Формализованное описание системы с помощью математической модели включает в себя содержательное описание и схему [4]. Содержательное описание составляется на основе сведений о физической природе и количественных характеристиках элементарных явлений, происходящих в системе, о степени и характере их взаимодействия и т.д. Это позволяет упростить систему и построить ее математическую модель. Описание включает разделение перемещения частиц в процессе смешивания в лопастном одновальном смесителе на три направления: осевое (представляет собой перемещение частиц материала между рядами рабочих органов вдоль смесительной камеры); радиальное (частицы материала перемещаются в пределах рядов рабочих органов смесителя); окружное (перемещение частиц материала происходит по замкнутому циркуляционному контуру).
Смесительная камера разделяется на ячейки равного объёма. В осевом направлении на одинаковых частей, равных числу рядов рабочих органов. Нумерацию частей производим от одного торца камеры до другого.
Каждую часть, полученную при разбиении в осевом направлении, разобьём последовательно в радиальном направлении на колец и в окружном направлении на секторов:
(1)
где - угол сектора.
Количество ячеек в каждой полученной части определяется формулой:
(2)
Нумеруются ячейки с индексом приращения где - номер кольца.
Радиусы колец при условии одинакового объёма ячеек, вычисляются по формуле:
(3)
где - радиус смесительной камеры.
Состояние системы в момент времени (где - номер перехода, - длительность перехода), представим в виде вектора-столбца размером
(4)
Следующее состояние системы зависит от текущего состояния и может быть представлено в следующей матричной форме:
(5)
где - матрица переходных вероятностей.
Матрица переходных вероятностей с учетом трёх направлений перемещения частиц материала определяется по формуле:
(6)
где - матрица переходных вероятностей при перемещении частиц в окружном направлении; - матрица переходных вероятностей при перемещении частиц в радиальном направлении; - матрица переходных вероятностей при перемещении частиц в осевом направлении.
Известно, что смешивание складывается из элементарных одновременно протекающих в смесителе процессов: процесс конвективного смешивания, процесс диффузионного смешивания и процесс сегрегации [1, 2, 4]. Особенностью перемещений частиц сыпучего материала в лопастном смесителе является образование «застойной» зоны [2] и зоны уплотнения перед лопастью [6]. При прохождении лопасти через слой сыпучего материала частицы из зоны уплотнения ABCD перемещаются не только в соседние ячейки, но и в ячейки, расположенные по траектории движения лопасти в окружном направлении и в радиальном направлении после выхода лопасти из слоя. Частицы из «застойной» переходят в радиальном направлении после выхода лопасти из слоя сыпучего материала. В зависимости от перехода частицы могут участвовать и в конвективном, и в диффузионном смешивании. Характерные особенности данного сложного процесса перемещения частиц в лопастном смесителе необходимо учитывать при формировании матриц переходных вероятностей , , . Учитывая данное перемещение в математической модели процесса смешивания, возможно более объективное и точное содержательное описание на основе реальной картины перераспределения частиц в лопастных смесителях. Описанная модель с учетом характерных особенностей физической природы поведения частиц в лопастных смесителях обеспечивает возможность эффективной модернизации существующих типов и проектирование новых образцов смесительного оборудования с использованием современных компьютерных технологий.
Список литературы
Баранцева Е. А. Процессы смешивания сыпучих материалов: моделирование, оптимизация, расчет / Е.А. Баранцева, В.Е. Мизонов, Ю.В. Хохлова. — Иваново: ГОУ ВПО «Ивановский государственный энергетический университет им. В.И. Ленина», 2008. — 116 с.
Дёмин О.В. Совершенствование методов расчёта и конструкций лопастных смесителей: дис. … канд. техн. наук. — Тамбов, 2003. — 210 с.
Марков А. А. Избранные труды. Теория чисел. Теория вероятности / А.А. Марков. — М.: АН СССР, 1951. — 717 с.
Макаров Ю. И. Аппараты для смешивания сыпучих материалов / Ю. И. Макаров. — М.: Машиностроение, 1973. — 216 с.
Berthiaux H. Application of the theory of Markov chains to model different processes in particle technology / H. Berthiaux, V. Mizonov, V. Zhukov // Powder Technology. — 2005. — Vol. 157, № 1–3. — P. 128–137.
Дёмин О.В., Смолин Д.О. Способ определения оптимальной высоты лопасти // Современные направления теоретических и прикладных исследований, 2012: Сб. науч. Трудов SWorld. Выпуск 1. Т. 9. — Одесса: Черноморье, 2012. С. 52–54.