В ходе работы была изучена теория вычетов и ее применение к вычислению несобственных интегралов функции действительной переменной.
В этой статье мы рассмотрим приложения этой теории к вычислению несобственных интегралов вида , , ( ).
Пусть функция комплексного переменного удовлетворяет трем условиям:
аналитична в верхней полуплоскости , кроме конечного числа особых изолированных точек ; непрерывна на вещественной оси и .
Тогда .
Т.к. , , то
Рассмотрим применение этой теории на примере вычисления интегралов:
Найдем особые точки функции :
, дискриминант тогда .
Имеем, что функция удовлетворяет трем условиям, сформулированным выше, т.к. имеет в полуплоскости один простой полюс .
Вычислим вычет в этой особой точке
Получаем, что
Следовательно,
Таким образом, мы рассмотрели применение функции комплексного переменного к решению некоторых видов несобственных интегралов.
Литература: