V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013
МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ
КомментарииПолная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Данная работа представляет собой реферат на тему «Магические квадраты». Цель настоящего реферата – знакомство с различными магическими квадратами, латинскими квадратами и изучение областей их применения.
Великие ученые древности считали количественные отношения основой сущности мира. Поэтому числа и их соотношения занимали величайшие умы человечества. «В дни моей юности я в свободное время развлекался тем, что составлял… магические квадраты»- писал Бенджамин Франклин. Магический квадрат - это квадрат, сумма чисел которого в каждом горизонтальном ряду, в каждом вертикальном ряду и по каждой из диагоналей одна и та же.
Некоторые выдающиеся математики посвятили свои работы магическим квадратам и полученные ими результаты оказали влияние на развитие групп, структур, латинских квадратов, определителей, разбиений, матриц, сравнений и других нетривиальных разделов математики.
Глава I
1.1. История появления магических квадратов
|
2 |
7 |
6 |
|
9 |
5 |
1 |
|
4 |
3 |
8 |
Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — это квадратная таблица, заполненная числами так, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбике и на обеих диагоналях одинакова. Придуманы магические квадраты впервые, по-видимому, китайцами, так как самое ранее упоминание о них встречается в китайской книге, написанной за 4000-5000 лет до нашей эры. Согласно китайскому преданию, самый простой и древнейший известный человечеству магический квадрат был начертан на панцире священной черепахи (рис. а).
Если посчитать количество кружочков в каждой фигуре, и поместить полученные числа в клетки квадрата, получится магический квадрат (рис. б).
Более поздние сведения о магических квадратах относящиеся уже к 1 веку, получены из Индии. Вот один из таких древнеиндийских памятников почти 2000-летней давности.
|
1 |
14 |
15 |
4 |
|
12 |
7 |
6 |
9 |
|
8 |
11 |
10 |
5 |
|
13 |
2 |
3 |
16 |
Здесь 16 порядковых чисел размещены в шестнадцати клетках квадрата так, что выполняется основное свойство магического квадрата. Действительно:
Недаром в ту далёкую эпоху суеверий индийцы, а следом за ними и арабы приписывали этим числовым сочетаниям таинственные и магические свойства. Вся эта своеобразная мозаика чисел с её постоянством сумм действительно придаёт квадрату «волшебную» силу произведения искусства.
И магические квадраты вошли в искусство. В «Фаусте» Гете1 есть сцена приготовления колдуньей омолаживающего зелья. Слова, которыми колдунья сопровождает свои манипуляции, обычно воспринимаются читателями «Фауста» как тарабарщина, бессмыслица:
|
Du must verstehen! Aus Eins mach’ Zehn Und Zwei lass gehn, Und Drei mach’ gleich, So bist reich Verlier die Vier! Aus Fünf und Sechs, So sagt die Hex, Mach’ Sieben und Acht, So its’s vollbracht: Und Neun ist Eins, Und Zehn ist keins, Das ist das Hexen- Einmal-Eins! |
…………………………… Из единицы делаешь 10, пропускаешь 2, а также 3 …………………………… Зачеркиваешь 4 Из 5 и 6 …………………………… Делаешь 7 и 8 (и наоборот) Квадрат готов …………………………… …………………………… …………………………… …………………………… |
Но не мог же Гете потерять чувство художественной меры и отдать абракадабре целых 13 строк поэтического текста! Литературные комментаторы и исследователи бесплодно тратили усилия на поиски смыcла, скрытого в этом тринадцатистишии. Очевидно, y них не возникала мысль попытаться воспроизвести на бумаге рекомендации колдуньи.
Построим квадрат из девяти ячеек и разместим в ячейках 9 первых натуральных чисел в порядке их следования. Выполним указания колдуньи, сделав всего одно действие, неуказанное в стихотворении (заменим девятку числом 4), получим магический квадрат:
|
|
1 |
2 |
3 |
||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
4 |
5 |
6 |
|||||
|
7 |
8 |
9 |
|||||
|
10 |
2 |
3 |
|
0 |
7 |
8 |
|
5 |
6 |
4 |
Превращением начального квадрата в полумагический, Гете символизировал процесс омoложeния Фауста.
1.2. Магический квадрат А. Дюрера
Получение магических квадратов было популярным развлечением среди математиков, создавались огромные квадраты. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Таковым является квадрат из произведения Гете.
А еще существуют квадраты, в которых два числа, расположенных симметрично относительно центра квадрата, дают одинаковую сумму.
Например, квадрат, составленный китайским математиком в XIII в. (рис. в). Он сумел построить магический квадрат из 36 клеток, в котором только две пары таких чисел не дают сумму 37.
|
27 |
29 |
2 |
4 |
13 |
36 |
|
9 |
11 |
20 |
22 |
31 |
18 |
|
32 |
25 |
7 |
3 |
21 |
23 |
|
14 |
16 |
34 |
30 |
12 |
5 |
|
28 |
6 |
15 |
17 |
26 |
19 |
|
1 |
24 |
33 |
35 |
8 |
10 |
в
|
16 |
3 |
2 |
13 |
|
5 |
10 |
11 |
8 |
|
9 |
6 |
7 |
12 |
|
4 |
15 |
14 |
1 |
г
Интересно, что два средних числа в последней строке квадрата (они выделены) составляют год создания гравюры – 1514.
Рассмотрим теперь все свойства этого удивительного квадрата. Но делать это мы будем на другом квадрате, в группу которого входит квадрат Дюрера. Это означает, что квадрат Дюрера получается из того квадрата, который мы будем сейчас рассматривать, одним из семи основных преобразований магических квадратов, а именно поворотом на 180 градусов. Все 8 квадратов, образующих данную группу, обладают свойствами, которые будут сейчас перечислены, только в свойстве 8 для некоторых квадратов слово “строка” заменится на слово “столбец” и наоборот.
Основной квадрат данной группы вы видите на рис. д.
|
1 |
14 |
15 |
4 |
|
12 |
7 |
6 |
9 |
|
8 |
11 |
10 |
5 |
|
13 |
2 |
3 |
16 |
д
Теперь перечислим все свойства этого знаменитого квадрата.
Свойство 1. Этот квадрат ассоциативен, то есть любая пара чисел, симметрично расположенных относительно центра квадрата, даёт в сумме 17=1+n2.
Свойство 2. Сумма чисел, расположенных в угловых ячейках квадрата, равна магической константе квадрата – 34.
Свойство 3. Сумма чисел в каждом угловом квадрате 2х2, а также в центральном квадрате 2х2 равна магической константе квадрата.
Свойство 4. Магической константе квадрата равна сумма чисел на противоположных сторонах двух центральных прямоугольников 2х4, а именно: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.
Свойство 5. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом шахматного коня, а именно: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+2+12=34 и 4+10+13+7=34.
Свойство 6. Магической константе квадрата равна сумма чисел в соответствующих диагоналях угловых квадратов 2х2, примыкающих к противоположным вершинам квадрата. Например, в угловых квадратах 2х2, которые выделены на рис. е, сумма чисел в первой паре соответствующих диагоналей: 1+7+10+16=34 (это и понятно, так как эти числа расположены на главной диагонали самого квадрата). Сумма чисел в другой паре соответствующих диагоналей: 14+12+5+3=34.
Свойство 7. Магической константе квадрата равна сумма чисел в ячейках, отмечаемых ходом, подобным ходу шахматного коня, но с удлинённой буквой Г. Показываю эти числа: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2+15+16=34, 4+3+14+13=34.
Свойство 8. В каждой строке квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 15, и ещё пара тоже радом стоящих чисел, сумма которых равна 19. В каждом столбце квадрата есть пара рядом стоящих чисел, сумма которых равна 13, и ещё пара тоже рядом стоящих чисел, сумма которых равна 21.
Свойство 9. Суммы квадратов чисел в двух крайних строках равны между собой. То же можно сказать о суммах квадратов чисел в двух средних строках. Смотрите:
12 + 142 + 152 + 42 = 132 + 22 + 32 + 162 = 438
122 + 72 + 62 + 92 = 82 + 112 + 102 + 52 = 310
Аналогичным свойством обладают числа в столбцах квадрата.
Свойство 10. Если в рассматриваемый квадрат вписать квадрат с вершинами в серединах сторон (рис. е), то:
а) сумма чисел, расположенных вдоль одной пары противоположных сторон вписанного квадрата, равна сумме чисел, расположенных вдоль другой пары противоположных сторон, и каждая из этих сумм равна магической константе квадрата;
б) равны между собой суммы квадратов и суммы кубов указанных чисел:
122 + 142 + 32 + 52 = 152 + 92 + 82 + 22 = 374
123 + 143 + 33 + 53 = 153 + 93 + 83 + 23 = 4624
е
Вот такими свойствами обладает магический квадрат Дюрера.
Глава II
2.1. Как составить магический квадрат
Изучив множество способов составления магического квадрата, было решено составить алгоритм работы по наиболее доступным для нас способам.
I. Алгоритм составления магического квадрата 3х3.
1) Записать цифры в том порядке, как показано на рисунке:
1 2 3
4 5 6
7 8 9
2) Поменять местами цифры, стоящие на противоположных концах диагоналей: 1 и 9, 3 и 7:
9 2 7
4 5 6
3 8 1
3) Сдвинуть на шаг по часовой стрелке каждое из чисел
4 9 2
3 5 7
8 1 6
Таким образом, мы получим магический квадрат, магическая сумма которого (т.е. сумма чисел в любой строке, в любом столбце и на каждой из диагоналей) равна 15.
Проделав эксперимент по изменению направления движения чисел в обратную сторону, расположили числа так, как показано на рисунке:
2 7 6
9 5 1
4 3 8
Значит, направление значения не имеет, главное сохранить порядок следования чисел.
Было сделано ещё одно наблюдение в ходе экспериментов. Если все стоящие в углу числа – чётные, то все стоящие на сторонах числа - нечетные. И как результат этого – магическая сумма в квадратах из последовательных чисел всегда нечетное число.
II. Алгоритм составления магического квадрата для последовательных чисел квадрата нечетного порядка.
1) Строим квадрат ABCD с 25 клетками и временно дополняем его до симметричной ступенчатой фигуры со ступеньками в одну клетку (рис. ж).
2) В полученной фигуре располагаем по порядку косыми рядами сверху вниз - направо 25 целых чисел от 1до 25 (рис. ж).
3) А теперь каждое число, оказавшееся вне квадрата ABCD, следует перенести вдоль того же ряда или столбца ровно на столько клеток от той клетки, которую оно занимает, каков порядок квадрата, в нашем примере - на пять. Так, в соответствии с этим правилом переносим эти числа(рис. з)…
з ж
Глава III
3.1. Латинские квадраты
Не смотря на то, что математиков интересовали в основном магические квадраты наибольшее применение в науке и технике нашли латинские квадраты.
Латинским квадратом называется квадрат nхn клеток, в которых написаны числа 1, 2,…, n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис.3 изображены два таких квадрата 4х4. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными. Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
2 |
1 |
4 |
3 |
||||||||
|
3 |
4 |
1 |
2 |
||||||||
|
4 |
3 |
2 |
1 |
||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
2 |
1 |
|
2 |
1 |
4 |
3 |
Задачу отыскания ортогональных латинских квадратов впервые поставил Л. Эйлер2, причём в такой занимательной формулировке: “ Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и кроме того поровну генералов, полковников, майоров, капитанов, поручиков и подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в каре 6 х 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?”
Эйлер не смог найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что такого решения не существует. В то же время Эйлер доказал, что ортогональные пары латинских квадратов существуют для всех нечетных значений n и для таких четных значений n, которые делятся на 4. Эйлер выдвинул гипотезу, что для остальных значений n, то есть если число n при делении на 4 даст в остатке 2, ортогональных квадратов не существует. В 1901 г. было доказано, что ортогональных квадратов 6 6 не существует, и это усиливало уверенность в справедливости гипотезы Эйлера. Однако в 1959 г. помощью ЭВМ были найдены сначала ортогональные квадраты 10х10, потом 14х14, 18х18, 22х22. А затем было показано, что для любого n , кроме 6, существуют ортогональные квадраты nхn.
Магические и латинские квадраты – близкие родственники. Пусть мы имеем два ортогональных квадрата. Заполним клетки нового квадрата тех же размеров следующим образом. Поставим туда число n(a – 1)+b, где а - число в такой клетке первого квадрата, а b - число в такой же клетке второго квадрата. Нетрудно понять, что в полученном квадрате суммы чисел в строках и столбцах (но не обязательно на диагоналях) будут одинаковы.
3.2. Магический квадрат Пифагора
Великий ученый Пифагор3, основавший религиозно – философское учение, провозгласившее количественные отношения основой сущности вещей, считал, что сущность человека заключается тоже в числе – дате рождения. Поэтому с помощью магического квадрата Пифагора можно познать характер человека, степень отпущенного здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования.
Для того, чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю его расчет на примере. Допустим, дата рождения человека 20.08.1986. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без учета нулей): 2+8+1+9+8+6=34. Далее складываем цифры результата: 3+4=7. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 34-4=30.
И вновь складываем цифры последнего числа:
3+0=3.
Осталось сделать последние сложения – 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм: 34+30=64, 7+3=10.
Получили числа 20.08.1986,34,7,30, 64,10. Cоставляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т. д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате, квадрат будет выглядеть следующим образом:
|
44 |
9 |
2 |
|
33 |
- |
7 |
|
88 |
11 |
66 |
Ячейки квадрата означают следующее:
Ячейка 1 – целеустремленность, воля, упорство, эгоизм.
1 – законченные эгоисты, стремятся из любого положения извлечь максимальную выгоду.
11 – характер, близкий к эгоистическому.
111 – «золотая середина». Характер спокойный, покладистый, коммуникабельный.
1111 – люди сильного характера, волевые. Мужчины с таким характером подходят на роль военных – профессионалов, а женщины держат свою семью в кулаке.
11111 – диктатор, самодур.
111111 – человек жестокий, способный совершить невозможное; нередко попадает под влияние какой – то идеи.
Ячейка 2 – биоэнергетика, эмоциональность, душевность, чувственность. Количество двоек определяет уровень биоэнергетики.
Двоек нет – открыт канал для интенсивного набора биоэнергетики. Эти люди воспитаны и благородны от природы.
2 – обычные в биоэнергетическом отношении люди. Такие люди очень чувствительны к изменениям в атмосфере.
22 – относительно большой запас биоэнергетики. Из таких людей получаются хорошие врачи, медсестры, санитары. В семье таких людей редко у кого бывают нервные стрессы.
222 – знак экстрасенса.
Ячейка 3 – точность, конкретность, организованность, аккуратность, пунктуальность, чистоплотность, скупость, наклонность к постоянному «восстановлению справедливости».
Нарастание троек усиливает все эти качества. С ними человеку есть смысл искать себя в науках, особенно точных. Перевес троек порождает педантов, людей в футляре.
Ячейка 4 – здоровье. Это связано с экгрегором, то есть энергетическим пространством, наработанным предками и защищающим человека. Отсутствие четверок свидетельствует о болезненности человека.
4 – здоровье среднее, необходимо закалять организм. Из видов спорта рекомендуются плавание и бег.
44 – здоровье крепкое.
444 и более – люди с очень крепким здоровьем.
Ячейка 5 – интуиция, ясновидение, начинающееся проявляться у таких людей уже на уровне трех пятерок.
Пятерок нет – канал связи с космосом закрыт. Эти люди часто
ошибаются.
5 – канал связи открыт. Эти люди могут правильно рассчитать ситуацию извлечь из нее максимальную пользу.
55 – сильно развита интуиция. Когда видят «вещие сны», могут предугадывать ход событий. Подходящие для них профессии – юрист, следователь.
555 – почти ясновидящие.
5555 – ясновидящие.
Ячейка 6 – заземленность, материальность, расчет, склонность к количественному освоению мира и недоверие к качественным скачкам и тем более к чудесам духовного порядка.
Шестерок нет – этим людям необходим физический труд, хотя они его, как правило, не любят. Они наделены неординарным воображением, фантазией, художественным вкусом. Тонкие натуры, они тем не менее способны на поступок.
6 – могут заниматься творчеством или точными науками, но физический труд является обязательным условием существования.
66 – люди очень заземлены, тянутся к физическому труду, хотя как раз для них он не обязателен; желательна умственная деятельность либо занятия искусством.
666 – знак Сатаны, особый и зловещий знак. Эти люди обладают повышенным темпераментом, обаятельны, неизменно становятся в обществе центром внимания.
6666 – эти люди в своих предыдущих воплощениях набрали слишком много заземленности, они очень много трудились и не представляют свою жизнь без труда. Если в их квадрате есть девятки, им обязательно нужно заниматься умственной деятельностью, развивать интеллект, хотя бы получить высшее образование.
Ячейка 7 – количество семерок определяет меру таланта.
7 – чем больше они работают, тем больше получают впоследствии.
77 – очень одаренные, музыкальные люди, обладают тонким художественным вкусом, могут иметь склонность к изобразительному искусству.
777 – эти люди, как правило, приходят на Землю ненадолго. Они добры, безмятежны, болезненно воспринимают любую несправедливость. Они чувствительны, любят мечтать, не всегда чувствуют реальность.
7777 – знак Ангела. Люди с таким знаком умирают в младенчестве, а если и живут, то их жизни постоянно угрожает опасность.
Ячейка 8 – карма, долг, обязанность, ответственность. Количество восьмерок определяет степень чувства долга.
Восьмерок нет – у этих людей почти полностью отсутствует чувство долга.
8 – натуры ответственные, добросовестные, точные.
88 – у этих людей развитое чувство долга, их всегда отличает желание помочь другим, особенно слабым, больным, одиноким.
888 – знак великого долга, знак служения народу. Правитель с тремя восьмерками добивается выдающихся результатов.
8888 – эти люди обладают парапсихологическими способностями и исключительной восприимчивостью к точным наукам. Им открыты сверхъестественные пути.
Ячейка 9 – ум, мудрость. Отсутствие девяток - свидетельство того, что умственные способности крайне ограничены.
9 – эти люди должны всю жизнь упорно трудиться, чтобы восполнить недостаток ума.
99 – эти люди умны от рождения. Учатся всегда неохотно, потому что знания даются им легко. Они наделены чувством юмора с ироничным оттенком, независимые.
999 – очень умны. К учению вообще не прикладывают никаких усилий. Прекрасные собеседники.
9999 – этим людям открывается истина. Если у них к тому же развита интуиция, то они гарантированы от провала в любом из своих начинаний. При всем этом они, как правило, довольно
приятны, так как острый ум делает их грубыми, немилосердными и жестокими.
Итак, составив магический квадрат Пифагора и зная значение всех комбинаций цифр, входящих в его ячейки, вы сможете в достаточной мере оценить те качества вашей натуры, которыми наделила матушка – природа.
Заключение
В настоящем реферате рассмотрены вопросы, связанные с историей развития одного из вопросов математики, занимавшего умы очень многих великих людей, - магических квадратов. Несмотря на то, что собственно магические квадраты не нашли широкого применения в науке и технике, они подвигли на занятия математикой множество незаурядных людей и способствовали развитию других разделов математики (теории групп, определителей, матриц и т.д.).
Ближайшие родственники магических квадратов – латинские квадраты нашли многочисленные применения как в математике, так и в ее приложениях при постановке и обработке результатов экспериментов. В реферате приведен пример постановки такого эксперимента.
В реферате также рассмотрен вопрос о квадрате Пифагора, представляющем исторический интерес и, возможно, полезном для составления психологического портрета личности. Таким образом, мы видим, что математика-это ещё и увлекательное занятие. Список используемой литературы
1. Энциклопедический словарь юного математика. М., «Педагогика», 1989г.
2. М.Гарднер «Путешествие во времени», М., «Мир», 1990г.
3. В.В.Трошин «Магия чисел и фигур», Москва «Глобус», 2007 г.
4.Построения магического квадрата (http://cad.narod.ru/methods/cadsystems/software/kvadrat.html)
1 Гете, (Goethe), Иоганн-Вольфганг, великий немецкий поэт, 1749-1838, родился во Франкфурте, увлекался классич. поэзией, театром и красотами природы.
2 Леона́рд Э́йлер (нем. Leonhard Euler; 4 (15) апреля 1707, Базель, Швейцария — 7 (18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук.
3 Пифагор Самосский (др.-греч. Πυθαγόρας ὁ Σάμιος, лат. Pythagoras; 570—490 гг. до н. э.) — древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно-философской школы пифагорейцев.