МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ - Студенческий научный форум

IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
При разработке автоматических систем управления и, в частности, электромеханических устройств широко используются методы физического и математического моделирования. При физическом моделировании исследования проводятся на модели, физической однородной с оригиналом и отличающейся от него только количественно. При математическом моделировании исследовании исследования проводятся на модели, которая описывается такими же уравнениями, что и моделируемое устройство.

При создании математических моделей используются цифровые или аналоговые вычислительные устройства. Исторически первыми для этих целей использовались аналоговые устройства, достоинством которых по сравнению с цифровыми является простота модели и самого процесса моделирования, а также наглядность результатов при непрерывном воспроизведении заданной математической зависимости. В аналоговой вычислительной технике их часто называют дифференциальными анализаторами.

В дифференциальных анализаторах реализуются два метода интегрирования дифференциальных уравнений. Один из них основан на повышении порядка производных искомой функции, а другой - на его понижении. Отметим, что метод повышения порядка производных почти не применяется на практике, так как дифференцирующие блоки весьма чувствительны к помехам, которые могут стать источником ошибок.

Рассмотрим метод понижения порядка производных на примере решения линейного дифференциального уравнения третьего порядка с постоянными коэффициентами:

Для интегрирования уравнения (1) методом понижения порядка производных его нужно решить относительно производной высшего порядка, т.е.

Структурная схема модели для этого случая показана на рис. 1. Из формулы (2) видно, что для получения переменной x необходимы следующие вычислительные блоки: сумматор (блок S), три интегратора (блоки I) и три умножителя (блоки K) для введения коэффициентов B0, B1, B2. Выходной сигнал третьего интегратора, обозначенный на схеме рис. 1 буквой X, будет искомым решением уравнения (2).

Достоинством метода понижения порядка, нашедшего наибольшее распространение на практике, является высокая точность, обусловленная применением интеграторов, что устраняет в определенной мере влияние различных флуктуаций, возникающих в схеме.

К достоинствам структурного моделирования дифференциальных уравнений следует отнести наглядность, простота задания коэффициентов и изменения вида моделируемых дифференциальных уравнений и возможность использования готовых программных средств, в частности, Electronics Workbench [1].

Electronics Workbench (EWB) - разработка фирмы Interactive Image Technologies (www.interactiv.com). Особенностью программы является наличие контрольно-измерительных приборов, по внешнему виду и характеристикам приближенных к их промышленным аналогам. Программа легко осваивается и достаточно удобна в работе. После составления схемы и ее упрощения путем оформления подсхем моделирование начинается щелчком обычного выключателя.

Программа Electronics Workbench отличается очень простым и легко осваиваемым пользовательским интерфейсом. Кроме того, в России издано более десятка учебных пособий на базе этой программы.

Моделирование дифференциальных уравнений с помощью EWB рассмотрим на примере осциллятора Дуффинга, описываемого уравнением [2]      

С помощью программы EWB был смоделирован осциллятор Дуффинга, схема которого показана на рис.2. Для этого в уравнение (3) была добавлена правая часть - Е - генератор постоянного напряжения, задающий граничные условия.

С помощью усилителей  задаются коэффициенты . Умножители  формируют сигнал x3. Сигналы с 1 интегратора  и со 2 интегратора  подаются на двухлучевой осциллограф. Черная осциллограмма соответствует сигналу x, красная осциллограмма соответствует дифференцированному сигналу . Осциллограф работает в двух режимах: показ временной и фазовой характеристик сигнала x. В режиме показа фазовой характеристики по вертикали отображается сигнал , по горизонтали - x.

В таблице 1 и в таблице 2 показаны осциллограммы сигналов x и  при α=0.

Таблица 1 Фазовая характеристика сигнала x при α=0

α=0

δ>0

δ=0

δ<0

 

 

 

β<0

 

 

 

Таблица 2 Временная характеристика сигнала при α=0

α=0

δ>0

δ=0

δ<0

 

 

 

β<0

 

 

 

 

В таблице 3 и в таблице 4 показаны осциллограммы сигналов x и  при α<0.

Таблица 3 Фазовая характеристика сигнала x при α<0

α<0

δ>0

δ=0

δ<0

 

 

 

β<0

 

 

 

 

 

 

β=0

 

 

 

 

 

 

β>0

 

 

 

Из таблиц 1 и 2 видно, что при α=0 колебания не отсутствуют. Только при δ=0 и β<0 возникают слабозатухающие  гармонические колебания.

Таблица 4 Временная характеристика сигнала x при α<0

α<0

δ>0

δ=0

δ<0

 

 

 

β<0

 

 

 

 

 

 

β=0

 

 

 

 

 

 

β>0

 

 

 

Из таблиц 3 и 4 видно, что в системе возникают апериодические колебания. Как видно в таблице при увеличении β растет нелинейность колебаний, также растет амплитуда при δ=0 и δ<0.  При увеличении δ растет амплитуда колебаний. δ>0 - колебания возрастающие,  δ=0 - колебания слабозатухающие, δ<0 - колебания сильнозатухающие.

Также проведены исследования при α>0, но колебания отсутствуют.

Программа EWB является хорошей учебной программой, она обладает весьма важным достоинством, которое заключается в развитии творческого начала студентов: он может не только выполнять задания преподавателя, но и имеет возможность студентам предложить и апробировать свои технические решения, а это уже творчество, которое превращает учебный процесс в увлекательное занятие.

 

ЛИТЕРАТУРА

  1. Карлащук В.А. Электронная лаборатория на IBM PC. Программа Electronics Workbench и ее применение. - М.: Солон, 1999, 726 с., ил.
  2. Duffing oscillator: www.scholarpedia.org. URL: http:// www.scholarpedia.org/ article/ Duffing_oscillator
Просмотров работы: 75