V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Побочные продукты (как ценные, так и неценные) непосредственно связанны с системой физических взаимодействий, определяющих повседневное функционирование экономической системы. Техническую взаимозависимость между уровнями выпуска желательных и нежелательных продуктов, можно описать в терминах коэффициентов, которые используются для выявления взаимозависимости между всеми обычными отраслями производства и потребления. Поэтому побочные продукты производственной деятельности и потребления следует рассматривать как часть экономической системы. Модель, учитывающая экологический фактор известна как модель Леонтьева-Форда [1]:

Рассмотрим модель межотраслевого баланса, в которой учтены требования экологии

(1)

представляющей из себя систему линейных неравенств.

Рассмотрим случай, когда . В этом случае модель Леонтьева – Форда имеет вид: (2)

и предусматривает утилизацию вредных отходов. Решение этой системы обозначим через , (если это решение существует).

Для нахождения решения данной системы используется теорема:

Теорема 1.Пусть - решение системы (2) – с утилизацией вредных отходов, - решение системы

(3)

без утилизации вредных отходов. Тогда справедливо неравенство

.

Приближенное решение модели Л-Ф.

Рассмотрим алгоритм приближенного решения уравнений вида

(4)

где - монотонно возрастающий оператор, - монотонно убывающий оператор, ибо модель (2) является моделью именно такого вида, т.е. , . Можно доказать утверждение:

Теорема 2.Пусть , - монотонные относительно конуса операторы, причем , и существуют такие два элемента , (), для которых выполняется условие

(5)

(6)

относительно конуса. Тогда для , , определенных формулами

(7)

(8)

где (), справедливы неравенства

; (9).

Тогда вектор является решением уравнения (4).

Границы , решения можно заметно сблизить, если воспользоваться следующим результатом Стеценко В.Я., приведенного в [4].

Теорема 3. Пусть в условиях теоремы 2 число таково, что ; .

Тогда для решения справедливо неравенство

(10)

При этом .

Формулу (10) можно рассматривать как рекуррентный процесс построения последовательностей , . Последовательности , монотонно по недостатку и по избытку (соответственно) сходятся к , и, как правило, существенно быстрее, чем , .

Приведем еще пример построения монотонных приближений к решению на этот раз для случая задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

Рассмотрим задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения

(11).

Перейдем от этой задачи Коши к следующему эквивалентному интегральному уравнению

(12).

Эквивалентность понимается здесь в том смысле, что каждое непрерывное решение уравнения (12) является решением задачи (11). Заметим, что в промежутке подынтегральная функция в правой части (12) положительная, а на - отрицательная. Поэтому оператор

(13)

возрастающий, а оператор

(14)

убывающий. При этом задача (11) принимает вид

(15)

где , причем , а . Для приближенного решения уравнения (11) можно воспользоваться методом

где и таковы, что

.

Обозначим через такую постоянную, для которой

, (16)

и положим

, (17)

Тогда .

Т.е. и располагаются к решению уравнения , вообще говоря, намного ближе, чем и . Переход от , к , согласно формулам (16), (17) представляет способ ускорения сходимости приближений к решению .

Литература.

1. Леонтьев В.В., Форд Д. // Экономика и математические методы. - 1972. - №3.

2. Стеценко В.Я. Модель Леонтьева – Форда межотраслевого баланса, учитывающая экологический фактор. // Тамбов, XV Международная научная конференция «Математические методы в технике и технологиях»,2002,Т 5.- С. 154-157.

3. Стеценко В.Я., Галкина В.А. Метод построения приближений по недостатку и по избытку к положительному собственному вектору линейных и нелинейных положительных операторов. – Ставрополь: СтГТУ, 1993. – 26 с. – Деп. в ВИНИТИ, 1069-В-93.

4. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Рутицкий Я.Б., Стеценко В.Я. Приближенное решение операторных уравнений. - М.: Наука, 1969. - 455 с.

5. Колодяжная Т.А., Гробова Т.А. Применение теоремы о средних величинах при доказательстве неравенств. – Ставрополь, Научно-инновационные достижения СМС в области физико-математических наук и технических дисциплин.- 52 научно-методическая конференция.- 2007- с. 128-131

Код для цитирования: Скопировать