IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

Как известно, на множестве векторов введены и широко используются две операции умножения - скалярное и векторное. Результатом скалярного произведения является скаляр, результатом векторного - вектор. Если результатом умножения является тензор, было логично назвать это произведение тензорным. Но так как этот термин используется на множестве тензоров, назовем такое произведение квазитензорным или матричным.

Любой вектор  можно представить кососимметрическим тензором второго ранга

Заметим, что вектор  является собственным вектором этого тензора, соответствующим собственному значению  (остальные два собственных значения ).

Такое представление удобно, в частности, для формализации операции векторного умножения двух векторов. В этом случае,

где  - вектор-столбец второго сомножителя.

Определим  квазитензорное произведение (матричное) двух векторов  и следующим образом

Свойства квазитензорного умножения

Все основные свойства тензорного умножения векторов вытекают из свойств умножения матриц. Дополнительно отметим следующие:

1.

2. -симметрический тензор.

3. В некоторых приложениях (исследование плоского движения твердого тела, компьютерная визуализация разворачивания плоских кривых или цилиндрических поверхностей) задействована операция тензорного умножения векторов с одной отличной от нуля компонентой ( например, вектор угловой скорости при плоском или вращательном движении твердого тела или ось цилиндрической поверхности). В этих случаях удобно перейти к представлению определяющего вектор тензора матрицей . При этом, очевидно, .

Отметим некоторые замечательные свойства тензора :

Покажем, что

Действительно,

Кроме того, нетрудно убедиться в справедливости соотношений 

Квазитензорное умножение векторов может выступать как оператор в преобразованиях вида

Поскольку радиус-вектор точки может быть представлен в виде тензора

квазитензорное произведение

позволяет представить тензор инерции

в следующем виде.