V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Приведение матриц к диагональному виду значительно упрощает решение многих прикладных задач, находит широкое применение при моделировании линейных динамических систем, а также при решении систем линейных алгебраических уравнений.

В данной работе рассматриваются вопросы решения систем линейных алгебраических уравнений с одинаковыми основными матрицами систем (разными свободными членами). В этом случае удобно использовать каноническое разложение основной матрицы системы.

Рассмотрим решение следующих систем линейных уравнений:

и А=.

Построим каноническое разложение основной матрицы системы А. Для этого составим характеристическое уравнение матрицы А и найдем его корни:

- собственные значения.

Каждому собственному значению с учетом его кратности найдем соответствующие собственные векторы по формуле .

Для :

. Пусть , тогда .

Аналогично, для : получаем собственный вектор ;

для: получаем собственный вектор .

Из полученных собственных векторов , , составим собственный базис, в котором матрица А принимает диагональный вид

, где - матрица перехода к новому базису.

Построим каноническое разложение матрицы А:

.

Рассмотрим решения систем линейных уравнений , где , с помощью канонического разложения матрицы А.

Подставим в исходную систему каноническое разложение матрицы и получим . Умножим обе части уравнения слева на и введем замену .

Тогда или

Для имеем

или

Отсюда - единственное решение системы.

Аналогично, для получаем

- единственное решение системы.

Таким образом, каноническое разложение матрицы позволяет сократить вычисления при решении систем линейных алгебраических уравнений с одной и той же основной матрицей.

Код для цитирования: Скопировать