IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

Для одного и тоже дифференциального уравнения метод решения может существенно зависеть от вида граничных условий. Этого можно избежать, если исходную задачу свести к интегральному уравнению, которое будет эквивалентно дифференциальному уравнению вместе с соответствующими краевыми условиями. Нередко  самые разнообразные краевые задачи сводятся к одному и тому же интегральному уравнению.

Мы остановимся на рассмотрении одного типа интегральных уравнений  - уравнений Вольтерра первого, второго рода:  и , где  - искомая функция.

Одним из методов решения данных интегральных уравнений - это применение преобразования Лапласа: .

Сущность операционного исчисления состоит в том, что изучается не сама функция  (оригинал), а ее видоизменение  (изображение).

Рассмотрим применение данного метода к решению следующего интегрального уравнения .

Пусть искомая функция является оригиналом , которая имеет изображение.  Тогда данное уравнение можно записать в виде,

где  - свертка оригиналов.

Применив к уравнению преобразование Лапласа, учитывая теорему о свертки , получаем  

Из полученного уравнения  находим изображение искомой функции (используем метод неопределенных коэффициентов для разложения дроби на сумму простейших дробей):

Применяя таблицу и свойство линейности преобразования Лапласа,  для изображения  находим выражение искомой функции.

Операционное исчисление - один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев посредством простых правил решать сложные математические задачи. Поэтому операционные методы используются там, где классические методы не эффективны. Они применяются в физике, электротехнике, радиотехнике, механике, теории автоматического регулирования и т.д.

Список используемой литературы:

1. Лунгу К.Н., Норин В. П., Письменный Д. Т., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике // Под редакцией С.Н. Федина - М.:Айрис-пресс, 2004. - 592 с.
2. Матвеева Т.А. Некоторые методы обращения преобразования Лапласа и их приложения: автореферат дис ...канд. физ-мат. наук - СПб, 2003 -16 с.
3. Матвеева Т.А. Специальные главы математики: операционное исчисление. Учебное пособие/Т.А.Матвеева, В.Б. Светличная, Д.К. Агишева, С.А. Зотова; ВПИ (филиал) ВолгГТУ. - Волгоград, 2010. - 56 с.

Код для цитирования: Скопировать