IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

 

 

Вычисления числа π претерпели удивительную эволюцию - от наивных оценок древних, тысячелетия потративших для того, чтобы определить первые два знака после запятой этого числа, до миллиардов знаков π, полученных в наши дни.

Попытку осмыслить понятие длины окружности одним из первых предпринял философ Антифон, живший в Греции в V в. до н. э. В «Истории геометрии» Евдема (IV в. до н. э.) так описывается его способ определения длины окружности:

«Начертив круг, он вписал в него такой правильный многоугольник, который мы умеем вписать. Пусть это будет квадрат. Потом он разделил каждую сторону квадрата пополам и через точки деления провёл прямые, перпендикулярные к сторонам до пересечения с окружностью. Очевидно, они делят сегменты круга на две равные части. Затем  он соединил полученные точки с концами сторон квадрата так, что получились четыре треугольника, и вся образовавшаяся фигура стала правильным восьмиугольником...». Продолжая этот процесс дальше, Антифон получает 16-угольник, 32-угольник, 64-угольники т. д. «Поступает он так, пока не исчерпает весь круг,-пишет Евдем.-И Антифон заключает, что таким образом будет вписан многоугольник, периметр которого можно рассматривать как длину окружности».

Подход Антифона к определению длины окружности вызвал жаркие споры среди учёных Древней Греции. Симпликий (VI в. н. э.) в комментариях к «Истории геометрии» Евдема писал по этому поводу, что «мы никогда не достигнем окружности круга, даже если бы деление продолжалось до бесконечности».

Созданный древнегреческими математиками метод вычисления длины окружности посредством вписанных и описанных многоугольников оставался основным на протяжении почти двух тысяч лет.

Клавдий Птолемей (ок. 100-178) для вписанного правильного 720-угольника получает .  Китайский математик Лю Хуэй (III-IV вв. н. э.) для вписанного 3072-угольника находит π 3,14159. Самаркандский математик Гияс ад-Дин Джемшид ал-Каши (XIV-XV вв.) в «Трактате об окружности» (1424) ставит задачу с интригующим условием: выразить окружность через диаметр с такой точностью, чтобы погрешность в длине окружности, диаметр которой равен 600000 диаметров Земли, не превосходила толщины волоса» (примерно 0,5 мм). Для этой цели он определяет число π с точностью до 16 верных десятичных знаков: π  3,14159265358979325, попутно указывая, что «всей истины этого) не знает никто, кроме Аллаха».  Ал-Каши последовательно рассчитывает вписанные многоугольники, начиная с треугольника и дойдя до 805306368-угольника). Полученная ал-Каши точность в измерении окружности была достигнута и превзойдена европейскими математиками лишь в конце XVI в. В 1597 году голландский математик Адриан ван Роомен (1561-1615) публикует свои результаты по вычислению17 десятичных знаков числа π, для чего применяет 1073741824-угольник***). На скрупулёзные вычисления Адриан ван Роомен потратил несколько лет.

Однако рекорд фантастического прилежания и неимоверной точности побил профессор математических и военных наук Лейденского университета Лудольф ван Цейлен (1539-1610). На протяжении десяти лет, удваивая по методу Архимеда число сторон вписанных и описанных многоугольников и дойдя до 32512254720-угольника, он вычислил 20 точных десятичных знаков числа π. Своё сочинение с изложением результатов в 1596 году профессор завершил патетической фразой: «У кого есть охота, пусть пойдёт дальше». И как бы в доказательство того, что «охота пуще неволи» и лучшего охотника, чем он сам, во всём мире не сыскать, Лудольф ван Цейлен опять ринулся вычислять очередные точные знаки числа π, впоследствии доведя их количество до 35. Эти знаки он завещал выбить на своём надгробном камне. В память о неординарном вычислителе современники ещё долгое время называли π числом Лудольфа.

Отдавая должное мастерству и поистине самоотверженному труду математиков этого периода, посвящавших годы своей жизни, или даже всю жизнь, вычислению точных знаков числа π, всё же нужно признать, что их результаты носили скорее спортивный, чем научный характер. Если, например, рассчитать длину экватора сферы, вмещающей известную нам часть Вселенной (радиус сферы 5_1026 м), используя при этом найденное Лудольфом значение π, то погрешность не превысит одной миллионной доли миллиметра!

Метод вписанных и описанных многоугольников достиг своего наивысшего развития в работах голландских математиков Виллеброрда Снеллия (1580-1626) и Христиана Гюйгенса (1629-1695). Тонкие геометрические рассуждения позволили им получить более точные результаты при меньшем числе сторон используемых многоугольников. Результат Архимеда - три точных знака π - Снеллий получает уже для вписанного и описанного шестиугольников, а 96-угольники помогают ему рассчитать 7 точных знаков π. Христиан Гюйгенс в сочинении «О найденной величине круга» (1654) доказывает ряд теорем о соотношениях между длинами хорд и стягиваемых ими дуг, которые позволили ему вычислить 10 точных знаков числа π уже для 60-угольника.

С конца семнадцатого столетия бурная река человеческой пытливости вышла из берегов элементарной математики - началась эра математического анализа. Бесконечные последовательности и ряды стали привычными объектами исследований математиков. Возникло дифференциальное и интегральное исчисление, базирующееся на строго определённом понятии предела. Новые инструменты исследований позволили взглянуть на число π с совершенно неожиданной стороны.

Одним из первых результатов в этом направлении стал ряд

                     (1)

названный в честь открывшего его в 1673 году немецкого математика Готфрида Вильгельма Лейбница (1646-1716) рядом Лейбница. Чем больше слагаемых взять в правой части этого равенства, тем меньше их алгебраическая сумма будет отличаться от числа .  Это даёт принципиальную возможность вычислять π со сколь угодно большой точностью.

Ряд Лейбница является частным случаем более общего ряда, открытого английским математиком Джеймсом Грегори (1638-1675) в 1670 году:

      (2)

(здесь ).

Грегори не заметил, что этот ряд имеет отношение к числу π. Ряд Лейбница (1) получается из ряда Грегори (2) при x = 1.

Если же в формуле (2) положить , то получится ряд

          (3)

с гораздо более быстрой сходимостью. Именно этим разложением (3) воспользовался Авраам Шарп (1651-1742) для вычисления в 1699 году рекордного количества точных десятичных знаков числа π-71 знак.

Де Ланьи (1660-1734), используя метод Шарпа, в 1719 году вычислил 127 точных десятичных знаков числа π. Вскоре Леонард Эйлер другим способом проверил результат Ланьи и обнаружил ошибку в 113-м знаке. В 1794 году Вега указал значение π с точностью до 140 десятичных знаков, из которых точными оказались 136.

В 1841 году Уильям Резерфорд сообщает 208 десятичных знаков. Его результат перепроверил талантливый гамбургский вычислитель Иоганн Мартин Захария Дазе (1824-1861). Он показал, что Резерфорд ошибся в 153-м знаке. В 1844 году Дазе довёл точность до 205 знаков, из которых 200 были вычислены верно. В 1847 году Томас Клаузен продвинулся до 250 знаков, из которых 248 были точны.

В 1853 году Резерфорд увеличил своё достижение до 440 десятичных знаков. Рекорд того времени установил Уильям Шенкс-530 знаков (из них 527 верных). В последующем Шенкс упорно работал над вычислениями новых знаков, доведя их количество до 707.

Впечатляющие результаты УильямаШенкса возглавляли таблицу рекордов вплоть до середины XX века. Вычисленные Шенксом 707 десятичных знаков числа π появились на страницах научно-популярных изданий. Архитекторы стали украшать ими свои сооружения. Именно эти 707 цифр были размещены в виде гипсового фриза под потолком «цифирной палаты» в Доме занимательной науки на Фонтанке (в Ленинграде), организованном по инициативе Якова Исидоровича Перельмана в 1934 году. Этими же 707цифрамиУильям Голени в 1937 году украсил купол циклической галереи парижского Дворца Открытий.

Двадцатый век вошёл в историю человеческой цивилизации не только своими разрушительными войнами. Он ознаменовался значительными достижениями человеческого духа, в частности, компьютерной революцией. Уже первые проверки на появившихся в 1945 году электронно-вычислительных машинах показали, что Уильям

Шенкс в своих расчётах ошибся, начиная с 528 знака, так что весь последующий «хвост» из 180 знаков оказался неверным. Это дало повод английскому математику Гарольду Коксетеру с горечью констатировать: «Нельзя без грусти думать о том, что вычисления, на которые бедный Шенкс потратил значительную часть своей жизни,

современная ЭВМ может воспроизвести (без его роковой ошибки) всего за несколько секунд просто для „разминки"».

С появлением компьютеров темпы погони за точными десятичными знаками числа π резко ускорились.

В июне 1949 года Джон фон Нейман (1903-1957) и его сотрудники вычислили 2037 знаков на одной из первых вычислительных машин ENIAC. Рубеж в 10000 знаков был достигнут в 1958 году Ф.Женюи с помощью компьютера IBM704. Сто тысяч знаков π вычислили в 1961 году Дэниэл Шенкс (однофамилец Уильяма Шенкса) и Джон Ренч с помощью компьютера IBM 7090. В 1973 году Жан Гийу и М. Буйе преодолели отметку в 1000000 знаков, что заняло меньше одного дня работы компьютера CDC-7600.

Удивительный «марафон», начатый с вычисления Архимедом трёх точных знаков числа π, сегодня так же далёк от завершения, как и две тысячи лет назад.

По алгоритму Джонатана и Питера Борвейнов в январе 1986 года Дэвид Х. Бейли получил 29360000 десятичных знаков π на суперкомпьютере Cray-2, а в 1987 году Я. Канада и его сотрудники -134217000 знаков на суперкомпьютере NEC SX-2. Результат Дэвида и Грегори Чудновски из Колумбийского университета в Нью-Йорке,

вычисливших в 1989 году 1011196691 знак числа π, попал даже в книгу рекордов Гиннесса. Для своих расчётов они использовали суперкомпьютер Cray-2 и сеть компьютеров IBM-3090. К октябрю 1995 года сотрудниками Токийского университета Ясумасой Канадой и Дайсуке Такахаши было вычислено свыше 6 миллиардов цифр.

Они же в 1999 году на компьютере HITACHI SR 8000 вычислили 206158430000 цифр числа π.

В конце прошлого столетия посетители сайта встречали объявление, приглашающее их принять участие в глобальном проекте «Pi-Hex». Любой житель Земли, подключив свой компьютер к сети Интернет, мог стать участником коллективных вычислений отдельных цифр двоичной записи числа π. Координатором этого глобального проекта выступил студент университета Симона Фрезера (США) Колин Персивал. В проекте приняло участие около 2000 добровольцев. Вычисления на каждом отдельном компьютере в глобальной сети проводились в так называемом «фоновом» режиме, когда участвующий в совместных работах компьютер не занимался решением каких-то своих собственных задач. Объединённая общим проектом команда нашей планеты в 1998 и 1999 годах вычислила цифры, стоящие на 5000000000000 и на 40000000000000 местах двоичной дроби числа π. Ими оказались нули.

К настоящему времени доказано, что число π иррационально и трансцендентно. Свойство иррациональности числа π, т. е. непредставимость его в виде отношения двух целых чисел, доказали Иоганн Ламберт (1728-1777) и Адриен Лежандр (1752-1833) в конце XVIII века. Свойство трансцендентности означает, что число π не является корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Это свойство было доказано немецким математиком Фердинандом Линдеманом (1852-1939) в 1882 году. В настоящее время ведутся исследования по уточнению «тонкой структуры» числа π.

Код для цитирования: Скопировать