IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

Оценка связей, зависимостей и тенденций между экономическими показателями  региона в настоящем исследовании проведена на примере четырех ключевых показателей  Ставропольского края за 2002-2010 гг. [4]: валового регионального продукта (ВРП), объема инвестиций,   численности занятых в экономике и стоимости основных фондов. Ставропольский край, является административным центром  нового Северокавказского федерального округа (СКФО) и экономически наиболее развитым и благополучным регионом этого округа.

В качестве инструмента оценки использовано математическое и компьютерное моделирование.

Поставлены и решены следующие задачи:

• выявлена динамика (тенденции) изменения каждого из 4-х показателей экономики региона путем построения графиков их зависимости от фактора времени;
• построены графики точек рассеивания, выражающие зависимости ВРП от каждого их трех ресурсов (объема инвестиций, численности занятых в экономике и стоимости основных фондов);
• построены одно- и двухфакторные модели рядов динамики, выражающие зависимость ВРП от ресурсов, рассчитаны и проанализированы их характеристики;
• определены предельные нормы взаимозаменяемости ресурсов;
• разработана компьютерная модель, позволяющая проводить в автоматизированном режиме все расчеты, строить графики, формировать аналитические таблицы и выполнять другие процедуры по обработке информации, связанные с оценкой связей, зависимостей и тенденций между экономическими показателями  региона.

Оценка связей, зависимостей и тенденций можно проводить с использованием различных методов и способов их выявления и оценки. Оценку следует начать с выявления возможности наличия связи, зависимости и тенденции с точки зрения экономической логики. Так, по мнению авторов [1; 2], между каждой парой из 4-х вышеназванных показателей могут существовать связи (и с помощью эмпирических расчетов они это показывают). Эти связи являются корреляционными. Зависимости же, по их мнению, существуют только следующие: валового регионального продукта от каждого из трех остальных, объема инвестиций от ВРП, стоимости основных фондов от объема инвестиций.

Динамические тенденции изменения каждого из 4-х показателей в отдельности за рассматриваемый период характеризуют графики, приведенные на рис. 1, которые могут быть описаны трендами линейного или степенного видов:

  П_it = b_i+m_it;                П_it = b_i*m_i^t,

где П_it - один из 4-х рассматриваемых показателей (i=1,2,3,4); b_i, m_i - параметры моделей.

Модели зависимости любого экономического показателя от фактора времени называются моделями временных рядов [4].

Определенное представление о наличии и зависимости ВРП от каждого из ресурсов и о виде этой зависимости можно получить путем построения графиков, называемых графиками точек рассеивания. Такие графики приведены на рис.2.

Наиболее простыми из траекторий (или линий), которые могут быть построены в соответствии с расположением точек графиков, являются линии линейного или степенного видов.

Исходя из этого вывода, ниже нами исследуются только два вида моделей, выражающих зависимость ВРП от инвестиций, численности занятых в экономике и стоимости основных фондов: линейные и степенные.

В настоящей статье проведен анализ одно и двухфакторных зависимостей  ВРП от объема инвестиций, численности занятых в экономике и стоимости основных фондов.

Оценка однофакторных зависимостей целесообразно начать с расчета отдельных наиболее важных показателей, характеризующих эти зависимости. К числу таких показателей относятся коэффициент корреляции (r) и параметры самого простого из видов зависимости (т.е. линейной).

Необходимые расчеты можно выполнить средствами MS Excel. Линейная зависимость для пары показателей имеет вид y=b+mx, где y - результативный показатель, x - показатель-фактор, b, m - параметры (b - свободный член, m - коэффициент регрессии).

Коэффициент корреляции (r), параметры (b,m) и стандартную ошибку (sey) в простейшем случае можно рассчитать, используя функции «коррел», «отрезок», «наклон» и «стошух» MS Excel соответственно. Их численные значения, полученные для зависимости ВРП от инвестиций, численности занятых в экономике и стоимости основных фондов по данным Ставропольского края приведены в таблице 1.

   Таблица 1 Величина параметров (b,m) коэффициента корреляции (r) и стандартной ошибки (y), рассчитанные для зависимости ВРП от трех ресурсов

		yt от x1t	yt от x2t	yt от x3t	yt от x1t	yt от x2t	yt от x3t
2002-2009					2002-2010
Отрезок	b	29,4	-836,7	-56,7	32,2	-925,1	-43,5
Наклон	m	2,920	0,876	0,454	2,8304	0,9578	0,4213
Коррел	r	0,9809	0,9410	0,9963	0,9856	0,9391	0,9926
Стошух	sey	14,526	25,277	6,407	13,909	28,233	9,970

Величина r называется линейным коэффициентом корреляции и показывает степень тесноты зависимости y от x. Этот коэффициент принимает значение -1<r<1. если 0<0<1, то с увеличением x величина y тоже увеличивается, если -1<r<0, то с увеличением x величина y уменьшается.

    Подставляя в уравнение y=b+mx, значения b и m из таблицы 1, получим линейные уравнения, выражающие зависимость ВРП (y_t) от объема инвестиций (x1_t), численности занятых в экономике (x2_t), и стоимости основных фондов (x3_t):

    по данным за 2002-2009 гг.

y_t=29,4+2,920x1_t;    y_t=-836,7+0,876x2_t;     y_t=-56,7+0,454x3_t;

    по данным за 2002-2010 гг.

y_t=32,2+2,8304x1_t;    y_t=-925,1+0,9578x2_t;     y_t=-43,5+0,4213x3_t.

Математический параметр (b) представляет собой величину результативного показателя (y_t) при равенстве нулю показателей-факторов x1_t, x2_t и x3_t. В нашем случае x1_t (объем инвестиций), x2_t (численность занятых в экономике) и x3_t (стоимость основных фондов)- показатели региона, которые не могут равняться нулю. Иначе будет равен нулю ВРП. То есть, параметр (b) в нашем случае не имеет экономического смысла.

Величина (m), как математически, так и экономически всегда имеет смысл. Она показывает, на сколько абсолютных единиц изменится численное значения результативного показателя (y_t), если соответствующее значение показателя-фактора (x1_t, x2_t или x3_t) увеличится на одну абсолютную единицу. Таким образом, в соответствии с таблицей 2 (и вышеприведенными уравнениями) увеличение каждого из трех показателей на одну единицу (объема инвестиций на 1 млрд. руб., численности занятых в экономике на 1 тыс. чел., стоимости основных фондов на 1 млрд. руб.) сопровождалось ростом величины ВРП на 2,920; 0,876 и 0,454 млрд. руб. соответственно (при сложившейся зависимости за 2002-2009 гг.) и на 2,830; 0,958 и 0,421 млрд. руб. (при сложившейся зависимости за 2002-2010гг.). Как видно из этих данных, показатели 2010г. оказали отрицательное воздействие на использование инвестиций и основных фондов (при добавлении показателей 2010г. коэффициенты регрессии m₁ и m₃ уменьшились). Но коэффициент m₂ (для численности занятых в экономике) при включении в выборку 2010г. увеличился.

Полученные результаты свидетельствуют о том, что применение даже самого простого из математических инструментариев дает весьма ценную для анализа информацию. Ценность полученных уравнений (и соответственно показателей r, m, b, sey) состоит и в том, что на их основе можно проводить прогнозные расчеты. В универсальные программные средства (в частности в MS Excel) заложены широкие возможности, позволяющие выявлять и оценивать связи, зависимости и тенденции. Так, в MS Excel имеются «Мастер функций», «Мастер диаграмм», «Анализ данных» и др., которые позволяют строить одно- и многофакторные модели регрессии, модели рядов динамики и др. виды эконометрических моделей, рассчитывать комплекс статистических характеристик для оценки этих связей, зависимостей и тенденций, строить графики и диаграммы, а также проводить другие виды оценок.

Более широкие возможности для оценки связей, зависимостей и тенденций представляет статистическая функция «линейн» из MS Excel, позволяющая рассчитывать в виде двухмерного массива параметры (b, m₁, m₂,...,m_p), стандартные ошибки для этих параметров (seb, se1, se2,...,sep), а также шесть статистических характеристик (sey, r2, df, F, SSreg и SSresid). Сущность и назначение перечисленных характеристик можно найти в учебной литературе по эконометрике и пособиях по работе с MS Excel [см., например, 3; 5].

С помощью функции «линейн» можно рассчитывать параметры и характеристики эконометрических моделей не только линейного вида, но нелинейные, которые могут быть приведены к линейному виду.

Применяя обозначения, используемые в MS Excel, эконометрическую модель линейного вида можно записать следующим образом:

                      y=b+m₁x₁+m₂x₂+...+m_px_p, где

y - результативный показатель;

x₁,x₂,...,x_p - показатели-факторы;

b - свободный член уравнения регрессии;

m₁, m₂,...,m_p - коэффициенты регрессии.

В настоящей статье наряду с линейными рассматриваются и нелинейные модели степенного вида:

                          y=bx₁^m1x₂^m2...x_p^mp.

Это уравнение можно привести к линейному виду. Для этого достаточно прологарифмировать обе части степенного уравнения:

lgy=lg(bx₁^m1x₂^m2...x_p^mp) или lgy= lgb+m₁lgx₁+m₂lgx₂+...+m_plgx_p

Параметры полученного уравнения можно рассчитать, используя функцию «линейн» и приняв в качестве исходных данных величины lgy, lgx₁, lgx₂,...,lgx_p. При этом коэффициенты регрессии m₁, m₂,...,m_p рассчитываются непосредственно. Свободный же член b непосредственно не рассчитывается, а рассчитывается lgb. Чтобы определить (b) достаточно использовать процедуру потенцирования, т.е.  формулу b=10^lgb.

В таблице 2 приведены величины параметров и наиболее важных, с нашей точки зрения, статистических характеристик однофакторных моделей линейного и степенного видов, выражающих зависимость ВРП (y_t) от инвестиций, численности занятых и стоимости основных фондов (x1_t, x2_t, x3_t), построенных нами по данным Ставропольского края за 2002-2010гг.  

Таблица 2 Параметры и статистические характеристики для однофакторных моделей линейного и степенного вида, построенных по данным Ставропольского края за 2002-2010 гг.

	линейная			степенная
	yt от  x1t	yt от  x2t	yt от  x3t	yt от  x1t	yt от  x2t	yt от  x3t
	По данным за 2002-2009 гг.
b	29,4	-836,7	-56,7	665,5	4,57Е+12	84,3
m1	2,920			0,1183
m2		0,876			6,747
m3			0,454			1,4007
sey	14,5	25,3	6,4	0,0448	0,0414	0,0228
r2	0,9622	0,8854	0,9926	0,5225	0,9226	0,9886
F	152,6	46,4	809,3	6,564	154,3	520,8
A	9,5	16,5	4,2	2,1	1,9	1,1
	По данным за 2002-2010 гг.
b	32,2352	-925,1	-43,5	8,07	3,8E-20	0,043
m1	2,8304			0,7897
m2		0,9578			7,0687
m3			0,4213			1,3262
sey	13,9	28,2	10,0	0,0415	0,0454	0,0285
r2	0,9713	0,8819	0,9853	0,9659	0,9591	0,9839
F	237,3	52,3	468,4	198,6	164,3	428,0
A	8,3	16,9	6,0	1,9	2,1	1,3

По данным таблицы 2 можно математически записать однофакторные модели, выражающие зависимость ВРП (y_t) от каждого из ресурсов (x1_t, x2_t, x3_t) и дать оценку параметрам этих моделей (b₁m₁, m₂, m₃) и определить степень приемлемости каждого из моделей по величинам статистических характеристик. Так, модели степенного вида можно записать следующим образом:

 y_t = 8,1x1_t^0,7897;  y_t = 3,8E20x2_t^7,0687;  y_t = 0,043x3_t^1,3262.

 В соответствии с значениями параметров m₁, m₂, m₃ этих моделей увеличение каждого из них на 1% сопровождалось в исследуемом периоде ростом ВРП на 0,7897, 7,0687 и 1,3262 процентов соответственно.

Статистические характеристики, важнейшим из которых являются средняя ошибка аппроксимации (А) показывают приемлемость полученных моделей с точки зрения их практической реализуемости. Так, если величина средней ошибки аппроксимации меньше 10%, то модели, описывающие зависимости, считаются «хорошими» [4]. К числу «хороших» относятся пять однофакторных моделей из шести построенных нами.

Многофакторные модели являются более ценными, поскольку на их основе можно получить ряд характеристик, который не может быть получен для однофакторных моделей: изокванты, предельные нормы взаимозаменяемости показателей-факторов, изоклинали и др. [4].

В таблице 3 приведены параметры и статистические характеристики для построенных нами двухфакторных моделей, выражающих зависимость ВРП от: а) инвестиций и численности занятых в экономике; б) численности занятых в экономике и стоимости основных фондов.

Построенные двухфакторные модели математически могут быть написаны следующим образом:

 линейного вида:

 y_t = -142,1+2,381x1_t+0,172x2_t;     y_t = -204,0+0,169x2_t+0,3565x3_t;

степенного вида:

y_t = 7,315Е-09 x1_t^0,450x2_t^3,138;       y_t = 1,420Е-08 x2_t^2,511x3_t^0,880.

Одной их важных преимуществ многофакторных моделей линейного вида, состоит в том, что с их помощью можно рассчитать численные значения предельных норм взаимозаменяемости.

 

Таблица 3 Параметры и статистические характеристики для двухфакторных моделей линейного и степенного вида, построенных по данным Ставропольского края за 2002-2010гг.                

	Линейн		Степенной
	уt от х1t,х2t	уt от х2t,х3t	уt от х1t,х2t	уt от х2t,х3t
b	-142,083	-204,041	7,315E-09	1,420E-08
m1	2,3810		0,4501
m2	0,1717	0,1692	3,1380	2,5113
m3		0,3565		0,8798
seb	181,0928	104,2129	5,6019	2,1772
se1	0,5014	0,1094	0,2164	0,8423
se2	0,1781	0,0455	1,9437	0,1560
se3
sey	13,9797	9,1053	0,0374	0,0195
r2	0,9752	0,9895	0,9763	0,9935
df	6	6	6	6
F	117,9	282,0	123,4	459,6
SSreg	1172,6	497,4	0,0084	0,0023
Ssresid	46090,7	46765,8	0,3452	0,3513
А	8,38	5,46	1,72	0,90

 

Предельные нормы взаимозаменяемости показывают,  сколько единиц одного фактора требуется, чтобы заменить одну единицу другого фактора (таблица 5).

Таблица 5 Предельные нормы взаимозаменяемости факторов х1_t, с  х2_t,  и х2_t, с х3_t в двухфакторных моделях для зависимости ВРП (y_t)

	х1t	х2t	х3t
х1t	1	0,072
х2t	13,9	1	2,1
х3t		0,475	1

Особого внимания заслуживают двухфакторные модели, в которых в качестве y_t выступает объем продукции ( нашем случае - ВРП), а в качестве показателей-факторов - стоимость основных фондов и численность занятых. Такие модели известны как производственные функции Кобба-Дугласа. Отличительная особенность таких функций состоит втом, что на их основе можно соотнести вклад в рост продукции каждого из двух факторов. В частности, в нашем случае увеличение на 1% стоимости основных фондов и численности занятых в экономике приводило в Ставропольском крае к росту ВРП на 3,4% (2,5+0,9), т.е. вклад от увеличения стоимости основных фондов на 1% превышает почти в 3 раза вклад от увеличения численности занятых. При этом, если суммарный рост результативного показателя больше единицы, то принято говорить об эффекте масштаба.

 

Литература

1. Адамадзиев К.Р., Адамадзиева А. К. Связи, зависимости и динамические тенденции в экономике регионов: оценка методами математического и компьютерного моделирования. Открытое образование,2011, №2. с.297-301
2. Адамадзиева А. К. Связи и зависимости в экономике, их  эконометрическая оценка (на примере зависимости ВРП от инвестиций для 28 регионов России). Математическая экономика и экономическая информатика. Ростовский государственный экономический университет (РИНХ). -Ростов-н/Д.,2011 -616с., с.389-400
3. Лавренов С.М. Excel: Сборник примеров и задач. - М.: Финансы и статистика, 2008. - 336 с.
4. Россия в цифрах, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008,2009, 2010, 2011: Крат. Стат. Сб. / Росстат. - М., 2004. -431с., 2005. -477с., 2006. 485с., 2007. -494с., 2008. -510с., 2009. -526с., 2010. -558с., 2011. -581с.
5. Эконометрика: Учебник. Под ред. И.И.Елисеевой 2-e изд., перераб. и доп.-М.: Финансы и статистика, 2005. -576 с.

Код для цитирования: Скопировать