IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

Исключение нежелательных колебаний в механической системах называется виброзащитой (демпфированием). Используемые при этом технические устройства, спроектированные с учетом законов динамики, называются виброгасителями (демпферами). Рассмотрим принцип работы  одного из таких устройств - динамического гасителя колебаний.

Рассмотрим двухмассовую механическую систему. Массы m₁ и m₂ совершают колебательное движение вдоль оси Х под действием сил F₁sinwt и F₂sinwt. Нагрузками сопротивления и трением в опорах пренебрегаем.

Для составления дифференциальных уравнений малых колебаний консервативной механической системы с двумя степенями свободы около устойчивого положения равновесия можно воспользоваться уравнениями Лагранжа второго рода, отсчитывая обобщенные координаты от устойчивого положения равновесия.

Механическая система, состоящая из двух грузов и двух пружин, имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат выбираем смещения грузов вниз из положений равновесия, в котором пружины имеют статические деформации.

Кинетическая энергия системы определяется соотношением.

Обобщенные  коэффициенты инерции определяются равенствами:

Найдем потенциальную энергию системы как сумму работ сил тяжести грузов и сил упругости пружин при перемещении грузов из произвольного положения в положение равновесия, где потенциальная энергия полагается равной нулю:

где ,  - деформации пружин в произвольном положении системы.

В положении равновесия потенциальная энергия  имеет минимум, т.е.

Данные соотношения позволяют определить статические отклонения масс в зависимости от характеристик системы.

Обобщенные коэффициенты жесткости определяются равенствами:

Тогда

Квадратичные формы для кинетической и потенциальной энергий положительно определенные.

Однородные дифференциальные уравнения движения консервативной механической системы около устойчивого положения равновесия в общем случае двух степеней свободы имеют вид:

При известных коэффициентах инерции:

Общее решение системы однородных дифференциальных уравнений малых свободных колебаний механической системы с двумя степенями свободы около устойчивого положения равновесия ищется в виде:

Подстановка этого решения в систему дифференциальных уравнений малых колебаний, дает

Относительно величин  и  это система однородных алгебраических уравнений. Она имеет нетривиальное решение , когда определитель системы равен нулю

или

После преобразований уравнение принимает вид

Это биквадратное относительно  уравнение называется уравнением частот. Оно имеет два положительных корня  и , которым соответствуют два решения системы дифференциальных уравнений малых колебаний:

Таким образом, закон изменения каждой обобщенной координаты находится как сумма двух  колебаний разной частоты, которые называются  главными колебаниями. При этом амплитуды главных колебаний связаны между собой следующим образом:

где   -  коэффициенты формы главных колебаний.

В итоге, уравнения малых колебаний механической системы  с двумя степенями свободы имеют вид:

Амплитуды  и начальные фазы  соответствующих колебаний определяются из начальных условий.

К механической системе помимо консервативных сил приложены возмущающие силы. Особый интерес представляет случай, когда обобщенные силы изменяются с течением времени по гармоническому закону

Общее решение системы линейных неоднородных, в данном случае, дифференциальных уравнений ищется как сумма двух решений: где  - общее решение системы однородных дифференциальных уравнений, метод получения которых изложен выше;  - частное решение системы неоднородных дифференциальных уравнений.

С учетом зависимости возмущающей силы от времени частное решение ищется в виде

Подстановка его в систему дифференциальных уравнений дает:

Решая эту систему по правилу Крамера, получим

где

Величина  совпадает с левой частью уравнения частот и обращается в ноль при совпадении частоты возмущающей силы с одной из частот собственных колебаний  или . Коэффициенты  и  при этом обращаются в бесконечность. Таким образом, в случае колебаний системы с двумя степенями свободы существуют две резонансные частоты  и .

Общее решение системы дифференциальных уравнений вынужденных колебаний при  и  имеет вид:

Параметры колеблющейся системы можно подобрать таким образом, чтобы амплитуда вынужденных колебаний, соответствующих первой обобщенной координате, обращалась в ноль ( ). Такое явление называется антирезонансом. Это имеет место, если , т.е. выполняется условие антирезонанса

    или .

При выполнении этого условия вынужденных колебаний первой массы не будет.

Принцип работы динамического гасителя основан на использовании явления антирезонанса, когда действие периодически изменяющейся возмущающей обобщенной силы, соответствующей одной координате, нейтрализуется действием потенциальной обобщенной силы, соответствующей другой координате.

Чтобы дополнительная масса выполняла роль гасителя колебаний, «парциальная» частота собственных ее колебаний (при неподвижной первой массе) должна совпадать с частотой возмущающей силы  .

На практике преимущественно применяют демпфирующие устройства с использованием сил вязкого сопротивления.

Инженерный подход к решению данной задачи. Находятся частные решения  задачи по виду правой части

Подставляя их в уравнения движения, получим:

Решим эту систему относительно неизвестных констант:

При резонансе, когда частота вынужденной силы w совпадает с любой из двух собственных частот, значения любой из двух констант стремится к бесконечности, что возможно при значении общего знаменателя выражения равном нулю

которое совпадает с уравнением частот.

При w ¹ 0 и F₂ = 0, т.е., когда вынужденная сила действует только на первую массу:

Для исключения амплитуды колебаний первой массы  необходимо выполнение условия антирезонанса. При этом . Таким образом, при приложении силы к первой массе она остается неподвижной.

Рассмотрим устройство, которое может быть представлено в виде сосредоточенной массы. Оно испытывает воздействие внешней периодической возмущающей силы Fsinwt (рис. а). Для гашения колебаний массы необходимо присоединить к ней дополнительную массу на упругой связи, подчинив параметры дополнительной системы условию антирезонанса. Тогда колебания основной массы, исчезнут, а дополнительная масса будет колебаться с амплитудой , играя роль виброгасителя для основной массы (рис. б). Для исключения возможности возникновения значительных амплитуд колебаний дополнительной массы в систему гасителя можно ввести демпфирующий элемент параллельно упругой связи (рис. в).

Список литературы:

1. Детали и механизмы металлорежущих станков /под редакцией Д.Н.Решетова М.:Машиностроение, 1972.
2. Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. М.:ИЦ «Академия», 2011.
3. Кедров С.С. Колебания металлорежущих станков. М.:Машиностроение, 1978.

Код для цитирования: Скопировать