Движение твердого тела вокруг неподвижной оси при ударе - Студенческий научный форум

IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

Движение твердого тела вокруг неподвижной оси при ударе

 Комментарии
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Допустим, что молотильный барабан может вращаться вокруг неподвижной оси. Система oxyz связана с телом. Поверхность тело ( рис.1), отнесенная к осям oxyz, имеет вид:

f (x, y, z)=0

На тело действуют обыкновенные силы - активные и пассивные , приложенные в точках ( , и ударные силы , приложенные в точках ( ,. Интервал времени разобьем на подинтервалы, как показано на рис.2.

При этом очевидно, что

( k=2n-1 - нечетное), )

( k=2n - четное),

где - продолжительность соответствующего удара.

Тогда для k=1, то есть в интервале , движение тела описывается уравнением:  

Интегрируя его и используя начальную угловую скорость , найдем , соответствующую моменту .

За время удара , что соответствует k=2, угловая скорость тела изменится на конечную величину и в соответствии с теоремой о кинетическом моменте примет значение  

где - момент инерции тела относительно оси вращения;

- проекции ударного импульса на оси координат;

координаты точки приложения удара.

Для k=3 движение тела описывается уравнением (3), и начальная угловая скорость тела будет , что позволит вычислить , отнесенную к моменту и так далее.

В частном случае установившегося технологического процесса, когда , что имеет место, например, при тормозящем действии импульсов, изучение установившегося движения ограничивается выполнением двух операций: интегрированием уравнения 3 за время и применением теоремы о кинематическом моменте в связи с нахождением то есть использованием соотношения (4).

При необходимости исследования ударной вибрации задача решается с помощью уравнения, применимого для всего времени возмущения  

где ;

- совокупный момент активных и пассивных сил;

- момент импульсивных сил

i - указатель интервала времени.

Возмущение Р является известной функцией времени.

В случае, когда значение времени равно или превышает - время удара, то есть когда удары отсутствуют, дифференциальное уравнение имеет вид:  

Рассмотрим вращательное движение молотильного барабана . Допустим, молотильный барабан вращается вокруг неподвижной оси под действием непрерывных ударных импульсов. Отнесем вращающий барабан к неподвижной прямоугольной системе координат o , приняв ось за ось вращения. Систему осей, связанную с телом, обозначим oxyz, причем ось oz совместим с (рис.3).

 

 

Уравнение поверхности, полагая ее гладкой, относительно подвижных осей имеет вид:  

Допустим, что частица массы ударяет барабан в некоторой точке M (x,y,z). Тогда ударный импульс, приложенный к барабану, можно определить по теореме о количестве движения. )

где - абсолютные скорости частицы до и после удара соответственно.

Очевидно, импульс , приложенный к частице, связан с соотношением .

Обозначая скорость точки М барабана до удара через , а после удара , и принимая эту скорость за переносную, на что указывает индекс «е» , по теореме сложения скоростей, пренебрегая малой величиной , имеем: )

где - относительная скорость частицы до и после удара.

В точке М соударения частицы и барабана возьмем единичный вектор внешней нормали и единичный вектор , касательный к поверхности, причем вектор лежит в плоскости, проходящей через векторы . Тогда равенство можно представить в виде:  

Учитывая, что для гладких поверхностей получим:  

Допуская применимость гипотезы Ньютона, согласно которой  

где -коэффициент восстановления, получим:  

Следовательно, ударный импульс, действующий на тело, равен  

Принимая ударный импульс как предельный случай действия больших сил в течение коротких промежутоков времени. Представим импульсы непрерывных ударов эквивалентной силой, используя теорему о среднем определенном интеграле для импульса -
или

Откуда путем предельного перехода при находим:  

Если принять во внимание равенство  

то ударную силу можно представить в виде:  

Легко найти проекции силы на оси oxyz.

Учитывая, что момент инерции барабана вокруг неподвижной оси есть постоянная величина, получаем следующее дифференциальное уравнение вращательного движения барабана вокруг неподвижной оси под действием непрерывных ударных импульсов в подвижной системе координат  

где X,Y- проекции силы на оси координат, связанные с барабаном:  

Если на барабан действуют непрерывные ударные импульсы в различных точках M ( с интенсивностью , то дифференциальное уравнение примет вид:  

что мы и хотели получить.

Если на барабан кроме ударных импульсов действуют еще и обыкновенные силы в К точках, то они должны быть учтены и тогда дифференциальное уравнение примет вид:  

В простейших случаях уравнения можно проинтегрировать до конца. Это случится, когда уравнения допускают, например, разделение переменных, аналогично тем случаям, с которыми мы встречаемся при изучении прямолинейного движения точки.

Просмотров работы: 2