IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

При обработках  металла давлением и резанием происходит его пластическая деформация. Известно, что пластичность металла может быть повышена при воздействии не него механических колебаний, например, путём наложения вибрации на основное движение обрабатывающего инструмента. В этом случае  на первый план выходят вопросы определения собственных частот колебаний микроструктуры пластически деформируемого металла. При равенстве одной из собственных частот микроструктуры частоте колебаний инструмента обработка ведётся на резонансном режиме, позволяющем наиболее эффективно «раскачивать» микроструктуру металла и уменьшать силу, с которой инструмент воздействует на металл.

     Наибольший интерес обычно представляет основная (низшая) частота собственных колебаний. Найдем эту частоту для ранних стадий процесса пластической деформации металла. Будем рассматривать случай холодной деформации. Вначале рассмотрим деформацию монокристалла металла.

     Многочисленными экспериментами установлено, что преобладающим механизмом пластической деформации, свойственным кристаллам с кубической и гексагональной решеткой, является скольжение. Скольжение локализуется в полосах скольжения, представляющих собой ряд атомных плоскостей, охваченных деформацией. Полосы скольжения отстоят одна от другой на расстояние порядка 1 мкм [1]. Имеются также сведения [2] о том, что при деформации монокристалла металла с кубической гранецентрированной решёткой на стадии так называемого лёгкого скольжения расстояние между полосами скольжения составляет несколько десятков нанометров (например, для меди 40-65 нм). При дальнейшей деформации это расстояние увеличивается до указанной выше величины.

     Существенным является то, что металл между полосами на ранних стадиях процесса не участвует в пластической деформации, то есть ведёт себя как упругое тело. В дальнейшем этот металл между полосами скольжения будем называть слоем, имеющим толщину h, одинаковую для всех слоев.

     В момент начала пластического течения упругодеформированные слои металла между полосами скольжения сдвигаются друг относительно друга. В динамической модели инерционные свойства слоя массой m_i представим жёстким телом, имеющим массу m_i, а упругие свойства - двумя упругими элементами, действие каждого из которых эквивалентно действию полуслоя толщиной h/2. Упругие элементы i-го слоя соединяются с упругими элементами соседних слоёв в точках О_i и О_i-1, (которые при переходе металла в пластическое состояние окажутся на соседних полосах скольжения). Эта динамическая модель, представляющая собой многомассовую цепную систему, изображена на рис.1. Будем полагать, что на ранних стадиях пластической деформации слои перемещаются прямолинейно вдоль осей x_i  Заменим также упругие элементы соседних слоёв эквивалентной упругой связью. Тогда расчётная схема микроструктуры монокристалла металла при переходе его в пластическое состояние будет иметь вид, изображённый на рис.2. Такая система обладает n числом степеней свободы, где n - число слоёв металла между полосами скольжения. Учитывая размеры зёрен большинства сплавов железа, можем найти, что для них n=5-250.

     Полагая размеры всех слоёв металла между полосами скольжения одинаковыми, можем записать

где i=1, 2, 3,..., n;

     ρ - плотность металла;

     S - площадь слоя.

     Коэффициенты жёсткости с₀,с₁,с₂,..,с_n упругих связей на расчётной схеме также будут равны между собой. Величина коэффициента жёсткости упругой связи определяется суммой величин коэффициентов жёсткости соседних полуслоёв, соединённых в точке О_i . По закону Гука касательное напряжение τ, необходимое для создания в слое толщиной d сдвиговой деформации x/d

где G - модуль сдвига. В нашем случае d=h/2 и x=x_i. Усилие, создающее напряжение τ,

     Сомножитель перед x_i в этой формуле представляет собой коэффициент жёсткости полуслоя толщиной h/2. Суммарный коэффициент жёсткости двух одинаковых элементов, соединённых последовательно, будет в два раза меньше. Поэтому

     Зная величины m_i и с_i для изображённой на рис.2 расчётной схемы нетрудно записать систему n дифференциальных уравнений [3], описывающую свободные колебания масс m_i. Определение собственных частот из этой системы уравнений весьма трудоёмкая процедура. Поэтому воспользуемся методом Донкерлея [3], позволяющим приближённо определить основную частоту p колебаний механической системы. Согласно этого метода квадрат основной частоты системы находится из формулы

где p_i - парциальная частота колебаний массы m_i. Парциальная частота колебаний массы определяется при условии, что все остальные массы равны нулю.

     Упругие связи, расположенные на рис. 2 снизу i-й массы соединены последовательно. Поэтому их суммарный коэффициент жёсткости

     Аналогично для упругих связей, расположенных сверху i-й массы, суммарный коэффициент жёсткости

     Так как при взаимодействии с массой m_i верхние и нижние ветви элементов образуют параллельное соединение, суммарный коэффициент их жёсткости

     Тогда с учётом выражений (1) и (4) парциальная частота

и из формулы (5) можем найти основную частоту колебаний механической системы, которую образует микроструктура монокристалла металла на ранней стадии пластической деформации

     Расчёты по этой формуле для сталей дают следующие результаты. При n=5 основная частота колебаний микроструктуры монокристалла p=1,334·10⁹ c^-1, при п=40 - р=0,193·10⁹ с^-1, при п=250 - р=0,031·10⁹ с^-1. Следует заметить[3], что расчёты по формуле Донкерлея дают заниженное значение основной частоты колебаний. Кроме того, предложенная выше динамическая модель микроструктуры металла является упрощённой. В ней не учтено, например, влияние инерции поворотов и сдвига [4]. Несмотря на это применение формулы (10) позволяет достаточно просто определить приближённое значение низшей частоты колебаний слоёв монокристалла металла на начальной стадии его пластической деформации.

    Рассчитанные выше частоты для механических колебаний являются очень высокими и получить их с помощью каких-либо вибровозбудителей практически не представляется возможным. Однако для поликристаллических тел число степеней свободы пластически деформируемой микроструктуры растёт пропорционально количеству кристаллов (зёрен), составляющих тело, так как при холодной пластической деформации преобладает внутрикристаллическая деформация [1]. Поэтому в формуле Донкерлея, написанной для поликристаллического тела, увеличивается число слагаемых, что приводит к уменьшению основной частоты колебаний, определяемой из этой формулы.

     В силу того, что слой металла между полосами скольжения имеет малую толщину по сравнению с двумя другими его размерами, площадь взаимодействия отдельно взятого слоя с границей соседного зерна значительно меньше площади взаимодействия с соседними слоями внутри зерна. В результате упругие усилия со стороны соседних зёрен, которые препятствуют перемещению слоя вдоль оси x_i, оказываются гораздо меньшими, чем сдвигающие усилия со стороны соседних слоёв внутри зерна. Поэтому на величины частот собственных колебаний слоёв соседние зёрна оказывают малое влияние. Тогда формула для определения основной частоты р_р колебаний слоёв в поликристаллическом теле примет вид

где N - количество зёрен в поликристаллическом теле.

     С помощью формул (10) и (11) можно выполнить ориентировочный расчёт размеров и массы пластически деформируемых металлических тел с заданной величиной основной частоты колебаний их микроструктуры. Например, масса стального тела с основной частотой колебаний микроструктуры р_р=6,28·10³ с^-1 (что соответствует технической частоте 1 кГц) при размере зерна ≈5 мкм составляет 0,044 кг, при размере зерна ≈40 мкм - 0,47 кг, при размере зерна ≈250 мкм - 2,97 кг.

Список литературы

• 1. Громов Н.П. Теория обработки металлов давлением. М.: Металлургия, 1978.-360 с.
• 2. Физические основы пластической деформации. Полухин П.И., Горелик С.С., Воронцов В.К. М., Металлургия, 1982.-584 с.
• 3. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. М.: Высш. школа, 1980.-408 с.
• 4. Пановко Я.Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. Л: Машиностроение (Ленингр. отд-ние), 1976.-320 с.