ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА - Студенческий научный форум

V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА

Павелко Я.О. 1, Осетрова Н.В. 1
1Орловский филиал Финуниверситета
 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение

Стремительное развитие области информационных технологий и ее преобразующая роль в управлении общественными процессами сделали область информационных технологий катализатором управленческого прогресса. В России в последнее время активно предпринимаются шаги, направленные на превращение страны в современное высокотехнологичное государство. Мировая практика принятия сложных управленческих решений в различных экономических, социальных, политических, технических, военных и иных системах перешла на принципиально новый уровень методологической и инструментальной поддержки, когда те или иные варианты решений должны быть предварительно апробированы не на реальных объектах и людях, а на их аналогах, т. е. на моделях. В этой связи осуществление экономических, технических, политических решений или новаций требует предварительных оценок финишных результатов при помощи системного анализа и имитационного моделирования (ИМ). Этим объясняется актуальность темы данного исследования.

Имитационное моделирование применяется к процессам, в ход которых может время от времени вмешиваться человеческая воля. Человек, руководящий операцией, может в зависимости от сложившейся обстановки, принимать те или другие решения, подобно тому, как шахматист, глядя на доску, выбирает свой очередной ход. Затем приводится в действие математическая модель, которая показывает, какое ожидается изменение обстановки в ответ на это решение и к каким последствиям оно приведет спустя некоторое время. Следующее «текущее решение» принимается уже с учетом реальной новой обстановки и т.д. В результате многократного повторения такой процедуры руководитель как бы «набирает опыт», учится на своих и чужих ошибках и постепенно выучивается принимать правильные решения – если не оптимальные, то почти оптимальные.

Целью данной работы является раскрытие сущности и содержания метода имитационного моделирования в исследовании и управлении, рассмотрение метода на практике в современных условиях.

Обозначенная цель будет достигнута в ходе решения следующих задач исследования:

1. Определить понятия имитационной модели и имитационного моделирования.

2. Выделить этапы и структуру процесса имитационного моделирования.

3. Изучить историю становления имитационного моделирования в России.

4. Проанализировать динамику развития и применения метода имитационного моделирования в России.

5. Определить, как и какие основные системы имитационного моделирования используются в современных условиях для исследования и управления.

К имитационному моделированию прибегают, когда:

  • дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;

  • невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;

  • необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Цель имитационного моделирования состоит в разработке симулятора (англ. simulation modeling) исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов. Имитационное моделирование позволяет имитировать поведение системы во времени. Причём плюсом является то, что временем в модели можно управлять: замедлять в случае с быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной изменчивостью.

Задачи исследования, решаемые с помощью имитационного моделирования, можно разделить на 4 вида:

  • прямые задачи анализа, при решении которых исследуемая система задаётся параметрами своих элементов и параметрами исходного режима, структурой или уравнениями и требуется определить реакцию системы на действующие силы;

  • обратные задачи анализа, которые по известной реакции системы требуют найти возмущения, заставившие рассматриваемую систему прийти к данному состоянию и данной реакции;

  • задачи синтеза, требующие нахождения таких параметров, при которых процессы в системе будут иметь желательный по каким-либо соображениям характер;

  • индуктивные задачи, решение которых имеет целью проверку гипотез, уточнение уравнений, описывающих процессы, происходящие в системе, выяснение свойств этих элементов, отладка программ (алгоритмов) для расчётов на компьютере.

Методика построения имитационных моделей состоит из двух этапов:

  • Методология имитации – постановка задачи, подготовка данных, построение модели, оценка адекватности.

  • Организация имитационного эксперимента – планирование эксперимента, экспериментирование, обработка результатов, документирования.

Существует значительное количество опубликованных работ, посвященных изучению процесса имитационного моделирования. К ним можно отнести труды таких отечественных ученых как: В.В Девяткова, И.М Якимова, В.М. Попова, Г.П. Солодкова, В.М. Топилина, Н.Б. Кобелева.

Глава 1. История становления и применения имитационного моделирования в России

1.1. История становления имитационного моделирования в России

В начале 60-х годов в области аналитического моделирования систем массового обслуживания работало большое количество известных ученых. Необходимость более тщательного и всестороннего изучения реальных систем настоятельно требовала применения имитационных методов, пусть менее точных, но более детализированных и приближенных к реальности. Переходу к исследованию сложных систем методами имитационного моделирования способствовало и бурное развитие вычислительной техники. Разрабатывались все более и более совершенные ЭВМ, появлялись первые языки программирования.

Первые книги по имитационному моделированию, изданные в СССР, принадлежат член-корреспонденту АН СССР Н.П. Бусленко.

В конце 60-х годов в СССР сложилось несколько серьезных научных школ по моделированию. Заметное место среди них занимал коллектив кафедры ЭВМ МВТУ им. Н.Э. Баумана, возглавляемый крупным ученым в области теории проектирования ЭВМ профессором Б.В. Анисимовым. Работами по моделированию вычислительных машин и информационных систем на уровне устройств руководил доцент (позднее профессор) В.Я. Петров. Наиболее значительный вклад в это направление внесли: доцент (позднее профессор) А.В. Петров и доценты П.Н. Шкатов и В.М. Черненький. В работе коллектива принимали активное участие аспиранты и инженеры кафедры. Многие работы проведенные кафедрой получили широкое применение на практике, особенно в оборонных отраслях промышленности.

Одним из серьезных результатов явилась разработка языка СТАМ-КЛАСС (руководитель работ В.М.Черненький). Транслятор для данного языка был разработан сначала для ЭВМ М-222, а затем последовательно перенесен на БЭСМ-6, ЕС ЭВМ, IBM PC.

СТАМ-КЛАСС успешно использовался в учебном процессе и научных исследованиях на протяжении многих лет.

Примерно через четырнадцать лет после своего рождения и развития в СССР пришел GPSS1.

1.2. GPSS в России

Пальма первенства в освоении языка GPSS принадлежит сотруднику МИЭТ (г. Москва) А.Ф. Дедкову, по крайней мере, это была первая работа, получившая такой резонанс и вызвавшая практический интерес. Под руководством Дедкова в 1975 году была освоена система GPSS/360 на ЕС ЭВМ. Им был осуществлен перевод документации, объемом примерно в 300 страниц. В связи с тем, что серьезного распространения системы усилиями учебного вуза не получилось, материалы для развития работ были переданы на Казанский завод ЭВМ. Дедков продолжал активно проводить исследования и разработки в данной области. В частности он разработал очень интересную по своим идеям систему ПЛИС на языке PL/I.

В 1976 году впервые в СССР коллектив под руководством И.М. Якимова и В.В. Девяткова завершил работы по освоению и промышленному выпуску пакета прикладных программ моделирования дискретных систем ПМДС. В основе этого пакета был язык GPSS/360. Отличительной особенностью работ проведенных в СКБ Казанского завода ЭВМ является то, что это был серийно разработанный пакет программ. Он прошел все виды испытаний, имел полновесный комплект документации, удовлетворял требованиям ГОСТ ЕСПД (около тысячи страниц), были подготовлены для серийного тиража копии и дубликаты программ, кальки документации, методика контроля и приемки, сдан в государственный фонд алгоритмов и программ. Он распространялся как отдельно, так и в составе ЭВМ выпускаемых заводом.

Следующим шагом в работах СКБ Казанского завода ЭВМ был выпуск в 1978 году второй версии пакета – ПМДС 2.0. В основе данного пакета лежал язык GPSS V. Дополнительно к стандартной документации, выпускаемой с пакетом, В.В. Девятковым, был разработан дополнительно оригинальный документ – справочник по GPSS, содержащий систематизированный подбор справочных материалов и практических примеров моделей. Как показала практика, подобный подход был абсолютно оправдан. Это подтверждает и факт появления впоследствии подобных документов в более поздних системах, например, в GPSS/PC. [11]

В общей сложности за период с 1976 по 1985 годы было поставлено пользователям более 1000 копий пакетов. Такого тиража не получил ни один другой пакет имитационного моделирования дискретных систем. Это предопределило доминирующую роль языка GPSS в стране, особенно в учебных заведениях.

Вузы, которые ранее ориентировались на собственные и иногда неплохие разработки, начинают переводить обучение моделированию на язык GPSS. Среди известных вузов страны первыми внедрили GPSS в учебный процесс МВТУ им. Баумана, МИСИС, МФТИ, ЛИТМО, КАИ, КГУ, РПИ и т.д.

Безусловно, было разработано большое количество моделей имеющих огромную практическую значимость. Полной информации по стране нет, но даже часть известных применений показывает, как много было сделано в этом направлении.

Существенную роль в дальнейшем понимании и практическом применении методов имитации сыграли изданные в переводе на русский язык книги Т. Нейлора (1974) и Шеннона (1978). Но особенный вклад внесла книга Томаса Дж. Шрайбера "Моделирование с использованием GPSS", перевод которой вышел в издательстве Машиностроение в 1980 году десятитысячным тиражом. Это наиболее известная и популярная книга среди всех книг по GPSS. Она даже получила свое название "Красная книга". Следует также отметить книгу Голованова, Дуванова и Смирнова2.

В 1985 году была завершена разработка системы имитационного моделирования ДИСМА. Автором и руководителем работ был В.В. Девятков, основные работы по программированию были осуществлены С.Г. Гиматдиновой, М.А. Чернышевой, И.А. Шубиной и Д.Г. Хайруллиной. ДИСМА – это диалоговое расширение ПМДС 2.0 для графических станций ЕС ЭВМ - ЕС 7605. В состав системы входил редактор текстов, была возможность прерывания и повторного запуска моделирования, предоставлялись средства графической интерпретации входных и выходных статистических данных, был удобный и наглядный интерфейс при анализе выходных результатов моделирования.

В СССР, кроме ЕС ЭВМ (IBM) активно развивалась линия СМ ЭВМ (PDP), которая к началу 80-х годов достигла такого уровня развития, что стало возможным проводить на ней имитационное моделирование. Кроме системы GPSS V, разработанной IBM, в мире появилось много разнообразных систем относящихся к семейству GPSS. Одной из них была система GPSS-FORTRAN, разработанная Шмидтом из Германии и позволяющая при моделировании использовать мощные вычислительные и графические средства языка Фортран. Она как раз имела версию, работающую на платформе PDP. Первая работа по использованию системы GPSS-FORTRAN на СМ ЭВМ принадлежит сотруднику Московского ИНЭУМа, который впоследствии передал все свои наработки в СКБ Казанского завода ЭВМ. В середине 80-х годов в СКБ В.М. Трегубовым и Г.М. Пьяновым под руководством И.М. Якимова была завершена разработка нового программного продукта на базе GPSS-FORTRAN. Он был назван - ПМДС-Фортран. ПМДС-Фортран был внедрен в АСУ ТП цеха печатных плат завода ЭВМ и в ряде других организаций. Он не имел такого как ПМДС тиража, но успешно использовался в течение ряда лет.

В 1988 году в СССР стала доступна документация и программные модули системы GPSS/PC, разработанной компанией Minuteman Software. Это была адаптация данной системы, проведенная в Болгарии.

Функциональные возможности системы GPSS/PC, прежде всего интерактивность, существенно превосходили ПМДС-Фортран. Поэтому был осуществлен перевод её обучения в вузах. Под редакцией И.М. Якимова был осуществлен перевод фирменной документации по GPSS/PC: руководства и наставления. Данный перевод в электронном виде стал распространяться в стране.

К сожалению, перестройка и последующие за ней политические и экономические катаклизмы существенно затормозили развитие и применение GPSS в России. Отразилось это и на казанской школе – не стало завода ЭВМ, часть специалистов начали заниматься другими проблемами, не было интереса со стороны пользователей и, следовательно, не было финансирования. [11]

Но, тем не менее, GPSS в России выжил, прежде всего, в вузах. И это вселяет оптимизм, так как постоянно готовится большая армия специалистов, изучивших язык и готовых применить его на практике.

Начала вставать на ноги экономика, появилась заинтересованность в новых исследованиях и разработках. Но, прежде всего, необходимо досконально изучить и применить передовой зарубежный опыт. В связи с открытием границ и появлением Интернета возможности поиска и контактов стали поистине безграничны.

1.3. Применение имитационного моделирования в России и странах СНГ

В СССР имитационное моделирование было одним из наиболее развитых направлений в информатике. В 60–80 годы был создан ряд научных школ по ИМ в Москве, Киеве, Санкт-Петербурге, Новосибирске и других городах.

В результате, наряду с глубокими научными исследованиями, был получен и ряд серьезных практических результатов. Например, разработаны такие системы имитационного моделирования, как СЛЭНГ, НЕДИС, СТАМ и т. д. Особо следует отметить широкое применение имитационного моделирования при анализе сложных систем в реальном секторе экономики.

Кроме собственных разработок проводилось активное изучение и использование на практике передовых зарубежных технологий и систем. Например, была проведена адаптация и внедрение семейства языков GPSS. В конце 70-х, начале 80-х годов более тысячи пользователей в СССР освоили методы ИМ, используя пакеты прикладных программ ПМДС (GPSS/360) и ПМДС 2.0 (GPSS V). Число сторонников GPSS в нашей стране многократно увеличилось после публикации на русском языке «Красной книги» Томаса Шрайбера.

Таким образом, синтез собственных научных идей и оригинальных разработок с лучшими зарубежными технологиями позволил советской школе ИМ получить мировое признание.

К сожалению, все это в прошлом. Глобальные политические и экономические изменения, которые произошли в СССР, привели к потере этих позиций. За эти годы были утрачены связи, нарушена преемственность поколений, приостановлены или вообще прекращены многие перспективные разработки и т. д. В результате был также утрачен практический интерес к имитационным исследованиям.

Но постепенно, с улучшением экономической ситуации в России и странах СНГ интерес к имитационному моделированию в последние два – три года стал пробуждаться.

Имитационное моделирование применяется в самых разных областях, например: Бизнес-процессы, боевые действия, динамика населения, дорожное движение, ИТ-инфраструктура, математическое моделирование исторических процессов, логистика, пешеходная динамика, производство, рынок и конкуренция, сервисные центры, цепочки поставок, уличное движение, управление проектами, экономика здравоохранения, экосистема, информационная безопасность.[3]

Глава 2. Понятие имитационного моделирования. Метод Монте-Карло

2.1. Основные этапы имитационного моделирования и его виды

Слово имитация (от лат. – подражание) означает воспроизведение определенным образом явлений, событий, действий объектов и т. п. В определенном смысле термин «имитация» – синоним понятия «модель» ( от лат. – мера, образец), которая определяется как любой материальный или нематериальный образ (изображение, описание, схема, воспроизведение, материальное воплощение, представитель и т.п.).

По сути, словосочетание «имитационная модель» некорректно, однако в середине 20 века оно было введено в практику физического и математического моделирования. [5]

Имитационные модели, являющиеся особым классом математических моделей, принципиально отличаются от аналитических тем, что использование ЭВМ в процессе их реализации играет определяющую роль. Имитационные модели не накладывают жестких ограничений на используемые исходные данные, позволяют в процессе исследования использовать всю собранную информацию вне зависимости от ее формы представления и степени ее формализации.

Имитационное моделирование – метод исследования, основанный на том, что изучаемая система заменяется имитирующей. С имитирующей системой проводят эксперименты (не прибегая к экспериментам на реальном объекте) и в результате получают информацию об изучаемой системе. Метод позволяет имитировать, например, работу моделей бизнес-процессов так, как эти процессы происходили бы в действительности, с учетом графиков рабочего времени и занятости временных ресурсов и наличия необходимого количества материальных ресурсов. В результате, можно оценить реальное время выполнения как одного процесса, так и заданного их множества.

Имитационная модель – логико-математическое описание объекта, которое может быть использовано для экспериментирования на компьютере в целях проектирования, анализа и оценки функционирования объекта.

Структура имитационного моделирования представляется последовательно-циклической. Последовательность определяется тем, что процесс имитационного моделирования можно разбить на ряд этапов, выполнение которых осуществляется последовательно от предыдущего к последующему. Цикличность проявляется в необходимости возвращения к предыдущим этапам и повторении уже однажды пройденного пути с измененными в силу необходимости данными и параметрами модели (Рис. 2.1.).

Рис. 2.1. Этапы имитационного моделирования при исследовании сложной проблемной ситуации

Первый этап обычен для любого исследования. Он необходим для того, чтобы была оценена потребность изучения объекта или проблемы, возможность и способы решения задачи, ожидаемые результаты. Этот этап очень важен для практического применения метода моделирования. Очень часто к этому этапу возвращаются после окончания исследования модели и обработки результатов для изменения постановки задачи, а иногда и самой цели моделирования.

Второй этап включает в себя формализацию описания моделируемого объекта на основе выбранной теоретической базы. На этом этапе, на естественном языке дается описание состава исследуемого объекта, взаимодействия между элементами объекта и объекта с внешней средой. На основе описания объекта выбирается концепция его формального определения. Таким образом, в конце этапа словесное описание исследуемой системы претворяется в абстрактную математическую структуру. Этот этап также включает в себя все действия по созданию имитационной модели, которые заключаются в создании программы для ЭВМ на основе выбранного для этой цели языка моделирования. На этом этапе осуществляется и проверка полученной моделирующей программы на соответствие ее той теоретической схеме, которая была положена в основу формального описания объекта моделирования. Этот процесс часто называют верификацией модели. Заканчивается второй этап проверкой соответствия имитационной модели свойствам реальной системы. Если этого нет, то следует снова вернуться к моменту формализации модели, чтобы провести коррекцию в определении теоретической базы модели.

Третий этап заключается в проведении исследования на разработанной модели путем «прогона» ее на ЭВМ. Перед началом исследования полезно составить такую последовательность «прогонов» модели, которая позволила бы получить необходимый объем информации при заданном составе и достоверности исходных данных. Далее на основе разработанного плана эксперимента осуществляют «прогоны» имитационной модели на ЭВМ. В конце этапа осуществляется обработка результатов с целью представления их в виде, удобном для анализа.

Четвертый этап представляет собой анализ результатов исследования. На этом этапе определяются те свойства реальной системы, которые наиболее важны для исследователя. На основе анализа результатов подготавливаются окончательные выводы по проведенному моделированию.

Пятый этап является заключительным. На этом этапе формулируются окончательные выводы и разрабатываются рекомендации по использованию результатов моделирования для достижения поставленных целей. Часто на основе этих выводов возвращаются к началу процесса моделирования для необходимых изменений в теоретической и практической части модели и повторным исследованиям с измененной моделью. В результате нескольких подобных циклов получают имитационную модель, наилучшим образом удовлетворяющую поставленным задачам.

Таким образом, метод имитационного моделирования при исследовании сложной проблемной ситуации предполагает выполнение пяти этапов.

Имитационные модели позволяют проверить, правильно ли мы понимаем процессы в исследуемом объекте, и выявить в различных конкретных случаях параметры порядка. Знание последних и дает возможность строить простые модели сложных явлений. Имитационное (компьютерное) моделирование подразделяется на несколько видов имитационного моделирования (Рис.2.2.).

Агентное моделирование — относительно новое (1990-е – 2000-е гг.) направление в имитационном моделировании, которое используется для исследования децентрализованных систем, динамика функционирования которых определяется не глобальными правилами и законами (как в других парадигмах моделирования), а наоборот, когда эти глобальные правила и законы являются результатом индивидуальной активности членов группы. Цель агентных моделей — получить представление об этих глобальных правилах, общем поведении системы, исходя из предположений об индивидуальном, частном поведении ее отдельных активных объектов и взаимодействии этих объектов в системе. Агент — некая сущность, обладающая активностью, автономным поведением, может принимать решения в соответствии с некоторым набором правил, взаимодействовать с окружением, а также самостоятельно изменяться.

Рис. 2.2. Виды имитационного моделирования

Дискретно-событийное моделирование — подход к моделированию, предлагающий абстрагироваться от непрерывной природы событий и рассматривать только основные события моделируемой системы, такие как: «ожидание», «обработка заказа», «движение с грузом», «разгрузка» и другие. Дискретно-событийное моделирование наиболее развито и имеет огромную сферу приложений — от логистики и систем массового обслуживания до транспортных и производственных систем. Этот вид моделирования наиболее подходит для моделирования производственных процессов. Он был основан Джеффри Гордоном в 1960-х годах.

Системная динамика— парадигма моделирования, где для исследуемой системы строятся графические диаграммы причинных связей и глобальных влияний одних параметров на другие во времени, а затем созданная на основе этих диаграмм модель имитируется на компьютере. Такой вид моделирования более всех других парадигм помогает понять суть происходящего выявления причинно-следственных связей между объектами и явлениями. С помощью системной динамики строят модели бизнес-процессов, развития города, модели производства, динамики популяции, экологии и развития эпидемии. Метод был основан Джеем Форрестером в 1950 годах.

Еще одним видом имитационного моделирования является статистическоеимитационное моделирование, позволяющее воспроизводить на ЭВМ функционирование сложных случайных процессов.

При исследовании сложных систем, подверженных случайным возмущениям, используются вероятностные аналитические модели и вероятностные имитационные модели. В вероятностном имитационном моделировании оперируют не с характеристиками случайных процессов, а с конкретными случайными числовыми значениями параметров ПС (процесс или система). При этом результаты, полученные при воспроизведении на имитационной модели рассматриваемого процесса, являются случайными реализациями. Поэтому для нахождения объективных и устойчивых характеристик процесса требуется его многократное воспроизведение, с последующей статистической обработкой полученных данных. Именно поэтому исследование сложных процессов и систем, подверженных случайным возмущениям, с помощью имитационного моделирования принято называть статистическим моделированием. При реализации на ЭВМ статистического имитационного моделирования возникает задача получения на ЭВМ случайных числовых последовательностей с заданными вероятностными характеристиками. Численный метод, решающий задачу генерирования последовательности случайных чисел с заданными законами распределения, получил название "метод статистических испытаний" или "метод Монте-Карло".

2.2. Рождение метода Монте-Карло

Случайные величины использовались для решения различных прикладных задач достаточно давно. Примером может служить способ определения числа Пи, который был предложен Бюффоном3 еще в 1777 году. Суть метода была в бросании иглы длиной L на плоскость, расчерченную параллельными прямыми, расположенными на расстоянии rдруг от друга (Рис. 2.3).

Рис. 2.3. Метод Бюффона

Вероятность того, что отрезок (игла) пересечет прямую, связана с числом Пи:

,

Где А – расстояние от начала иглы до ближайшей к ней прямой; – угол иглы относительно прямых.

Просто взяв этот интеграл:

(при условии, что ), и подсчитав долю отрезков (игл), пересекающих прямые, можно приближенно определить число Пи. При увеличении количества попыток точность получаемого результата будет увеличиваться.

Другой пример. Не секрет, что вероятность появления орла или решки при подбрасывании монеты равна 0,5. Определить ее экспериментально пытались различные исследователи. Не имея в своем распоряжении вычислительной техники, они ставили эксперимент «в лоб», много раз подбрасывая монету. Результаты экспериментов приведены в таблице 2.1. [7]

Таблица 2.1. Результаты эксперимента по подбрасыванию монеты

Результаты эксперимента по подбрасыванию монеты

Исследователь

Число подбрасываний

Вероятность

Жорж Бюффон

4040

0,507

Огастес де Морган

4092

0,5005

Уильям Джевонс

20480

0,5068

Вс. Романовский

80640

0,4923

Карл Пирсон

24000

0,5005

Уильям Феллер

10000

0,4979

Создание математического аппарата стохастических методов началось в конце XIX века. В 1899 году лорд Релей показал, что одномерное случайное блуждание на бесконечной решётке может давать приближенное решение параболического дифференциального уравнения. А.Н. Колмогоров в 1931 году дал большой толчок развитию стохастических подходов к решению различных математических задач. В 1933 году И.Г. Петровский показал, что случайное блуждание асимптотически связано с решением эллиптического дифференциального уравнения в частных производных. После этих открытий стало понятно, что стохастические процессы можно описывать дифференциальными уравнениями и, соответственно, исследовать при помощи хорошо на тот момент разработанных математических методов решения этих уравнений.

Сначала Энрико Ферми в 1930-х годах в Италии, а затем Джон фон Нейман и Станислав Улам в 1940-х в Лос-Аламосе (Национальная лаборатория в штате Нью-Мексико) предположили, что можно использовать связь между стохастическими процессами и дифференциальными уравнениями «в обратную сторону». Они предложили использовать стохастический подход для аппроксимации4 (приближения) многомерных интегралов в уравнениях переноса, возникших в связи с задачей о движении нейтрона в изотропной среде. Идея была развита Уламом, который по иронии судьбы боролся с вынужденным бездельем во время выздоровления после болезни, и, раскладывая пасьянсы, задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс «сложится». Ему в голову пришла идея, что вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики, можно просто поставить «эксперимент» большое число раз и, таким образом, подсчитав число удачных исходов, оценить их вероятность. Он же предложил использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло.

Появление первых электронных компьютеров, которые могли с большой скоростью генерировать псевдослучайные числа, резко расширило круг задач, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы. После этого произошёл большой прорыв и метод Монте-Карло стал применяться во многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью.

Годом рождения метода Монте-Карло считается 1949 год, когда в свет выходит статья Метрополиса и Улама «Метод Монте-Карло». Название метода происходит от названия коммуны в княжестве Монако, широко известного своими многочисленными казино, поскольку именно рулетка является одним из самых широко известных генераторов случайных чисел. Станислав Улам пишет в своей автобиографии «Приключения математика», что название было предложено Николасом Метрополисом в честь его дяди, который был азартным игроком. [12]

2.3. Дальнейшее развитие метода Монте-Карло

В 1950-х годах метод использовался для расчётов при разработке водородной бомбы. Основные заслуги в развитии метода в это время принадлежат сотрудникам лабораторий ВВС США и корпорации RAND.

В 1970-х годах в новой области математики – теории вычислительной сложности было показано, что существует класс задач, сложность (количество вычислений, необходимых для получения точного ответа) которых растёт с размерностью задачи экспоненциально. Иногда можно, пожертвовав точностью, найти алгоритм, сложность которого растёт медленнее, но есть большое количество задач, для которого этого нельзя сделать (например, задача определения объёма выпуклого тела в n-мерном евклидовом пространстве) и метод Монте-Карло является единственной возможностью для получения достаточно точного ответа за приемлемое время.

В настоящее время основные усилия исследователей направлены на создание эффективных Монте-Карло алгоритмов различных физических, химических и социальных процессов для параллельных вычислительных систем.

Глава 3. Имитационное моделирование в экономических задачах

Имитационное моделирование является мощным инструментом исследования сложных бизнес-процессов и систем и позволяет решать трудно формализуемые задачи в условиях неопределенности. Поэтому данный метод позволяет совершенствовать системы поддержки принятия решений, улучшая, тем самым, экономические показатели организаций, уменьшая риск от реализации решений и экономя средства для достижения той или иной цели. Многие крупные компании (Xerox, Motorola, IBM, Intel, Ford) используют программы, предоставляющие возможность имитации принимаемых решений и исследования возможных изменений в экономической системе, возникающих в результате действия различных факторов, т.е. позволяющие выполнять проверку гипотезы «что будет, если…». Кроме того, различными университетами создаются учебные программы-имитаторы для подготовки специалистов и выработки у них навыков принятия решений в сложившейся ситуации. В настоящее время успешная деятельность практически во всех сферах экономики не возможна без моделирования поведения и динамики развития процессов, изучения особенностей развития экономических объектов, рассмотрения их функционирования в различных условиях. Программные и технические средства должны стать здесь первыми помощниками.

Считается, что Т. Нейлор был одним из первых, кто применил методы имитационного моделирования для исследования экономических процессов. Его монография «Машинные имитационные эксперименты с моделями экономических систем» легла в основу многих последующих работ по имитационному моделированию экономических процессов.

Реализация имитационных моделей может быть выполнена с помощью различных средств: языков программирования, стандартных пакетов прикладных программ, языков и сред моделирования. Считается, что основным недостатком имитационных моделей, реализуемых с помощью универсальных языков программирования, пакетов прикладных программ, является их специфичность и сложность повторного использования. С другой стороны, среды моделирования могут включать избыточные функции и не всегда позволяют рассматривать особенности исследуемой области, всех возможных правил системы. Однако, несмотря на довольно многочисленное число разработок в этой области, в литературе отсутствуют работы, посвященные созданию программ с поэтапным выполнением имитации. Здесь каждый этап может представлять своеобразный «срез» алгоритма имитации, который приводит к появлению моментов останова моделирования. На основе подобной структуры можно реализовать программы, требующие выполнение каких-либо действий пользователя перед переходом к следующему этапу. Данные условия довольно часто используются в имитационных деловых играх и тренажерах. Кроме того, применение поэтапной имитации позволяет работать с программой в ручном режиме, когда пользователь самостоятельно управляет модельным временем (режим, в котором данное действие выполняется программно, обычно называется автоматическим, а под классическим режимом понимается ситуация, когда продвижение модельного времени осуществляется автоматически, а моменты останова имитации отсутствуют), имея при этом возможность изменять значения входных параметров в различных периодах.

Таким образом, создание подходов к разработке программных комплексов имитационного моделирования экономических объектов, в том числе обеспечивающих поэтапное выполнение имитации, разработка расширяемых шаблонов и каркасов для решения задач в определенной области, применение которых позволяет экономить действия разработчиков путем использования в качестве базиса существующей иерархии классов и механизмов, является актуальной задачей.

Рассмотрим несколько задач с применением имитационного моделирования в экономических процессах.

3.1. Имитационное моделирование управления запасами методом Монте-Карло

Постановка задачи. Корпорация занимается производством некоторых изделий. Для их производства необходимы детали (аккумуляторы), которые закупаются у поставщика. На основе прошлого опыта специалисты оценили, что спрос за 100 недель колеблется от 670 до 740 штук. Частота спроса на аккумуляторы показана в таблице 3.1.

Таблица 3.1. Частота спроса на аккумуляторы

Спрос в неделю

Частота

670

3

675

7

680

5

685

10

690

13

695

8

700

5

705

2

710

13

715

10

720

9

725

3

730

7

735

2

740

3

Начальный запас деталей составляет 1800 шт., причем администрация компании приняла решение о подачах заказов на партии деталей размером в 2500 шт. каждый раз, когда их запас опускается ниже уровня в 1300 шт. Изменение интервала времени между подачей заказа и осуществлением поставок представлено в таблице 3.2.

Таблица 3.2. Изменение интервала времени между подачей заказа и осуществлением поставок

Время поставки заказа, неделя

1

2

3

4

Вероятность

0,3

0,3

0,15

0,25

Единичная стоимость хранения запасов равна 50 коп. в неделю и рассчитывается для общего размера запаса, оставшегося на конец недели. Стоимость заказа – 60 руб., а отсутствие аккумуляторов на складе оценивается в 30 руб. неделю.

Используя имитационную модель для периода в 24 недели, оценить среднюю недельную стоимость проведения изложенной выше политики. Все расчеты производятся в начале недели, а подача заказов и поставки по ним – в конце недели.

Решим задачу имитационного моделирования управления запасами методом Монте-Карло.

Решение. Построим функцию распределения величины объема продаж в неделю и интервалы случайных чисел для значений стохастической переменной. Соответствующие значения указаны в четвертом и пятом столбцах таблицы 3.3. Расчеты произведены с использованием табличного процессора MS Excel. Вид листа Excel с формулами представлен на рисунке 3.1.

Таблица 3.3. Параметры стохастической переменной объем спроса

Спрос в неделю

Частота

Вероятность

Значение функции распределения

Интервал случайных чисел

670

3

0,03

0,03

от

1

до

3

675

7

0,07

0,1

от

4

до

10

680

5

0,05

0,15

от

11

до

15

685

10

0,1

0,25

от

16

до

25

690

13

0,13

0,38

от

26

до

38

695

8

0,08

0,46

от

39

до

46

700

5

0,05

0,51

от

47

до

51

705

2

0,02

0,53

от

52

до

53

710

13

0,13

0,66

от

54

до

66

715

10

0,1

0,76

от

67

до

76

720

9

0,09

0,85

от

77

до

85

725

3

0,03

0,88

от

86

до

88

730

7

0,07

0,95

от

89

до

95

735

2

0,02

0,97

от

96

до

97

740

3

0,03

1

от

98

до

100

Итого

100

1

         

Параметры стохастической переменной время поставок

Время поставок, мес.

Вероятность

Значение функции распределения

Интервал случайных чисел

1

0,3

0,3

от

1

до

30

2

0,3

0,6

от

31

до

60

3

0,15

0,75

от

61

до

75

4

0,25

1

от

76

до

100

Итого

1

         

Рисунок 3.1. Вид листа Excel с расчетными формулами для определения параметров спроса

Аналогично построим функцию распределения и интервалы случайных чисел для времени выполнения поставок (таблица 3.4., рисунок 3.2.).

Таблица 3.4. Параметры стохастической переменной время поставок

Время поставок, мес.

Вероятность

Значение функции распределения

Интервал случайных чисел

1

0,3

0,3

от

1

до

30

2

0,3

0,6

от

31

до

60

3

0,15

0,75

от

61

до

75

4

0,25

1

от

76

до

100

Итого

1

         

Рисунок 3.2. Вид листа Excel с расчетными формулами для определения стохастической переменной время поставок

Процесс имитации реализуется в процессе выполнения четырех шагов:

1. Каждая имитируемая неделя начинается с проверки, поступил ли сделанный заказ. Если заказ выполнен, то текущий запас увеличивается на величину заказа (в данном случае — на 2500 шт.).

2. Путем выбора случайного числа генерируется недельный спрос для соответствующего распределения вероятностей.

3. Рассчитывается итоговый запас, равный исходному запасу за вычетом величины продаж. Если запас недостаточен для удовлетворения недельного спроса, спрос удовлетворяется, насколько это возможно.

Фиксируется число нереализованных продаж.

4. Определяется, снизился ли запас до точки восстановления (в примере — 1300 шт.). Если да, причем не ожидается поступления заказа, сделанного ранее, то делается заказ.

Для генерации случайных чисел воспользуемся формулой =СЛУЧМЕЖДУ(1;100) и результаты зафиксируем, так как эти числа могут изменяться со временем. Для определения спроса в зависимости от случайного числа воспользуемся функцией ЕСЛИ().

Таблица с результаты имитации представлены в таблице 3.5 – в расчетном виде и на рисунке 3.3.- в формульном виде.

Таблица 3.5. Результаты имитационного моделирования

Неделя

Поступление

Началь-ный запас

Случай-ное число

Спрос

Объем продаж

Конеч-ный запас

Потери продаж

Делать заказ?

Случайное число

Время поставок

1

0

1800

36

690

690

1110

0

Да

66

3

2

0

1110

94

730

730

380

0

Нет

   

3

0

380

56

710

380

0

330

Нет

   

4

0

0

43

695

0

0

695

Нет

   

5

2500

2500

12

680

680

1820

0

Нет

   

6

0

1820

61

710

710

1110

0

Да

21

1

7

0

1110

26

690

690

420

0

Нет

   

8

2500

2920

65

710

710

2210

0

Нет

   

9

0

2210

61

710

710

1500

0

Нет

   

10

0

1500

2

670

670

830

0

Да

75

3

11

0

830

9

675

675

155

0

Нет

   

12

0

155

57

710

155

0

555

Нет

   

13

0

0

2

670

0

0

670

Нет

   

14

2500

2500

83

720

720

1780

0

Нет

   

15

0

1780

65

710

710

1070

0

Да

57

2

16

0

1070

77

720

720

350

0

Нет

   

17

0

350

95

730

350

0

380

Нет

   

18

2500

2500

79

720

720

1780

0

Нет

   

19

0

1780

90

730

730

1050

0

Да

51

2

20

0

1050

51

700

700

350

0

Нет

   

21

0

350

86

725

350

0

375

Нет

   

22

2500

2500

100

740

740

1760

0

Нет

   

23

0

1760

98

740

740

1020

0

Да

34

2

24

0

1020

74

715

715

305

0

Да

   

Итого

         

19000

3005

     

Результаты имитационного эксперимента:

  • конечный суммарный запас - 19000 штук;

  • средний конечный запас 19000/24 =791,67 штук;

  • число упущенных продаж - 3005;

  • среднее число упущенных продаж 3005/24 = 125,2 шт. в месяц;

  • за все время придется сделать 6 заказов;

  • среднее число заказов 6/24 = 0,25 заказа в неделю;

  • за весь период количество недель с упущенными продажами (отсутствие аккумуляторов на складе) составило 6;

  • среднее число упущенных недель 6/24 = 0,25 недель.

Определим среднюю стоимость проведения изложенной выше политики в неделю. Для этого вычислим ее составляющие:

Еженедельная стоимость заказов = Затраты на один заказ х Среднее число заказов в неделю

= 60 • 0,25 = 15 руб.

Еженедельная стоимость хранения = Затраты на хранение одной единицы в течение недели х Средняя величина конечного запаса

= 0,5• 91,67 = 395,83руб.

Еженедельная стоимость упущенных продаж = Стоимость упущенной продажи х Среднее число упущенных продаж в неделю

= 30 • 0,25 = 7,5 руб.

Рисунок 3.3. Таблица результатов имитационного моделирования в формульном виде

Таким образом,

Общая еженедельная стоимость = Стоимость заказов + Стоимость хранения + Стоимость упущенных продаж

= 15 + 395,83+ 7,5= 418,33 руб.

Вывод. Проведенный эксперимент показывает, что за 24 недели придется сделать 6 заказов, общая еженедельная стоимость составит 418,33 руб.

3.2. Использование метода Монте-Карло для расчета риска

Предположим, что мы хотим арендовать новый станок. Стоимость годовой аренды станка 400 000 дол., и договор нужно подписать на несколько лет. Мы собираемся подписать договор, думая, что современное оборудование позволит сэкономить на трудозатратах и стоимости сырья и материалов, а также считаем, что материально-техническое обслуживание нового станка обойдется дешевле.

Специалисты по оценке дали интервалы значений ожидаемой экономии и годового объема производства (таблица 3.6.).

Таблица 3.6. Интервалы значений ожидаемой экономии и годового объема производства

Экономия на материально-техническом обслуживании (maintenance savings, MS)

от 10 до 20 дол. на единицу продукции

Экономия на трудозатратах (labour savings, LS)

от «–2» до 8 дол. на единицу продукции

Экономия на сырье и материалах (raw materials savings, RMS)

от 3 до 9 дол. на единицу продукции

Объем производства (production level, PL)

от 15 000 до 35 000 единиц продукции в год

Стоимость годовой аренды (точка безубыточности — breakeven)

400 000 дол.

Годовая экономия составит: (MS + LS + RMS) х PL

Если мы возьмем медиану (среднее) каждого из интервалов значений, то получим годовую экономию: (15 + 3 + 6) х 25 000 = 600 000 (дол.)

В этом случае мы не только добьемся безубыточности, но и получим некоторую прибыль. Как же оценить рискованность этих инвестиций? Прежде всего, определим, что такое риск в данном контексте. Чтобы получить риск, мы должны наметить будущие результаты с присущими им неопределенностями, причем какие-то из них – с вероятностью понести ущерб, поддающийся количественному определению. Один из способов взглянуть на риск – представить вероятность того, что мы не добьемся безубыточности, то есть наша экономия окажется меньше годовой стоимости аренды станка. Чем больше нам не хватит на покрытие расходов на аренду, тем больше мы потеряем. Сумма 600 000 дол. – это медиана интервала. Как определить реальный интервал значений и рассчитать по нему вероятность того, что мы не достигнем точки безубыточности?

Поскольку точные данные отсутствуют, нельзя выполнить простые расчеты для ответа на вопрос, сможем ли мы добиться требуемой экономии. Есть методы, позволяющие при определенных условиях найти интервал значений результирующего параметра по диапазонам значений исходных данных, но для большинства проблем из реальной жизни такие условия, как правило, не существуют. Как только мы начинаем суммировать и умножать разные типы распределений, задача обычно превращается в то, что математики называют неразрешимой или не имеющей решения обычными математическими методами проблемой. Поэтому взамен мы пользуемся методом прямого подбора возможных вариантов, ставшим возможным благодаря появлению компьютеров. Из имеющихся интервалов мы выбираем наугад множество (тысячи) точных значений исходных параметров и рассчитываем множество точных значений искомого показателя.

Моделирование методом Монте-Карло – превосходный способ решения подобных проблем. Мы должны лишь случайным образом выбрать в указанных интервалах значения, подставить их в формулу для расчета годовой экономии и рассчитать итог. Одни результаты превысят рассчитанную нами медиану 600 000 дол., а другие окажутся ниже. Некоторые будут даже ниже требуемых результатов для безубыточности 400 000 дол.

Для моделирования методом Монте-Карло воспользуемся программой Microsoft Excel 2010. Но для этого понадобится чуть больше информации, чем 90%-ный доверительный интервал. Необходимо знать форму кривой распределения. Для разных величин больше подходят кривые одной формы, чем другой. В случае 90%-го доверительного интервала обычно используется кривая нормального (гауссова) распределения. Это колоколообразная кривая, на которой большинство возможных значений результатов группируются в центральной части графика и лишь немногие, менее вероятные, распределяются, сходя на нет к его краям (рис. 3.4.).

Рис.3.4. Нормальное распределение

Особенности:

  • значения, располагающиеся в центральной части графика, более вероятны, чем значения по его краям;

  • распределение симметрично; медиана находится точно посредине между верхней и нижней границами 90%-го доверительного интервала (CI);

  • «хвосты» графика бесконечны; значения за пределами 90%-го доверительного интервала маловероятны, но все же возможны.

Для построения нормального распределения в MS Excel 2010 воспользуемся функцией НОРМ.РАСП(Х; Среднее; Стандартное_откл; Интегральная):

Х – значение, для которого строится нормальное распределение;

Среднее – среднее арифметическое распределения; в нашем случае = 0;

Стандартное_откл – стандартное отклонение распределения; в нашем случае =1;

Интегральная – логическое значение, определяющее форму функции; если аргумент «интегральная» имеет значение ИСТИНА, функция НОРМ.РАСП( ) возвращает интегральную функцию распределения; если этот аргумент имеет значение ЛОЖЬ, возвращается функция плотности распределения; в нашем случае = ЛОЖЬ.

Говоря о нормальном распределении, необходимо учитывать связанное с ним понятие «стандартное отклонение». Рисунок 3.9. показывает, что в одном 90%-ном доверительном интервале насчитывается 3,29 стандартного отклонения, поэтому нам просто нужно будет сделать преобразование, то есть смысл стандартного отклонения заключается в следующем: в интервал 3,29*Стандарт_откл, расположенный симметрично относительного среднего, попадает 90% всех значений случайной величины.

Для построения имитационной модели используем в электронной таблице генератор случайных чисел для каждого интервала значений. Начнем, например, с MS – экономии на материально-техническом обслуживании. Воспользуемся функцией MS Excel 2010 НОРМ.ОБР(Вероятность; Среднее; Стандартное_откл):

Вероятность – вероятность, соответствующая нормальному распределению;

Среднее – среднее арифметическое распределения;

Стандартное_откл – стандартное отклонение распределения.

В нашем случае: Среднее (медиана) = (Верхняя граница 90%-го CI + Нижняя граница 90%-го СI)/2; Стандартное отклонение = (Верхняя граница 90%-го CI – Нижняя граница 90%-го СI)/3,29.

Для параметра MS формула имеет вид:

=НОРМ.ОБР(СЛЧИС();15;(20-10)/3,29),

где СЛЧИЛ( ) – функция, генерирующая случайные числа в диапазоне от 0 до 1; 15 – среднее арифметическое диапазона MS; (20-10)/3,29=3,04 – стандартное отклонение;

Распределение величины экономии на материально-техническом обслуживании для 100 случайных нормально распределенных значений показано на рисунке 3.5.

Рис. 3.5. Вероятность распределения MS по диапазонам значений

Поскольку мы использовали «лишь» 100 случайных значений, распределение получилось не таким уж и симметричным. Тем не менее, около 90% значений попали в диапазон экономии на MS от 10 до 20 дол.

Построим таблицу на основе доверительных интервалов параметров MS, LS, RMS и PL (рис. 3.6.). Два последних столбца показывают результаты расчетов на основе данных других столбцов. В столбце «Общая экономия» показана годовая экономия, рассчитанная для каждой строки. Например, в случае реализации сценария 1 общая экономия составит (14,3 + 5,8 + 4,3) х 23 471 = 570 834 дол. Создадим в MS Excel 2010 10 000 строк-сценариев.

Рис. 3.6. Расчет сценариев методом Монте-Карло в MS Excel 2010

Для оценки полученных результатов, на основе таблицы сценариев была построена сводная таблица, которая позволила подсчитать число сценариев в каждом 100-тысячном диапазоне. График, отображающий результаты расчета представлен на рисунке 3.7. Этот график показывает, какая доля из 10000 сценариев будет иметь годовую экономию в том или ином интервале значений. Например, около 3% сценариев дадут годовую экономию более 1млн дол.

Рис. 3.7. Распределение общей экономии по диапазонам значений.

По оси абсцисс отложены 100-тысячные диапазоны размера экономии, а по оси ординат доля сценариев, приходящихся на указанный диапазон.

Из всех полученных значений годовой экономии примерно 11% будут меньше 400000 дол. Это означает, что вероятность ущерба составляет 11%. Данное число и представляет содержательную оценку риска.

Но риск не всегда сводится к возможности отрицательной доходности инвестиций. Оценивая размеры вещи, мы определяем ее высоту, массу, обхват и т.д. Точно так же существуют и несколько полезных показателей риска. Дальнейший анализ, например, показывает: есть 4%-ная вероятность того, что завод вместо экономии будет терять ежегодно по 100000 дол. Однако полное отсутствие доходов практически исключено. Таким образом, мы должны уметь рассчитывать вероятности ущерба разного масштаба [9]. Вот что подразумевается под анализом риска.

Заключение

В настоящее время успешная деятельность практически во всех сферах экономики не возможна без моделирования поведения и динамики развития процессов, изучения особенностей развития экономических объектов, рассмотрения их функционирования в различных условиях, а программные и технические средства должны стать здесь первыми помощниками.

На основе проведенного в данной работе исследования сущности и содержания метода имитационного моделирования можем сделать ряд выводов:

  1. Имитационная модель отражает временной, пространственный и логический аспекты исследуемого процесса, тогда как в других моделях, как правило, присутствует один из них.

  2. Это сравнительно новый класс моделей, которые основаны на программировании.

  3. Обладая замечательным инструментом – имитационным моделированием, можно решить задачи высокого уровня сложности.

Особенно сейчас, в условиях спада экономической активности и производственной деятельности, когда государству и предприятиям жизненно необходимо считать каждую копейку и минуту, имитационное моделирование становится особенно актуально. Оно представляет собой универсальный подход для принятия решений в условиях неопределённости.

Список используемой литературы

  1. Бусленко Н. П. Моделирование сложных систем. Москва, 1961 г.

  2. Волков И.А., Грачева М.В. Вероятностные методы анализа рисков. Лекции

  3. Девятков В.В. Практическое применение имитационного моделирования в России и странах СНГ: обзор, анализ перспектив, методика, 2010

  4. Емельянов А.А. Имитационное моделирование экономических процессов. – М.: Финансы и статистика, 2002

  5. Кобелев Н.Б. Основы имитационного моделирования сложных экономических систем. – М.: Дело, 2003. – 336c

  6. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. «Наука» – М., 1985

  7. Тепляков А.В. Статья №7 Hard'n'SoftМоделируя жизнь, 2001

  8. Томашевский В.М. Имитационное моделирование в среде GPSS. М.: Бестселлер, 2003

  9. Хаббард Дуглас У. Как измерить всё, что угодно. Оценка стоимости нематериального в бизнесе. Изд.: ЗАО Олимп-Бизнес, 2009.

  10. Шрайбер Т. Дж. Моделирование на GPSS. М.: Машиностроение, 1980 г. – 592с

  11. Якимов И.М., Девятков В.В. Развитие методов и систем имитации в СССР и России. 2002. – 5с

Интернет ресурсы:

  1. Начинающий трейдер. Еженедельный электронный журнал. Оценка торговых систем методами Монте-Карло, выпуск 35 от 19 сентября 2010 http://pressa.ru/import/upload/e831b091389b329f3a863b9c338dc809.pdf

  2. http://ru.wikipedia.org

1 GPSS (англ. GeneralPurposeSimulationSystem — система моделирования общего назначения) — язык моделирования, используемый для имитационного моделирования различных систем, в основном систем массового обслуживания.

2 Голованов О. В., Дуванов С. Г., Смирнов В. Н. (1978). Моделирование сложных дискретных систем на ЭВМ третьего поколения. – Москва: Энергия, 160с.

3 Жорж-Луи Лекле́рк, граф де Бюффо́н (фр. Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon); 7 сентября 1707, Монбар, Бургундия — 16 апреля 1788, Париж — французский натуралист, биолог, математик, естествоиспытатель и писатель XVIII века

4 Аппроксимация – это научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми.

Просмотров работы: 47546