IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

Введение

Одним из фундаментальных разделов динамики является раздел динамики материальной точки, в котором под материальной точкой понимается простейшая механическая система, обладающая минимально возможным числом степеней свободы при данной размерности пространства.

Основной закон динамики устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-нибудь силы, а именно: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы. Математически этот закон выражается векторным равенством:
Если на точку действует одновременно несколько сил, то они будут эквивалентны одной силе, равнодействующей 12R´>, равной геометрической сумме данных сил:

Основной закон динамики, записанный в такой форме, справедлив только для инерциальных систем отсчета. Инерциальная система отсчета - система отсчета, связанная со свободным невращающимся телом.

Для получения уравнения движения материальной точки в неинерциальной системе отсчета следует воспользоваться теорией сложного движения точки, рассматривая ее движение одновременно в 2-х системах координат - основной О´x´y´z´ (инерциальная система отсчёта) и подвижной Oxyz (рис. 1).

Следует использовать выражение для абсолютного ускорения точки (теорема Кориолиса):

Тогда Величины  и  имеют размерность силы. Вводятся обозначения: - переносная сила инерции, - кориолисова сила инерции, в итоге получается:

- основное уравнение динамики относительного движения.

Уравнение движения в подвижной системе координат не совпадает с основными уравнениями динамики, следовательно, соответствующая система отсчета не является инерциальной.

Итак, чтобы получить уравнение движения точки в неинерциальной системе отсчета, необходимо добавить переносную и кориолисову силы инерции.

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки в проекциях на оси прямоугольной декартовой системы координат имеют вид:

 

Если подвижная система координат движется поступательно, равномерно и прямолинейно, то переносная и кориолисова силы инерции равны нулю, и относительное движение описывается основным уравнением динамики. Это утверждение выражает принцип относительности классической механики: уравнения движения не зависят от того, относить ли их к неподвижным осям или подвижным, перемещающимся поступательно, равномерно и прямолинейно [1].

Для свободной материальной точки задачами динамики являются следующие:

• Первая задача динамики: определение сил, действующих на материальную точку, если известна масса точки и закон ее движения.
• Вторая задача динамики: определение закона движения материальной точки при известной массе и силах, действующих на точку.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых координатах

Рассматривается свободная материальная точка, движущаяся под действием сил 12F1,F2…Fn ´>по отношению к инерциальной системе отсчета  (рис.2). При проецировании обеих частей равенства на оси 12x, y, z´> получаются дифферен­циальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси прямо­угольной декартовой системы координат:

Так как действующие на точку силы мо­гут зависеть от времени, от положения точки и от ее скорости, то правые части уравнений могут содержать время t, координаты точки х, у, z и проекции ее скорости на оси декартовой системы координат При этом в правую часть каждого из уравнений могут входить все эти переменные, то есть t, х, у, z, 12 x, y, z´> одновременно.

Чтобы с помощью этих уравнений решить основную задачу динамики, надо, кроме действующих сил, знать еще начальные условия, то есть положение и скорость точки в начальный момент. В координатных осях Oxyz начальные условия задаются в виде: при 

При известных значениях действующих сил, после интегрирования уравнений находятся координаты х, y, z движущейся точки, как функции времени t, т.е. находится закон движения точки [1,2 и др.].

Наше исследование заключалось в том, чтобы рассмотреть по каким законам материальная точка меняет своё положение в криволинейных системах координат, которые редко затрагиваются в стандартных учебных пособиях по теоретической механике. Также мы рассмотрели дифференциальные уравнения движения материальной точки в естественных координатах, обратившись к теории дифференциальной геометрии кривых.

Дифференциальные уравнения в проекциях на оси естественного трёхгранника

В середине девятнадцатого века французский математик Ж. Френе написал знаменитые уравнения, помогающие описать движение ориентируемой точки вдоль произвольной кривой 12r(s)´>, где s - это длина дуги. Под ориентируемой точкой понимается трехгранник Френе (репер), образованный тремя единичными ортогональными векторами.

Под репером Френе понимают тройку векторов  сопоставленную каждой точке произвольной кривой где

•  единичный вектор касательной,
• единичный вектор главной нормали,
• единичный вектор бинормали

к кривой в данной точке (рис. 3).

Если s - натуральный параметр вдоль кривой, то векторы  связаны соотношениями:

называемыми формулами Френе. Величины:

называют, соответственно, кривизной и кручением кривой в данной точке. Френе впервые показал, что произвольная кривая в общем случае определяется двумя параметрами: кривизной и кручением. Уравнения вида всюду положительна называются натуральными уравнениями произвольной кривой и полностью её определяют.

Скорость и ускорение в осях естественного трёхгранника. Трёхгранник Френе играет важную роль при описании движения точки в «сопутствующих осях». Пусть материальная точка движется по произвольной кривой. Тогда, очевидно, скорость точки направлена по касательному вектору 12v=vП„´>. Дифференцируя по времени находим выражение для ускорения:

Компоненту при векторе 12П„´> называют тангенциальным ускорением, она характеризует изменение модуля скорости точки. Компоненту при векторе  называют нормальным ускорением. Она характеризует изменение скорости по направлению [3].

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в проекциях на оси естественного трёхгранника. Составим основное уравнение динамики и спроецируем его на естественные оси:

Так как , то получим дифференциальные уравнения движения:

Также мы рассмотрели дифференциальные уравнения движения материальной точки в криволинейных системах координат, сначала обратимся к полярной системе координат.

Дифференциальные уравнения движения материальной точки в полярной системе координат

В полярных координатах положение точки на плоскости определено, если заданы её расстояние от начала отсчета О и угол между радиусом-вектором  точки и выбранным направлением OO´ - началом отсчета угловой координаты рис. 4).

Введём единичные векторы - орты , связанные с движущейся точкой и направленные в сторону возрастания соответствующих координат как показано на рисунке 4. В отличие от ортов декартовой системы координат, орты - подвижные (при движении точки они меняют свое направление) [4].

Проекции вектора ускорения на орты имеют вид:

Основное уравнение динамики в полярных координатах. Основное уравнение динамики:  в проекциях на подвижные орты легко получить сразу, воспользовавшись формулами проекций ускорений:

где проекции вектора на орты (рис. 4).

Дифференциальные уравнения движения точки в цилиндрической и сферической системах координат

Дифференциальные уравнения движения точки в цилиндрической системе координат. Введём единичные векторы - орты связанные с движущейся точкой и направленные в сторону возрастания соответствующих координат как показано на рисунке 5.

Координаты задаются:

Проекции вектора ускорения на орты имеют вид:

Основное уравнение динамики в цилиндрических координатах имеет вид:

где проекции вектора на орты

Дифференциальные уравнения движения точки в сферической системе координат. Введём единичные векторы - орты, связанные с движущейся точкой и направленные в сторону возрастания соответствующих координат как показано на рисунке 6.

Координаты задаются:

Проекции вектора ускорения на орты имеют вид:

Основное уравнение динамики в сферических координатах имеет вид:

где проекции вектора  на орты [5].

Практические примеры использования дифференциальных уравнений движения точки в различных системах координат

Практический пример в декартовой системе координат

В начальный момент времени материальная точка массы кг находится в положении  и имеет скорость м/с, направленную к точке  вдоль наклонной плоскости. К материальной точке приложена сила изменяющаяся по закону  (сила в ньютонах).

Пренебрегая трением, определить высоту на которую поднимется точка через c, если угол  (рис. 7) [6].

В предложенной задаче нужно проверить возможность отрыва точки от поверхности, то есть успеет ли точка оторваться от поверхности за предоставленное время (2 секунды), если сумеет, то задача разбивается на два этапа решения, на первом этапе точка движется по гладкой поверхности, на неё действует нормальная реакция опоры 12N´>, а на втором этапе происходит отрыв точки от поверхности, то есть в момент отрыва нормальная реакция опоры 12N´> будет равна нулю.

Следует учесть, что закон движения точки на каждом из этапов будет выглядеть различно. Задаются две оси 12x Рё y´>, на которые проецируются действующие силы.

Составим уравнение движения для оси Оx, т.к точка движется вдоль этой оси на первом этапе:

Второе, что следует найти, это момент времени, в который точка оторвется от поверхности, для этого определяем зависимость между , а нормальную реакцию опоры приравниваем нулю. Если данный момент времени меньше двух секунд, то точка успеет оторваться от поверхности за предоставленное время.

Проецируем силы на ось Оy:

Так как

где момент времени, в который точка оторвется от поверхности.

Следовательно, задача разбивается на два этапа, как и предполагалось.

Находим высоту 12H1=x 1sinО±´>, где 12x1´>-это расстояние, которое прошла точка за все время вдоль поверхности. Чтобы найти 12x1´> , нужно знать зависимость 12x1(t),´> для этого решаем дифференциальное уравнение движения материальной точки относительно оси Ox.

Интегрируем по

Находим постоянные интегрирования из начальных условий:

Теперь находим

Теперь рассмотрим второй этап движения точки (движение в воздухе) и найдем 12H2´> ,а общая высота равна:

Найдем высоту 12H2´> (рис. 8)., где

Составим уравнение движения материальной точки в полете на ось Oy:

Уравнение для оси Ox аналогично дифференциальному уравнению движения точки по поверхности. Уравнение для оси Oy возникает, так как ускорение точки на втором этапе проецируется не только на ось Ox (как на первом этапе).

Решение уравнений:

Найдем постоянные интегрирования 12C3´>, 12C4´> из начальных условий:

при

 

Отсюда

Окончательно получим:

Практическое использование дифференциальных уравнений движения материальной точки в проекциях на оси трёхгранника Френе

Задача заключается в отыскании аналитической поверхности, движение по которой под действием силы тяжести при отсутствии трения обеспечивает объекту, принимаемому за материальную точку, "комфорт" или "дискомфорт". Количественной характеристикой "комфорта" или "дискомфорта" является отношение величины в общем случае переменной нормальной реакции поверхности к весу точки [7].

Задача имеет широкое практическое применение для расчета и построения пространственных кривых или поверхностей движения (монорельсовые железные дороги, трассы бобслея, сложные развязки автомобильных дорог и др.).

Задача решается в рамках классической механики с использованием основного уравнения динамики точки. Система дифференциальных уравнений движения материальной точки записывается в проекциях на подвижные оси естественного трехгранника. Дополненная формулами Френе (дифференциальными векторными соотношениями между ортами осей натурального триэдра) система дифференциальных уравнений с помощью ряда оригинальных математических преобразований решается для траекторий движения, касательные к которым в каждой точке составляют с вертикалью постоянный угол (так называемых линий откоса).

Для получения линии откоса можно воспользоваться формулами Френе:

и вводится в рассмотрение постоянный угол между вертикалью и направлением касательной в произвольной точке траектории.

Пусть

Тогда, так как , то из первого и третьего уравнений Френе следует, что  а из второго уравнения Френе получается:

и .

Кроме того

Откуда

или , т.е.

Так как

то из равенства

можно найти

При введении в рассмотрение сферических углов и , задающих положение вектора , можно определить:

 

Тогда, из уравнения (1)

откуда

(3)

Уравнение траектории движения можно найти, воспользовавшись определением единичного вектора касательной к пространственной кривой:

Откуда и

или, с учетом формул (2) и (3):

(4)

Для установления зависимости следует рассмотреть движение материальной точки массы по искомой кривой при отсутствии сопротивления.

Записывая уравнения движения материальной точки в проекциях на главную нормаль и бинормаль к траектории,

можно найти суммарную реакцию

По теореме об изменении кинетической энергии точки

откуда

Задаваясь законом изменения нормальной реакции , из уравнений (5) и (6) находится закон изменения кривизны и искомую кривую:

Поверхность, движение по которой происходит с заданным законом изменения нормальной реакции можно получить в виде линейчатой поверхности c найденной линией откоса в качестве направляющей кривой, нормаль к которой в каждой точке совпадает с вектором , а образующая задается единичным вектором .

Уравнение поверхности имеет вид:

где , - длина и ширина полотна.

С учетом разложения вектора можно найти:

Где

Полученное уравнение таких поверхности, допускает реализацию численных вычислений и графическую иллюстрацию в доступных широкому кругу потребителей математических пакетах. На рис. 9 в пакете МathСad приведен пример построения траекторий движения и поверхности катальной горки при различных углах откоса и значениях нормальной реакции .

Пример практического использования основного уравнения динамики в полярных координатах

Основное уравнение динамики в полярных координатах является важным элементом для изучения курса современной астрономии. Рассмотрим задачу о прецессии орбиты, которая имеет прямое отношение к объяснению траектории движения вокруг Солнца его ближайшей планеты - Меркурия. В задаче о гравитационном взаимодействии движущихся масс рассматривается ситуация, часто реализующаяся в космическом пространстве. В некоторых случаях два взаимодействующих тела можно рассматривать, пренебрегая в первом приближении влиянием других тел. Так, например, у двойных звезд траектории в основном определяется их гравитационным взаимодействием. Кроме того, движение каждой планеты Солнечной системы происходит, в первую очередь, под влиянием ее притяжения к Солнцу, другие тела вызывают лишь малые искажения эллиптичности орбиты.

Планета массы движется по эллипсу под действием центральной притягивающей силы Как нужно изменить величину силы, чтобы относительное движение по орбите осталось неизменным, а орбита, не изменяя своего вида, вращалась вокруг центра сил (рис.11)?

Движение точки по неподвижной орбите под действием центральной силы (рис. 10) можно описать следующей системой уравнений:

где  - это константа, т.к. второй закон Кеплера утверждает постоянство секторной скорости. Если обозначить изменившуюся величину силы , уравнения движения планеты по вращающейся эллиптической орбите примут вид:

Из уравнений (1) и (2) следует, что .

После несложных преобразований первого из уравнений системы (2) можно получить:

отсюда

Итак,

Такое движение по вращающейся эллиптической орбите совершает планета Меркурий (рис. 12) [8].

Другими словами, при решении задач с использованием дифференциальных уравнений движения в полярных координатах обсуждаются события, реально наблюдаемые астрономами.

Заключение

В современном мире при расчете сложных практических задач используется компьютерное моделирование, основанное на теории дифференциальных уравнений. В большинстве случаев дифференциальные уравнения движения материальной точки составляются для декартовой системы координат, но существует ряд задач, для которых удобнее использовать другие системы координат. Например, при построении траекторий движения для санно-бобслейной трассы лучше использовать естественную систему координат, а для определения орбитального движения планеты - полярную систему координат.

Другими словами, дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат являются важной составляющей такой дисциплины, как динамика, и носят практический характер.

Список источников:

1. Митюшов, Е.А. Теоретическая механика: учебник для студ. высш. учеб. заведений / Е.А. Митюшов, С.А. Берестова. - М., Издательский центр «Академия», 2006. - 320с.;
2. Бухгольц, Н.Н. Основной курс теоретической механики. Том 1. Кинематика, статика, динамика материальной точки / Н.Н. Бухгольц. - М., Наука, 1965. - 468с.;
3. Дубровин, Б.А., Новиков, С.П., Фоменко, А.Т. Современная геометрия: методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. - М., Наука, 1986. - 760 с.;
4. Иродов, И. Е. Основные законы механики. 3-е изд., перераб. и доп. / И.Е. Иродов. - М., Высшая школа, 1985. - 248 с.;
5. Алферов, Г.В. Механика в криволинейных координатах. В вопросах и ответах. / Г.В. Алферов. - СПбГУ, 2006. - 21 стр.;
6. Материалы международной олимпиады по теоретической механике, 2007. - С.119-146;
7. Митюшов, Е.А., Рощева, Т.А. Об одной задаче динамики несвободной материальной точке. / Е.А. Митюшов, Т.А. Рощева // Механика. Научные исследования и учебно-методические разработки. Международный сборник научных трудов. Выпуск 4. Гомель 2010. - С. 116-121;
8. Бычков, К.В., Сараева, И.М. Задачи по курсу общей физики для студентов астрономического отделения физического факультета МГУ. / К.В. Бычков, И.М. Сараева.. - МГУ, 2007 - 107 стр.

Код для цитирования: Скопировать