V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Теория и практика конформных отображений имеет широкое применение в различных областях: в теории потенциала, в задачах гидродинамики и электростатики, теории упругости.

Во многих случаях возникает проблема сведения задачи, решаемой в некоторой заданной области, к решению ее в другой области. Это – проблема нахождения отображения областей.

Для плоских областей такое отображение

может отображаться в виде , , , то есть сводится к нахождению соответствующей аналитической функции.

Покажем на примере: найдем дробно-линейную функцию, отображающую круг единичного радиуса с центром в начале координат на верхнюю полуплоскость. То есть требуется найти отображение области на область . Границей области D является окрестность . Ее образ – прямая. Из теории: окружности и прямые, проходящей через особую точку дробно-линейной функции , отображаются в прямые. Поэтому искомая функция должна иметь особую точку одну из точек окружности .

На первом этапе “распрямили” окружность, то есть подберем функцию, переводящую одну из точек окружности в бесконечно удаленную точку. , где . Найдем уравнение прямой, в которую переходит при отображении . Тогда , , . Последнее уравнение задает прямую, перпендикулярную отрезку, соединяющему точки и , через его середину, то есть .

Образом области D будет .

Вторым этапом является смещение (сдвиг) влево на , то есть линейное отображение . Образом будет . или . При отображении образом области D является правая полуплоскость .

На третьем этапе осуществляется поворот в плоскости на против часовой стрелки, то есть

.

Литература:

1.О взаимосвязи математики и сопротивления материалов как учебных дисциплин технического вуза./ Светличная В.Б., Соколов В.И., Тышкевич В.Н. - Волгоградский государственный технический университет, 2008. - Т.5.№5.С. 85-87

2.Теория функций комплексного переменного и операционное исчисление в примерах и задачах./ Пантелеев А.В., Якимова А.С. – М. «Высшая школа», 2001. – 115-116с.