IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

В исследованиях экономических явлений и процессов возникают ситуации, в которых для одного моделируемого объекта создаются различные эконометрические модели. Такие модели имеют, как правило, различную точность прогнозов количественных характеристик изучаемого объекта и, быть может, отличаются составом объясняющих переменных.

В работах [1] и [2] предложен подход к оптимальному комбинированию прогнозов количественной характеристики объекта по различным эконометрическим моделям. В основании данного подхода лежит предположение, что прогнозируемая количественная характеристика  объекта не изменяется во времени, т.е. является числом. В настоящей работе этот подход распространяется на важную для практики (и теории) ситуацию, когда прогнозируемая характеристика объекта является некоторой непрерывной функцией времени . Например,  - вероятность дефолта некоторой фирмы в момент времени .

В свою очередь, эконометрические модели с непрерывным временем, по которым прогнозируется функция , чаще всего имеют облик стохастических дифференциальных уравнений [3, глава 10].

Постановка задачи

Предполагается, что имеется  эконометрических моделей с непрерывным временем (например, ), каждая из которых доставляет некоторую оценку функции  на промежутке времени . Обозначим эти оценки символами     

Задача заключается в отыскании такой комбинации  функций , которая оказалась бы ближе к искомой функции , чем каждая из функций  в отдельности.

Точная постановка этой задачи требует следующих предположений. Во-первых, предполагается, что каждая оценка  имеет структуру:

где  - случайная погрешность оценки . Эта погрешность, по предположению является случайным процессом с количественными характеристиками

где  - оператор математического ожидания,  - автоковариационная функция.

Во-вторых, известны взаимные автоковариационные функции случайных процессов  и  в один и тот же момент времени :

В-третьих, искомую оптимальную оценку  функции  будем отыскивать в виде линейной комбинации

Коэффициенты комбинации (5) подчиним двум требованиям оптимальности (6) и (7):

Требование (6) означает несмещенность оценки (5) в каждый момент времени . Требование (7) имеет смысл минимальной средней по времени дисперсии оценки (5) и представляет собой естественное обобщение на функциональный случай требования [2, (7)] минимума дисперсии в статической ситуации. Подчеркнем, что (6)-(7) - это задача на условный экстремум с интегральным функционалом качества.

Решение задачи (6), (7)

Сначала обратимся к условию несмещенности (6). Как и в статическом случае [2, (6)], требование (6) равносильно ограничению [2, (3)] на искомые коэффициенты  оценки (5):

где  - строка из единиц,  - вектор искомых коэффициентов.

С учетом (8), (3) и (4) требование оптимальности (7) принимает вид:

где

усредненная по времени ковариационная матрица случайного векторного процесса .

Принимая во внимание (8) и (9), приходим к следующему виду задачи (6)-(7):

Видим, что (11) - классическая задача математического программирования аналогичная задаче [2, (15)] в статической ситуации. Решение задачи (11) методом Лагранжа [4, стр. 156] доставляет вектор искомых коэффициентов оптимальной комбинации (5):

Пример

Получим решение (12) в подробной записи для частного случая  в предположении, что векторный случайный процесс  является совместно стационарным [5, стр.589]. Это значит, что дисперсии  и взаимная ковариация  компонент вектора  не зависят от времени. В такой ситуации усредненная ковариационная матрица  вектора  оказывается такой:

и правило (12) в подробной записи принимает вид:

Здесь  и  - дисперсии погрешностей  и ,  - ковариация погрешностей  и .

Замечание. Обратите внимание, что в общем случае один из коэффициентов (14) может быть и отрицательным. Добавим, что в знаменателе формул (14) находится величина, имеющая смысл дисперсии  стационарного случайного процесса

Если , то расчет по правилам (14) невозможен, и оптимальная комбинация (5) не существует! Такая ситуация возникает, например, в случае

т.е. при полном совпадении второй и первой моделей. Другими словами, уточнить единственную модель , создавая вторую модель по правилу (16), не удастся, что согласуется со здравым смыслом.

Литература

1. Бывшев В.А., Богомолов А.Н., Костюнин В.Н. Массовая оценка стоимостных показателей объектов недвижимости: от модели к системе. Вестник Финансовой академии №3(43), 2007 г., Москва, стр. 14-24.

2. Бывшев В.А., Богомолов А.Н., Костюнин В.Н. Системный подход к интеграции моделей и данных для прогноза динамики экономических показателей. «Бизнес Информ», №2(1) 2009, Украина, Харьков, стр. 4-6.

3. Т. Дж. Уотшем, К. Паррамоу Количественные методы в финансах. М., «Финансы», 1999

4. Бывшев В.А. Эконометрика. М., «Финансы и статистика», 2008

5. Г. Корн, Т. Корн Справочник по математике для научных работников и инженеров. «Наука», М., 1973