V Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2013

В данной работе исследуется применение так называемых формальных степенных рядов для построения решения разностных уравнений с постоянными коэффициентами -.

Теория разностных уравнений находит многообразные приложения во многих областях естествознания и техники при моделировании поведения систем различной природы. Разностные уравнения обычно возникают тогда, когда рассматриваемая величина регистрируется через некоторые (как правило, равные) промежутки времени.

В задачах описания, анализа и синтеза дискретных динамических систем управления математические модели таких систем описываются разнообразными разностными уравнениями. В современной теории нелинейных колебаний разностные уравнения появляются либо самостоятельно, либо при переходе от дифференциальных уравнений к точечным отображениям Пуанкаре. Такой переход в трехмерном случае значительно упрощает исследование. В математике основным источником разностных уравнений являются дифференциальные уравнения. Имеются в виду разностные схемы, используемые для приближенного решения дифференциальных уравнений. Многие факты теории линейных дифференциальных уравнений верны и для линейных разностных уравнений, хотя есть и некоторые различия. Таким образом, многочисленные применения разностных уравнений в математических исследованиях задач различных областей, в теории автоматического регулирования, в теории нелинейных колебательных процессов и в других задачах требуют знания элементарной теории разностных уравнений их эффективные методы решения для инженерных расчетов.

Общие понятия теории разностных уравнений. Пусть

Рассмотрим функцию , которая в точках

принимает соответствующие значения

Разность двух последовательных значений функций

,

где , -множество натуральных чисел, называют конечными разностями первого порядка или просто первыми конечными разностями функции . При этом число называют шагом аргумента.

Разности между двумя последовательными разностями первого порядка называют разностями второго порядка или вторыми разностями:

, .

В общем случае, конечными разностями порядка называют разности конечных разностей -го порядка:

,

Конечные разности любого порядка можно выразить через значения функции общая формула которых (см. ) имеет вид:

Определение 1.Разностными уравнениями называютсяфункциональные уравнения, которые связывают переменную , неизвестную функцию и ее конечные разности то есть уравнения вида

(1)

где - известная функция.

Определение 2.Наивысший порядок входящей в уравнение конечной разности называется порядком разностного уравнение.

Уравнение (1) является разностным уравнением -го порядка.

Из уравнения (1) можно получить другую форму записи разностного уравнения, подставляя вместо конечных разностей в нем их соответствующие выражение через значения функций:

. (2)

Пренебрегая общности, положим в уравнении (2).

Определение 3.Линейным разностным уравнением называется разностное уравнение вида:

, (3)

где коэффициенты и -известные функции, определенные в некоторой вещественной области .

Если в (3) все коэффициенты постоянные, то уравнение называется линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами.

Если , то уравнение (3) называется однородным, в противном случае оно называется неоднородным.

К линейным однородным разностным уравнениям с постоянными коэффициентами приводят многие задачи. Одним из примеров использования таких уравнений являются возвратные последовательности.

Решение однородной разностной задачи с постоянными коэффициентами методом производящих функции. Рассмотрим уравнения

(4)

где , , , и дополнительные (начальные) условия

(5)

где - заданные числа. Задача нахождения решения уравнения (4), удовлетворяющего начальным условиям (5) называется разностной задачей Коши.

Теорема 1. Решение разностной задачи Коши (4)-(5) всегда существует и единственно. (док-во см.в ).

Для решения задачи (4)-(5) перепишем уравнения (4) в следующем виде

(6)

где , и напишем формальный степенной ряд

. (7)

Подставляя в (7) начальные условия (5) и выражение (6) затем получим ряд

. (8)

действия сводится к решению следующих двух задач: нахождению производящей функций для ряда (8) и закрытой формы выражения общего члена для последовательности с учетом условий (5). Для решение первой из них воспользуемся свойствами операции над формальными степенными рядами и (9) приведем к виду

,

откуда находим производящую функцию в замкнутом виде для последовательности :

(9)

Далее с помощью разложения полученную "функцию" (здесь символы "," означают формальность термина функция, но это не препятствует для получения реального решения поставленной задачи) на элементарные дроби и применяя выражения для известных элементарных производящих функции можно получить общий член последовательности : .

Таким образом, на основании теоремы (1) и выше приведенного анализа получим следующее утверждение:

Теорема 2. Для задачи (4)-(5)функция (9)единственным образом определяет общий член последовательности .

Литература

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. - М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005.

2. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М: Наука, 1983.

3. Романко В.К. Разностные уравнения. - М: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2006.

4. Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.-С-П: Лань, 1993.

5. Ландо С.А. Лекции о производящих функциях. - М: МЦНМО, 2007.

Код для цитирования: Скопировать