V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Целью работы является построение простой, но информативной математической модели эволюции распределения содержания частиц при их конвективной диффузии в плоской области с перегородками. Инструментом моделирования выбрана теория цепей Маркова для двухмерной цепи ячеек, схематично показанной на рис.1 слева. Текущее распределение содержания частиц по ячейкам описывается матрицей Sm размером nxm, где n – число строк, m – число столбцов в ней. Для выполнения расчетов эта матрица должна быть преобразована в вектор столбец S размером (nxm)x1, где ячейки пронумерованы последовательно по столбцам, а столбцы матрицы Sm расположены последовательно друг под другом.

Эволюция состояния процесса описывается рекуррентным матричным равенством

S^k+1=PS^k, (1)

которое связывает состояния, разделенные малым промежутком времени Δt, где k – номер временного перехода, а Р – матрица переходных вероятностей, являющаяся основным оператором модели. Эта матрица имеет размер (nxm)x(nxm) и строится по следующему правилу. Каждый ее столбец относится к определенной ячейке. В этом столбце в строках с номерами ячеек, куда возможен переход из данной ячейки, размещены вероятности этих переходов. Схематично набор переходов и их вероятностей показан на рис.1. Из ячейки возможны изотропные симметричные переходы с вероятностями d, относящиеся к чистой изотропной диффузии, и несимметричные (конвективные) переходы с вероятностью v, относящиеся в вынужденной диффузии (сегрегации) частиц. Элементы матрицы Р для прямоугольного домена без перегородок рассчитываются по следующим соотношениям:

вероятности переходов вверх – чистая диффузия с параметром d

P(n(j-1)+i-1,n(j-1)+i)=d, j=1:m, i=2:n; (2)

вероятности переходов вниз – диффузия с параметром d плюс конвекция с параметром v

P(n(j-1)+i+1,n(j-1)+i)=v(i,j)+d, j=1:m, i=1:n-1; (3)

вероятности переходов влево – чистая диффузия с параметром d

P(n(j-2)+i,n(j-1)+i)=d, j=2:m, i=1:n; (4)

вероятности переходов вправо – чистая диффузия с параметром d

P(n(j)+i,n(j-1)+i)=d, j=1:m-1, i=1:n; (5)

вероятности остаться (главная диагональ матрицы)

P(u,u)=1-sum(P(:,u)) , u=1:nm. (6)

Учет наличия перегородок может быть выполнен двумя способами. Во-первых, можно разместить перегородки между ячейками и запретить в матрице Р переходы между ячейками, разделенные перегородками. Во-вторых, если сетка ячеек достаточно густа и можно «пожертвовать» ячейками на размещение перегородок именно в них, то можно запретить переходы в эти ячейки. Второй путь алгоритмически более прост. Для его реализации создается матрица размещения перегородок, в которой отмечаются ячейки, занятые перегородками. Затем она преобразуется в вектор размещения перегородок, и строки в матрице Р, совпадающие с номерами ячеек с перегородками, обнуляются перед выполнением операции (6).

Эволюция содержания трассера по ячейкам легко визуализируется и ее можно наблюдать на мониторе. Одной из задач моделирования было исследование влияния формы и размещения перегородок на изменение во времени неоднородности распределения содержания трассера по ячейкам с целью поиска его минимума. Такая задача возникает при смешивании склонных к сегрегации сыпучих материалов. Неоднородность распределения может быть охарактеризована среднеквадратическим отклонением распределения содержания

. (7)

На рис.1 справа показано изменение во времени величины σ для домена без перегородок (тонкая линия) и с перегородками, размещенными так, как это показано на схеме сечения справа. Видно, что при наличии перегородок может быть достигнута меньшая неоднородность, то есть более высокое качество смеси. Разработанная модель открывает возможности поиска оптимальных форм и размещений перегородок, включая их меняющееся со временем расположение.

Другим примером, иллюстрирующим возможности модели, является расчет кинетики диффузионного процесса в сложной области с перегородкой, показанной на рис.2. Здесь последовательно изображены распределения концентрации ключевого компонента в различные моменты времени, то есть после разного числа временных переходов.

 

Рис 2. Сложная область с перегородками и структура домена (слева, сверху) и распределения концентрации ключевого компонента в различные моменты времени

 

Таким образом, разработанная модель позволяет прогнозировать кинетику конвективно-диффузионных процессов в областях сложной конфигурации с перегородками и находить и оценивать способы воздействия на процесс, оптимизирующие его выбранные интегральные характеристики.

Код для цитирования: Скопировать