IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

Традиционно применяемые векторные методы кинематического анализа громоздки, не обладают достаточной общностью и с успехом могут быть заменены универсальными матричными алгоритмами для нахождения распределений скоростей и ускорений точек плоских механизмов.

 В работе рассматриваются аналитические методы решения задач кинематики плоских механизмов, основанные на использовании известных теорем кинематики плоскопараллельного движения твердого тела и некоторых нетрадиционных следствиях теорем Эйлера и Ривальса.

Рассмотрим движение твердого тела, при котором все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Это движение называется плоским (плоскопараллельным).

Такое движение совершают тела  при качении  (колеса,  катки,  цилиндры)  на  прямолинейном  участке пути; шестерни  планетарных  передач (рис.1); многозвенные плоские кривошипно-кулисные механизмы; кулачковые механизмы (рис.2) и др.

При плоском движении все точки тела, лежащие на общем перпендикуляре к неподвижной плоскости, движутся по одинаковым траекториям и имеют геометрически равные скорости и ускорения. Поэтому исследование плоского движения тела сводится к рассмотрению движение плоской фигуры  в её плоскости.

Движение плоской фигуры может  рассматриваться как сложное, при этом переносное движение - это поступательное движение подвижной системы координат вместе с некоторой точкой, которая называется полюсом. Относительное движение - это вращение вокруг полюса.

В случае, когда система координат выбрана таким образом, что плоскость, в которой происходит движение плоской фигуры, совпадает с плоскостью

- уравнения движения плоской фигуры [1, 2 и др.] полностью определяют такое движение. При задании плоского движения за полюс может приниматься любая точка тела. Следовательно, вид первых двух уравнений движения (1) зависит от выбора полюса. Закон  же изменения угла   от выбора полюса не зависит.

Если известен закон движения (1),то основные кинематические характеристики скорость  и ускорение  полюса (точки ) можно определить по формулам:

а формула для вычисления алгебраического значения угловой скорости имеет вид:

Здесь и в дальнейшем используются матричные представления кинематических характеристик.

В вычислительных алгоритмах исследования плоского движения удобно представление угловой скорости и углового ускорения тела в виде  кососимметрических тензоров второго ранга [3]

Скорость любой точки тела при плоском движении находится как сумма скорости полюса и скорости данной точки во вращательном движении вокруг полюса (точка А).    

где  скорость точки  при её движении относительно  определяется по формуле Эйлера 

или в матричной записи:

или

Проделав вычисления по формуле (5), получим

Часто определение скоростей точек плоской фигуры упрощается при использовании известного следствия о проекциях скоростей двух точек на ось, проходящую через них:

В матричном виде эквивалентное  равенство имеет вид

Если направить одну из координатных осей  (например, параллельно вектору скорости, то  из равенства (8) получим

Ускорение точки плоской фигуры равно сумме ускорения полюса и ускорения данной точки во вращательном движении вокруг полюса [2] :

Вращательное ускорение определяется соотношением  

А центростремительное       

Перепишем равенство (9) с учетом введенных соотношений (10) и (11). Получим            

Выполнив вычисления, преобразуем полученное равенство 

Умножим   обе части равенства (12) слева на  вектор-строку ,тогда [3]

 

Учитывая, что

 после некоторых преобразований получим следствие из равенства  (12)

 Еще одно полезное (для исследования движения плоских механизмов) следствие [3]может быть получено также из уравнения (12) умножением обеих частей слева на

Откуда

где - орт прямой, соединяющей точки  и .

Полученные формулы справедливы для любого движения твердого тела. Записанные для плоского движения в векторной форме эти формулы имеют более привлекательный вид:

Мгновенный центр ускорений это точка, ускорение которой в данный момент времени равно нулю.

Если в уравнении (12) принять ускорение точки   равным  нулю,   то по определению мгновенного центра ускорений  точка  и будет являться этим центром , а значит, координаты мгновенного центра ускорений аналитически определяются равенствами[3]:

Использование записанных выше соотношений позволяет производить кинематический расчет плоских механизмов.

Расчет многозвенных механизмов следует начинать с выделения точек соединения звеньев, для которых затем выписываются определяющие скорости и ускорения соотношения.

Пример 1.

На рис.14  изображена схема механизма ножниц для резки пруткового материала. Кривошип 1 через шатун 2 приводит в движение коромысло 3, на котором располагается верхний нож 4. Нижний нож 5 неподвижно закреплен. Определить величину скорости и ускорения точки D касания подвижного ножа и прутка, а также угловые скорости и ускорения звеньев системы в заданном на чертеже положении, если угловая скорость кривошипа постоянна и равна 4 рад/с, CD = 0,5 м.

Решение

1. Определение скоростей.

Записанные для точек  и  формулы  приводят к следующей системе матричных уравнений:

Откуда 

В выбранной системе отсчета

(при записи матрицы  учтено, что кривошип вращается по ходу часовой стрелки);

Уравнение (20) приводит к  матричному равенству

Решив это уравнение, найдем:

Модуль скорости точки :

2. Определение ускорений.

Из системы соотношений, записанных для рассматриваемых точек  и :

Получим матричное уравнение для определения угловых ускорений звеньев:              

или

Откуда

Ускорение точки  определим по формуле

Список литературы:

1. Тарг, С. М. Теоретическая механика / С. М. Тарг. - Москва: Высшая школа, 1982. - 111с.;
2. Митюшов, Е. А. Теоретическая механика / Е. А. Митюшов, С. А. Берестова. - М.: Издательский центр «Академия», 2006. - 320 с.;
3. Митюшов Е.А., Берестова С.А. Аналитические алгоритмы кинематики твердого тела. //Новые образовательные технологии в вузе. Сб. материалов 6 Международной научно-методической конференции, Екатеринбург. Часть 1, с.242-244,2009.

Код для цитирования: Скопировать