основе аппарата нечетких множеств / В. Г. Чернов. – М. : Горячая линия – Телеком, 2006. –255 с.
Технологии принятия решений: метод анализа иерархий [Электронный ресурс], Режим доступа: http://citforum.iubip.ru, свободный.
Технологии анализа данных [Электронный ресурс], Режим доступа: http://www.basegroup.ru , свободный.
Демидова Л.А. Развитие методов теории нечётких множеств и генетических алгоритмов для задач поддержки принятия решений в условиях неопределённости: Теоретико-методологическое исследование: Автореф. дис. на соискание ученой степени д.т.н./ Демидова Лилия Анатольевна.- Рязань, 2009.-39 с.
Нечеткие множества второго типа [Электронный ресурс], Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/Нечеткие_множества_второго_типа, свободный.
Штовба С.Д. Проектирование нечетких систем средствами MATLAB/ под. ред. А.С. Попова.- М. : Горячая линия – Телеком, 2007. –288 с.
Нечеткая логика [Электронный ресурс], Режим доступа: http://www.victoria.lviv.ua, свободный
Introduction to Type-2 Fuzzy Sets and Systems/ Mendel J.//IEEE COMPUTANIONAL INTELLIGENCE MAGAZINE.-2007.- № 2.-Яз. англ
Интернет-университет интернет технологий INTUIT [Электронный ресурс]: Режим доступа: http://www.intuit.ru , свободный .
Simon Coupland . Type-2 Fuzzy Control of a Mobile Robot.- United Kingdom.-30 c – Яз. англ.
Электронная версия журнала КомпьюТерра [Электронный ресурс]: Режим доступа: http://offline.computerra.ru, свободный.
Juan R. Castro, Oscar Castillo, Luis G. Martínez. Interval Type-2 Fuzzy Logic Toolbox.- 2007.-№8.-Яз. англ.
Nilesh N. Karnik, Jerry M. Mendel. Operations on type-2 fuzzy sets.-2000.-№4.- Яз. англ.
Леоненков А. В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB fuzzyTECH.-СПб.:БХВ-Петербург. -2005.-736 с.
Erdal Kayacan, Ph.D. Candidate. Contributions to Type-2 Fuzzy Sets. Theory and Applications in Control Engineering and Robotics.-2009.-№10.-Яз. англ.
A Novel Algorithm for Tuning of the Type-2 Fuzzy System: Материалы конф. / First Joint Congress on Fuzzy and Intelligent Systems Ferdowsi University of Mashhad, Iran, 29-31 августа 2007.-Яз. англ.
Shang-Ming Zhou, Robert John, Francisco Chiclana and Jonathan M. Garibaldi. New Type-2 Rule Ranking Indices for Designing Parsimonious Interval Type-2 Fuzzy Logic Systems, 2007.- Яз. англ.

108

Просмотров работы: 27048

Код для цитирования:

V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

РАЗРАБОТКА МОДЕЛЕЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА АЛЬТЕРНАТИВ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Студенческий научный форум - 2013
V Международная студенческая научная конференция