V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

Определение. Линейно упорядоченный правый унитарный модуль назовём Y-простым, если в нем нет нетривиальных выпуклых подмодулей.

Теорема 1. Линейно упорядоченный правый R-модуль М тогда и только тогда будет Y-простым, если для любой пары a,b строго положительных элементов модуля можно указать такой строго положительный элемент α R, что aα > b.

Этот результат позволяет установить следующая теорема.

Теорема 2. Если а – строго положительный элемент линейно упорядоченного правого R модуля М, то множество К, состоящее из всех таких элементов Х, что при некотором строго положительном будет минимально-выпуклым подмодулем, содержащим а.

Действительно, пусть и при некоторых строго положительных .

Следовательно,, то есть . Предположим, что если - строго положительный элемент из R и , то , то есть (что и требовалось доказать).

Теорема 3. Если линейно упорядоченный правый R-модуль М является Y-простым, то для всякой пары строго положительных элементов существует строго положительный элемент , такой что .

Доказательство основывается на следующем предположении: пусть α и β – строго положительные элементы из R. Если а – строго положительный элемент, причем , то аα и . В силу Y-простоты модуля для по теореме 1 найдется такое строго положительное , что . Следовательно, , то есть элемент, о коором говорится в теореме существует.

Теорема 4. Линейно упорядоченное кольцо R не содержит выпуклых правых идеалов тогда и только тогда, если для всякой пары строго положительных элементов существует строго положительный элемент такой, что (1).

Действительно, пусть в кольце R выполнено условие (1). Рассмотрим это кольцо над самим собой как правый модуль. Как известно, в таком случае его подмодулями служат правые идеалы кольца [1]. На основании теоремы 1 этот модуль будет Y-простым, то есть по определению не содержит нетривиальных выпуклых подмодулей, а следовательно кольцо R не содержит выпуклых правых идеалов, отличных от 0 и R. Обратно, пусть кольцо не содержит нетривиальных выпуклых правых идеалов. Тогда рассматриваемый над самим собой как модуль он не содержит нетривиальных выпуклых подмодулей, то есть является модулем Y-простым, а по теореме 3 в кольце R выполняется условие (1).

Следствие. Y-простые линейно упорядоченные правые модули могут быть только над кольцами, лишенными нетривиальных выпуклых правых идеалов.

Необходимо отметить, что теоремы, аналогичные теоремам 3 и 4, имеют место и в том случае, если вместо правых Y-простых модулей и правых выпуклых идеалов кольца рассматриваются левые Y-простые модули и левые выпуклые идеалы кольца.

Теорема 5. Пусть М линейно упорядоченный правый унитарный Y- простой модуль над архимедовым кольцом R, R не аннулирует модуль. Тогда R Y-изоморфно подкольцу R поля действительных чисел D и M Y-изоморфен аддитивной группе действительных чисел рассматриваемой как модуль над R.

Доказательство. На основании теоремы Пикерта-Хиона кольцо R Y-изоморфно однозначно определенному подкольцу поля действительных чисел, взятому естественной упорядоченностью. Таким образом, можно считать, что R вложено в D [2;3]. Покажем, что М не имеет собственных выпуклых подгрупп. Пусть С не нулевая подгруппа М. Возьмем . По теореме 1 существует положительный элемент такой, что , но т. к. R обладает 1≠0 и R ≤ D, то всякое натуральное число содержится в R, и, следовательно, существует такое натуральное . Имеем . Таким образом, С = М, поэтому существует Y-изоморфизм группы (М,+) в группу (D,+). Следовательно, можно считать, что группа (М, +) является аддитивной подгруппой группы действительных чисел. Однако умножение элементов кольца операторов на элементы группы (М.+) может, вообще говоря, не совпадать с обычным умножением действительных чисел и, в отличие от последнего, мы будем обозначать его через . Рассмотрим отображение M в себя. Оно будет Y-изоморфизмом при строго положительном α. Следует отметить, что если идеал J кольца R аннулирует элементы модуля, то он является выпуклым. Поскольку в кольце операторов R нет нетривиальных выпуклых идеалов, а также ввиду того, что R не аннулирует модуль, для каждого α > 0 существует такое действительное число , что для всех , следовательно, , то есть ; ; , то есть , тогда отображение будет кольцевым Y-изоморфизмом R на подкольцо поля действительных чисел. Из архимедовости кольца операторов R φ является тождественным Y-автоморфизмом [4], то есть , откуда следует, что , что и требовалось доказать.

Список использованной литературы:

1. Мамаев И.И. Абсолютная выпуклость пересечения всех относительно выпуклых подгрупп упорядочиваемой группы.// IX Всероссийский коллоквиум по общей алгебре: резюме докл. – Гомель, 1968. – 97 с.

2. Копытов В.М., Мамаев И.И. Абсолютная выпуклость некоторых подгрупп упорядочиваемой группы. // Алгебра и логика.- Новосибирск, 1968.- Т.7. - № 2. – С. 20-26.

3. Кокорин А.И. Линейно упорядоченные группы: монография / А.И. Кокорин, В.М. Копытов.- М.: Наука, 1972. – 199 с.

4. Хион Я.В. Архимедовы упорядоченные кольца. // Успехи математических наук.- 1954. – 9. – С. 237-242.

Код для цитирования: Скопировать