V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

В современной экономике используется множество математических методов, разработанных ещё в 20 веке. Применение линейной алгебры значительно упростило решение многих экономических задач. В данной работе рассматриваются основные способы решения задач с помощью элементов линейной алгебры.

Понятие матрицы и основанный на нем раздел математики - матричная алгебра – имеют большое значение для экономистов, основная часть математических моделей экономических объектов и процессов записывается в простой и компактной матричной форме. С помощью матриц удобно описывать различные экономические закономерности. Например, дана следующая таблица средних розничных цен на автомобили в зависимости от срока их службы (условных единиц)

Продолжительность Службы (годы)	Годы
	2005	2006	2007
1	1881	2120	2445
2	1512	1676	1825
3	1261	1397	1484
4	1054	1144	1218

Предложенную таблицу можно записать в виде матрицы следующим образом: А=188121202445151216761825126113971484105411441218,

где содержательное значение каждого показателя определяется его местом в матрице. К примеру, число 1825 во второй строке третьего столбца представляет собой цену прослужившего 2 года автомобиля в 2007 году. Аналогичным образом находим, что числа, записанные в строку, характеризуют цены автомобилей, прослуживших один и тот же срок в различные годы, а числа в столбце - цены автомобилей различного срока службы в данном году.

Таким образом, место, занимаемое числом в матрице, характеризует продолжительность использования автомобиля и год, к которому относится цена.

Применение матриц при решении экономических задач рассмотрим на следующем примере. Предприятие выпускает продукцию трех видов P₁, P₂ , P₃ и использует сырье двух типов: S₁, S₂. Нормы расхода сырья характеризуются матрицей: А= 2352014, где каждый элемент a_ij(i=1,2,3; j=1,2) показывает, сколько единиц сырья j-го типа расходуется на производство единицы продукции i-го вида. План выпуска продукции задан матрицей-строкой C=10080130.Стоимость единицы каждого типа сырья (денежных единиц) – матрицей-столбцом B=3050. Необходимо найти общую стоимость сырья.

Решение: Затраты первого сырья составляют S₁=2∙100+5∙80+1∙130=730 единиц, а второго S_{2=3∙100+2∙80+4∙130=980}единиц. Значит затраты сырья S могут быть записаны в виде матрицы строки 730980 и произведения:

S=C·A= 10080130·235214=7309802)

Общая стоимость сырья Q=730∙30+980∙50=70900 (денежных единиц) может быть записана в следующем виде: Q=S∙B=CAB=(70900)

Вывод: общая стоимость сырья составляет 70900

Также экономические задачи можно решать с помощью систем линейных уравнений.

Рассмотрим и решим с помощью системы линейных уравнений следующую задачу:

Из определенного листового материала необходимо выкроить 360 заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого листа при каждом способе раскроя, указано в таблице:

Тип

Способ раскроя

заготовки

1

2

3

А

3

2

1

Б

1

6

2

В

4

1

5

Записать в математической форме условия выполнения задания.

Решение: Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом способе раскроя x листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y, при третьем - z. Для полного выполнения задания по заготовкам типа А должно выполняться равенство:; Таким же способом получаем уравнения:;

Имеем систему:x+6y+2z=300,3x+2y+z=360,4x+y+5z=675.

Данным уравнениям должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В.

Решим систему методом Гаусса.

1)Запишем систему в виде матрицы

2)Составим расширенную матрицу системы

3)Приведём полученную матрицу к треугольному виду

162300321360415675~1623000-16-5-5400-7215~16230001655400-14430~1623000165540029570~

~1623000295700165540~16230002957000-67-4020

Исходная система равносильна следующей:

x+6y+2z=300, 2y+9z=570, -67z=-4020.

Решая полученную систему, имеем: x=90,y=15,z=60.

Вывод: вектор C (90, 15, 60) есть решение системы.

Также, говоря, о роли линейной алгебры в экономике нельзя не упомянуть о модели многоотраслевой экономики Леонтьева, которая была разработана в виде математической модели в 1936 году. Эта модель основана на алгебре матриц и использует аппарат матричного анализа.

Рассмотрим задачу:

В таблице приведены коэффициенты прямых затрат и конечная продукция отраслей на плановый период, усл. ден. ед.

Отрасль		Потребление		Конечный продукт
		промышленность	Сельское хозяйство
Производство	Промышленность	0.3	0.2	300
	Сельское хозяйство	0.15	0.1	100

Найти: плановые объёмы валовой продукции отраслей, межотраслевые поставки, чистую продукцию отраслей.

Решение: 1) Выпишем матрицу коэффициентов прямых затрат A, вектор конечной продукции Y:

A=0,30,20,150,1, Y=300100.

Заметим, что матрица A продуктивна, так как её элементы положительны и сумма элементов в каждом столбце меньше единицы.

2) Найдем матрицу E-A=1-0,3-0,2-0,151-0,1=0,7-0,2-0,150,9. Тогда матрица полных затрат: S= (E-A)^-1=1,50,330,251,17

3) По формуле X=(E-A)-1Y=SY найдем вектор валового продукта X:

X=1,50,330,251,17∙300100=483192.

4) Межотраслевые поставки x_ijнайдём по формуле xij=aij∙xj

X₁₁=a_11∙ x₁=0,3·483=144,9; X₁₂=0,2·192=38,4; X₂₁=0,15·483=72,45; X₂₂=0,1·192=19,2

5) Чистая продукция промышленности равна: 483-144,9-72,45=265,65

Чистая продукция сельского хозяйства: 192-38,4-19,2=134,4.

Итак, рассмотрев в данной статье некоторые задачи и их решения, можно сказать, что это лишь небольшая часть математических методов, используемых в экономике. Экономика и математика, очень тесно связаны и постепенно математические методы и модели начинают занимать очень важное место в экономике.

Список литературы:

1. Высшая математика для экономистов: Учебник./Под ред. Н.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2010

2. С.Сирл, У. Госман Матричная алгебра в экономике М.: Статистика 1974

3. Морозова О.В., Долгополова А.Ф., Долгих Е.В. Экономико-математические методы: теория и практика. Ставрополь: СтГАУ «АГРУС», 2006

Код для цитирования: Скопировать