V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

 

В работе рассматриваются правые унитарные частично упорядоченные модули над линейно упорядоченными кольцами без делителей нуля.

Определение 1. R-модуль M называется частично упорядоченным, если:

1) М частично упорядочен как абелева группа,

2) для каждого неотрицательного и не отрицательного R будет α неотрицательным.

Как и в теории частично упорядоченных групп, при изучении частичных порядков R-модулей важным инструментом является понятие положительного конуса. Элемент называется положительным если , строго положительным, если . Множество положительных элементов из M называется положительным конусом R- модуля M. Легко проверить, что:

Теорема 1. Подгруппа P группы ( M, +) тогда и только тогда служит положительным конусом R-модуля M при его некоторой частичной упорядоченности , если:

1)

2)Если , и , то

3)Если α неотрицательный элемент кольца R и P, то

Теорема 2. Подполугруппа P группы (M,+) тогда и только тогда служит положительным конусом R-модуля, если помимо условий 1-3 теоремы 1 она удовлетворяет также условию 4: для всякого либо , либо .

Определение 2. Отображение φ будем называть Y–гомоморфизмом , если оно является гомоморфизмом модулей и , сверх того, изотонно , то есть влечет за собой , где . Если Y-гомоморфное отображение взаимно однозначно, то будем говорить об Y-гомоморфизме.

Определение 3. Модуль A частично упорядоченного R-модуля M называется выпуклым, если со всякими своими сравнимыми элементами ,b () он содержит и все элементы , такие что b.

Далее рассмотрим следующие свойства Y- гомоморфизмов.

Свойство 1. Ядро N Y-гомоморфизма частично упорядоченного R-модуля M на частично упорядоченный R-модуль является выпуклым подмодулем модуля М.

В самом деле, известно, что N подмодуль. Пусть и . Так как , то по определению Y- гомоморфизма

φ, (1)

Но и , тогда:

(2)

Из (1) и (2) следует , то есть .

Если и , то в силу эквивалентности неравенства и 0≤х–≤b– , получаем выпуклость N[2].

Свойства 2. Если N выпуклый подмодуль R-подмодуль M, то фактор- модуль M / N можно так частично упорядочить , что естественное гомоморфное отображение M/ N будет Y- гомоморфизмом. С другой стороны, если частично упорядоченный R- модуль M гомоморфно отображается на частично упорядоченный R- модуль M´ то M´M / N , где N ядро рассматриваемого гомоморфизма.

Для доказательства первой части свойства 2 берется положительный конус P R- модуля M,P´- совокупность смежных классов по N, содержащих хотя бы по одному элементу из P. Проверка условий 1-3 теоремы 1 для P´ является положительным конусом в M/N. Для доказательства второй части свойства пусть φ:M≈M´, N- ядро φ гомоморфизма φ*, действующий по правилу ( +N)φ*=φ, является изоморфизмом M/N и M´. Если + N≥0, то существует элемент ₁+ N такой, что ₁≥0. Тогда ( +N)φ*= φ= _1φ≥ 0.

Свойства 3.Произвольный Y- гомоморфизм φ: M→M´ одного частично упорядоченного модуля на другой устанавливает взаимно однозначное соответствие между подмодулями L модуля M, содержащими ядро этого гомоморфизма и подмодулями L´ модуля M´. Причем, если N´- выпуклый подмодуль в M´, соответствующий N, то M/N M´/N´ (доказывается аналогично свойству 2).

Таким образом, вторая теорема Дедекинда-Нетер об изоморфизме переносится на частично упорядоченные модули, в то время как первая теорема Дедекинда-Нетер об изоморфизме не имеет места для частично упорядоченных Z- модулей [1].

Список использованных источников.

1. Кокорин А.И. Линейно упорядоченные группы: монография/ А.И. Кокорин, В.М. Копытов.- М.: Наука,1972.-199 с.

2. Копытов В.М., Мамаев И.И. Абсолютная выпуклость некоторых подгрупп упорядочиваемой группы/ // Алгебра и логика. – Новосибирск, 1968.-Т.7.-№2.-С.20-26.

Код для цитирования: Скопировать