V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

1. Теория

Математический аппарат случайных марковских процессов широко используется при моделировании процессов смешивания сыпучих материалов [1,2,3]. Чаще всего используется одномерная цепь, а ее свойством является принадлежность частицы к конечному или бесконечно малому интервалу эйлеровой координаты. В дальнейшем будем считать этот интервал конечным и разобьем смеситель вдоль определяющей оси на m ячеек (рис.1).

Не имея иных сведений о распределении частиц внутри ячеек, будем считать это распределение равномерным (ячейки идеального смешивания). Взятая наугад из наблюдаемой порции частица может принадлежать к одной из m ячеек, причем вероятность того, что она принадлежит к хотя бы одной из ячеек, равна единице. Вероятности принадлежности к конкретным ячейкам в общем случае различны и меняются с течением времени.

Поскольку в процессе участвует большое число частиц, то соответствующая вероятность равна доле частиц, принадлежащих ячейке, а если ячейки символизируют пространственные интервалы, то, по существу, – их относительной концентрации в ячейке. Таким образом, частица может находиться в одной из m ячеек, т. е. свойство принадлежности есть дискретная величина. Весь набор этих дискретных величин образует модельное пространство всевозможных состояний системы. Пусть начальное состояние системы характеризуется набором вероятностей _. Очевидно, что если рассматривается эволюция фиксированной порции частиц, то .

В течение промежутка времени ∆t частицы мигрируют в системе, переходя из одного состояния в другое. Будем считать, что величина ∆t достаточно мала, чтобы в течение одного перехода частицы могли переместиться только в соседние ячейки, но не далее. Эти возможные переходы показаны на рис.1 стрелками. В результате одного перехода вектор состояния изменится и станетS_i^k+1_. Каждый переход характеризуется своей вероятностью р_ij или долей частиц, перешедших из ячейки i в ячейку j за время одного перехода. Если i=j, то р_jj– это вероятность частиц остаться в ячейке. Очевидно, что с ростом ∆t вероятности остаться уменьшаются, а вероятности покинуть ячейку растут. Впоследствии мы будем рассматривать процессы, когда в течение одного временного перехода возможны пространственные переходы и между удаленными друг от друга ячейками, но пока ограничимся процессом, где за малое время возможны переходы только в соседние ячейки – микромасштабное перемешивание. Если вероятности р_ij определены, то переход между двумя последовательными состояниями описывается системой линейных уравнений

Система уравнений (1) может быть записана в компактной и универсальной матричной форме. Набор вероятностей, характеризующих текущее состояние системы, можно представить вектором-строкой размером 1m:

(2)

Очевидно, что в любой момент времени вектор состояния полностью характеризует весь процесс. Если цепь является цепью Маркова, то зависимость между величинами S_k и S_k+1 можно описать следующей матричной формулой:

S_k+1 = S_kР (3)

где Р – матрица переходных вероятностей или матрица переходов, имеющая следующий вид:

. (4)

В этой матрице j-й столбец состоит из вероятностей перехода из i–го состояния. В общем случае имеются только два ограничения для вероятностей перехода p_ij, которые непосредственно следуют из математической постановки задачи:

, (5)

,где i=1,2,…,m. (6)

В общем случае свойства матрицы Р в зависимости от моделируемого процесса и модельного представления о нем могут быть весьма разнообразными. Несмотря на то, что в дальнейшем под случайным процессом всегда будет пониматься случайная миграция частицы вдоль пространственной координаты (или двух координат на плоскости), существует гораздо более широкий класс процессов, моделируемых на основе этого подхода. Например, исследуемым свойством может быть принадлежность частицы к определенному классу крупности (фракции). Вероятность принадлежать этому классу меняется с течением времени при измельчении или агломерации. Здесь частица мигрирует не вдоль пространственной оси, а вдоль оси размеров, где ячейки представляют собой интервалы размеров, на которые разбита эта ось.

Опишем ещё один параметр SD– вектор догрузки. С помощью него мы можем досыпать порции сыпучего материала в лоток. Математический аппарат такой задачи будет выглядеть как: ,где SD - вектор догрузки.

Для того, чтобы материал быстрее сдвигался по ячейкам вправо, на заданное количество ячеек, будем использовать матрицу перехода.

Приведем пример такой матрицы из сформированного приложением файла данных системы.

Количество нулей от главной диагонали перед единицей в строке говорит о том на сколько ячеек вперед должна сдвигаться смесь конкретной ячейки из итераций в итерацию, в нашем случае, это две ячейки, т.е. материал, минуя две соседние ячейки, перейдет сразу через них. Количество абсорбирующих ячеек здесь две (отмечены фиолетовым цветом). Приложение «спрашивает» пользователя о их количестве, это важно при моделировании модели с матрицей перемещения.

Описывая математически, влияние матрицы перемещений на каждой итерации будет выглядеть как: , где матрица перемещений.

2. Описание интерфейса.

Рассмотрим окно для задания начальных значений без использования матрицы перемещений.

Нам необходимо задать размерность матрицы вероятностей N; вероятности над главной диагональю, на главной диагонали и под главной диагональю; начальное состояние; шаг, на котором хотим посмотреть распределение вероятностей сыпучего материала в лотке.

Рассмотрим окно для задания начальных значений с использованием матрицы перемещений.

Зададим начальные значения: Размерность матрицы вероятностей N; вероятности над главной диагональю, на главной диагонали и под главной диагональю; число нулей от главной диагонали в матрице перехода; число абсорбирующих ячеек; начальное состояние; шаг, на котором хотим посмотреть распределение вероятностей сыпучего материала в лотке.

3. Пример работы программы:

Была поставлена задача поиска вероятностей, при которых максимум распределения материала приходится на середину лотка и является постоянным, при следующих размерах лотка: 25, 50, 75 и 100.

При размере системы 25, и начальной загрузке равной 1 в первую ячейку получаем максимум середины лотка (13-ая ячейка) - 0,161 на 24-ом шаге.

При размере системы 50, начальной загрузки в первые две ячейки лотка по 0,5 материала получаем максимум 0,161 в 25-ой ячейке на 31 шаге.

При размере системы 75, начальной загрузке по 0,333 в первые три ячейки, получим максимум 0,161 в 38 ячейке на 42 шаге.

Наконец, для системы размера 100, и начальной загрузке по 0,25 в первые четыре ячейки, получаем тот же максимум 0,161 в 50-ой ячейки на 52 шаге.

Для подбора одинакового максимума варьировались вероятности над главной диагональю и на ней, а также шаги.

Представленные результаты показывают, что при одновременном использовании двух матриц (переходных вероятностей и перемещений) возможно обеспечить достаточную независимость между диффузионной и конвективной составляющими процесса смешиванию, что позволяет более адекватно учитывать влияние на интенсивность процесса смешивания физико-механических свойств смешиваемых компонентов и параметров смесителя.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Першин В.Ф. Модель процесса смешивания сыпучего материала в поперечном сечении вращающегося барабана/В.Ф.Першин // Порошковая металлургия.- 1986.-№ 10.- С. 1-5.

2. Баранцева Е.А. Процессы смешивания сыпучих материалов: моделирование, оптимизация, расчет / Е.А.Баранцева, В.Е.Мизонов, Ю.В.Хохлова/ - ГОУВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И.Ленина», Иваново, 2008. – 116 с.

3. Селиванов Ю.Т. Исследование влияния осевого движения на процесс непрерывного смешивания сыпучего материала во вращающемся барабане / Ю.Т.Селиванов, В.Ф.Першин // Известия вузов. Химия и химическая технология.-2003.-Т. 46, вып. 7.-С. 42-45.

Код для цитирования: Скопировать