IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

  Введение

Данная работа посвящена исследованию задачи о распространении ТЕ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном диэлектрическом слое. Задачи такого типа формулируются как краевые задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Вообще задачи о распространении поляризованных волн в направляющих (или волноведущих) системах, таких как диэлектрический слой или диэлектрический цилиндрический волновод, необходимо формулировать в первую очередь как задачи на собственные значения. Это связано с тем, что волны в направляющих системах распространяются только на определенных, так называемых выделенных, частотах. Часто в конкретных задачах эти частоты не ищутся явно, а определяются через некоторый параметр задачи - спектральный параметр. Указанный спектральный параметр носит название постоянной распространения. Значения постоянных распространения на которых распространяются волны в волноведущей структуре оказываются собственными значениями соответствующим образом сформулированной краевой задачи. Поэтому в первую очередь интересно и важно находить уравнения для собственных значений рассматриваемой задачи и исходя из решений этого уравнения, вычислять собственные функции. Тем более что во многих случаях не удается в явной форме выразить решения дифференциальных уравнений, но удается найти уравнение для собственных значений. Кроме того, когда известно собственное значение, собственные функции без труда находятся из системы численным методом, например методом Рунге-Кутты. Уравнение для собственных значений называется дисперсионным уравнением и, изучая это уравнение можно установить разрешимость или неразрешимость краевой задачи.

В рассматриваемой здесь задаче нелинейность в слое выражается формулой , где  - линейная составляющая диэлектрической проницаемости, ,  - коэффициенты нелинейности. Исследование таких задач довольно трудно, поскольку это нелинейные краевые задачи на собственные значения. Причем нелинейны сами дифференциальные уравнения, а спектральный параметр входит нелинейным образом, как в сами уравнения, так и в граничные условия. Общих методов исследования таких задач в настоящее время не разработано.

Математические модели для задач распространения поляризованных электромагнитных волн в слое и круглом волноводе представлены в [1].

Геометрия задачи проиллюстрирована на рис. 1

Диэлектрический немагнитный изотропный однородный слой с нелинейной диэлектрической проницаемостью расположен между двумя немагнитными изотропными полупространствами с постоянными диэлектрическими характеристиками. Рассматривается распространение ТЕ-волн, падающих на слой из полупространства с . Нужно найти дисперсионное уравнение для постоянных распространения при которых электромагнитная волна в рассматриваемой структуре распространяется.

1. Постановка задачи и уравнения Максвелла

Рассмотрим электромагнитные волны, проходящие через однородный, изотропный, немагнитный диэлектрический слой с обобщенной керровской нелинейностью, расположенный между двумя полупространствами  и  в декартовой системе координат . Полупространства заполнены изотропной немагнитной средой без источников и имеют постоянные диэлектрические проницаемости  и , соответственно (  и  - произвольные постоянные). Считаем, что всюду  - магнитная проницаемость вакуума.

Предполагаем гармоническую зависимость полей от времени в виде;

где  - круговая частота;  - вещественные искомые функции. Образуем комплексные амплитуды полей  и  [1]

Везде ниже множители  и  будем опускать.

Электромагнитное поле ,  удовлетворяет уравнениям Максвелла

условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границе раздела сред ,  и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле экспоненциально затухает при  в областях  и . Диэлектрическая проницаемость внутри слоя имеет вид , где   - произвольные постоянные. Будем искать решение уравнений Максвелла во всем пространстве.

Рассмотрим ТЕ-поляризованные волны

Тогда уравнения Максвелла примут вид:

Приведя подобные слагаемые получим,

или

Из системы (14) видно, функции  и  не зависят от . Так как  выражается через  и , то и  не зависит от . Значит, искомые функции являются функциями не трех, а двух переменных. Будем предполагать, что компоненты поля гармонически зависят от : . Обозначая , из (14) получаем систему уравнений:

где  - неизвестный спектральный параметр - постоянная распространения электромагнитной волны.

Из второго и третьего уравнения системы (15) находим  и . Дифференцируем . После этого подставляем  и  в первое уравнение системы, получаем

Вводим обозначения  с  и выполним нормировку в соответствии с формулами. Тогда из последнего уравнения получим:.

Обозначая  и опуская значок тильды, имеем

Будем искать действительные решения  для уравнения (16), полагая  действительным (так что  не зависит от ), и, считая

Также будем считать, что функция  дифференцируема в слое так, что

и искать такие , что .

Обратим внимание, что в линейном случае .

2. Решение системы дифференциальных уравнений

Подставив в уравнение (16) значения , которые определяются формулой (17), имеем:

для  в полупространстве  получаем уравнение

его общее решение принимает вид:

а в силу условия излучения на бесконечности (поле экспоненциально затухает при ) получим

для  в полупространстве  получаем уравнение,

его общее решение примет вид:,

а, учитывая условие на бесконечности получим,

В формулах (18) и (19) константы  и  будут определяться граничными условиями.

Внутри слоя  уравнение (16) принимает вид.

Поскольку  и , то  и , так как .

В силу обозначения  последнее уравнение можно переписать так:

Умножая уравнение (20) на  и интегрируя, получаем

где  - постоянная интегрирования.

Теперь введём замену

Далее, подставляя (22) в уравнение (21), получаем:

Теперь уравнение (23) можно переписать так:

где

Известно [1], что для любого многочлена четвертой степени вида (24), существует дробно-линейное преобразование:

с определителем  такое, что

где  и .

Уравнение (27) определяет эллиптическую функцию Вейерштрасса , а  и  ее инварианты.

Неизвестные  находим из решения нелинейной системы алгебраических уравнений, полученной после подстановки преобразования (26) в уравнение (24) и приравнивания коэффициентов полученного многочлена к коэффициентам многочлена в правой части уравнения (27).

Для этого рассмотрим подробнее применение дробно-линейного преобразования  к уравнению (21):

Из этого следует, что

Тогда с учетом замены (28) уравнение (21) примет вид:

Умножая правую и левую части уравнения (29) на , получим

Упростим выражение (30):

Раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые в выражении (31), получим многочлен четвертой степени вида:

где

Решая систему

найдем значение

Решения рассматриваемой системы (система будет иметь несколько решений) находим в программе Maple 10, им будет, например, четверка чисел

Используя приведённые формулы, вычислим инварианты  и :

Таким образом, после нахождения инвариантов приведём уравнение (24) к виду (27), где  и  определяются по формулам (35), (36).

Из (27) находим значение :

где - эллиптическая функция Вейерштрасса.

Также из дробно-линейной замены  следует, что , а, значит,

откуда следует, учитывая формулу (38), что , т. е.

приводя подобные слагаемые, окончательно получаем,

Принимая во внимание замену , из формулы (39) имеем

Таким образом, получили формулу для , а, следовательно, зная  и учитывая краевые условия, можно найти значение функций Вейерштрасса  и . А значит, найти и дисперсионное уравнение.

С учётом формулы (34) формула (40) примет вид:

где ,  - постоянные интегрирования, которые будут определены позднее.

3. Краевые условия

Из условий непрерывности касательных составляющих компонент электромагнитного поля получаем краевые условия:

где константа  считается известной.

Тогда, для функции  условия сопряжения принимают вид:

где  обозначает скачок функции на границе раздела сред.

Итак, получаем, что

т.е.,

 и .

4. Дисперсионное уравнение

Дисперсионное уравнение для постоянных распространения мы найдем используя формулу (41) и краевые условия (42), (43).

Подставим  в (21):.

Отсюда находим постоянную интегрирования :

(отметим, что  не зависит от ).

Зная , находим инварианты  и  из формул (35), (36):

Теперь из (41) и (43)

Теперь из (41) и (42) при  получаем

Далее из формулы (48) найдем :

а, следовательно,

а из (50) находим :

Обратимся к формуле (49) и выразим оттуда :

значит,

В формулах (51) и (53) введём обозначение

Чтобы найти дисперсионное уравнение, нужно решить систему:

Так как функция  - четная, то уравнение  имеет решение , где  - зависит от периодов функции , а .

Тогда решая систему (55), получим:

где .

Из последней системы находим

где знаки « » независимые и их выбор будет объяснен позднее.

Далее, подставив в уравнение (21) выражения (43) и (45), находим,

т.е.

где  определяется из формулы (46).

Обозначив , из последнего уравнения получаем кубическое уравнение:

решая его, находим значение . Нас интересуют только положительные значения .

Отметим, что при  уравнение (58) кроме двух других корней имеет решение , т. е. .

Проанализируем (58) при , обозначив  и , тогда 

Распишем последнее уравнение подробнее:,

если , то разделим на него рассматриваемое выше уравнение:,

раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим:

Уравнение (59) при различных , , ,  может иметь различные корни: действительные положительные, действительные отрицательные, действительные различных знаков или вообще не иметь действительных корней. Но в случае  и ,  уравнение (59) не имеет положительных корней. Поэтому, в этом случае нужно всегда выбирать .

Тогда с учётом обозначений ,   перепишем формулы (51) и (53):.

Находим величину :

Тогда решая систему (60), получим:

где .

Из последней системы находим

Учитывая линейный случай (приложение 2), получаем дисперсионное уравнение в окончательной форме:

Рассмотрим подробнее уравнение (57) (или в случае  уравнение (62)) и выясним выбор знаков. Для этого необходимо пояснить, как определяется число .

Число  связано с периодами функции  и определяется в зависимости от знака дискриминанта  кривой . Если , то уравнение  имеет три действительных корня  и

(в этом случае  - действительный период функции ).

В случае, когда , уравнение  имеет один действительный корень , тогда

(в этом случае полупериоды  и  функции  являются комплексно-сопряженными числами, и их сумма есть действительное число ).

Из (56) с учётом   получаем дисперсионное уравнение

Знаки « » в формуле (65) независимые и выбираются так, чтобы при переходе к пределу при ,  получилось дисперсионное уравнение для случая линейной среды в слое.

Дисперсионное уравнение для случая линейной среды в слое известно и выглядит так (см. приложение 2):

Перейдем к пределу при ,  в (65). Из (46) получаем, что .

Из (46) и (58) получаем, что . Из (47) получаем, что , . Отсюда получаем, что дискриминант  эллиптической кривой равен нулю. В этом случае эллиптическая функция Вейерштрасса вырождается в функцию

где . Отсюда сразу находим .

Тогда , .

Из (67) и (54) имеем

Преобразуем выражения под знаком , получим, .

Из (52), учитывая, что период , получаем,

Взяв тангенс от последнего выражения, используем формулы тангенса суммы -  и тангенса от арксинуса - , получаем.

Сравнивая с (66) видим, что всюду вместо « » надо взять « ». Учитывая только, что сказанное, получаем из (52) дисперсионное уравнение в окончательной форме

где  определяется по формулам (63) или (64).

Заметим, что при  получается несколько более простой результат. Из (46) и (58) получаем

значит, либо

либо

Уравнение (70) является биквадратным относительно искомой величины . При , ,  (что соответствует случаю обычного материала) уравнение (70) не имеет положительных корней. Следовательно, в этом случае всегда получаем . В случае, когда хотя бы одно из трех условий: ,  или  не выполнено, уравнение (70) может иметь положительные решения . В этом случае необходимо решать дисперсионное уравнение (68) для каждого найденного положительного значения  и, находя соответствующие  проверять, выполняются ли краевые условия для соответствующих им функций  и . В том, и только том случае, когда краевые условия выполняются, найденные  являются собственными значениями задачи, а соответствующие им  и  - собственными функциями.

В случае обычных материалов равенство  интересно само по себе, поскольку говорит о том, что геометрическая симметрия задачи проявляется и в решении.

Также интересно отметить, что и в линейном, и в нелинейном случае  при  (для обычного материала). Но при  в линейном случае имеем соотношение , а в нелинейном случае это соотношение не сохраняется.

При  для обычного материала имеем . Обозначая , получаем, что , и, с учётом формул (46), (54) имеем

и дисперсионное уравнение (68) принимает вид

где  определяется формулами (63), (64), с учетом условия .

5. Результаты расчётов

В этом разделе графически будут представлены, как дисперсионные кривые, так и собственные функции. Дисперсионные кривые будут построены как решения уравнения (62), а собственные функции - как решения уравнения (20). Кроме того, графики собственных функций можно построить и непосредственно из явного решения (41) уравнения (20)

Выбирая определённое значение  ( ) находим из дисперсионного уравнения значение , соответствующее выбранному значению . Проделав эту операцию для нескольких значений  мы можем построить график зависимости . Соединяя точки, получаем линии - это и есть дисперсионные кривые. Чем больше точек мы возьмем, тем более плавные линии получим.

На рисунке 3 синим цветом изображены кривые для нелинейного случая, чёрным - кривые в линейном случае, а красным - асимптота для кривых линейного случая.

На рисунке 4 изображены дисперсионные кривые при различных коэффициентах нелинейности.

На рисунке 5 изображены кривые собственных функций рассматриваемой краевой задачи для определённого значения  и . График, изображённый красным цветом - собственная функция для , а график, изображённый синим цветом - собственная функция для

Для данных параметров дисперсионное уравнение (72) примет вид:

Для случая I дисперсионное уравнение (72) примет вид:,

Для случая II:,

Для случая III:.

Заключение

Основной результат работы - это дисперсионное уравнение для  диэлектрического слоя с некерровской нелинейностью. Подставляя различные значения коэффициентов нелинейности в исходное дисперсионное уравнение, были построены графики дисперсионных кривых для различных параметров. Также данная краевая задача рассматривалась как задача на собственные значения, поэтому в работе приведён график собственных функций этой задачи.

Работа может быть использована при изучении метаматериалов, их структуры и свойств.

Список используемой литературы

[1]   Н.И. Ахиезер  Элементы теории эллиптических функций. «Наука», 1970.

[2] Д.В. Валовик, Ю.Г. Смирнов Дисперсионные уравнения в задаче о распространении электромагнитных волн в линейном слое и метаматериалы.  Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010. № 1.

[3]  Шуберт, М. Введение в нелинейную оптику, в 2-х томах / М. Шуберт, Б. Вильгельми. - М. : Мир, 1973.

[4]   Смирнов, Ю. Г.Распространение электромагнитных волн в цилиндрических волноводах, заполненных нелинейной средой / Ю. Г. Смирнов, С. Н. Куприянова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - № 10. - С. 1850-1860.

[5]   Валовик Д. В. Задача о распространении электромагнитных волн в слое с    произвольной нелинейностью - I. ТЕ-волны // Известия вузов. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010. № 1.

Код для цитирования: Скопировать