IV Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2012

Методика изложения теории объёмов тел вращения зависит от подхода к изложению объемов многогранников. Основной методической проблемой при этом  является вывод формулы для тетраэдра (теорема Дена), в нем необходимо явно или неявно использовать неэлементарные методы, связанные с операцией интегрирования.

Существует 4 подхода к изложению теории объемов. 1) «Метод исчерпывания» (Погорелов). Объёмы тел вращения определяются как пределы последовательностей объёмов вписанных и описанных многогранников, при этом сложность составляет вычисление объёма шара - приходится вводить формулу для объёма тела вращения через определённый интеграл. 2) Вычисление объёмов тел с помощью определённого интеграла (Атанасян, Александров). 3) С помощью принципа Кавальери, который принимается за дополнительную аксиому объёмов (к аксиомам  нормируемости, неотрицательности, инвариантности, аддитивности), (Виленкин). 4) По формуле Симпсона (Киселев).

Нами разрабатывается методика изучения темы в условиях профильной школы. В частности, на базовом уровне решение задач, в том числе  из открытого банка заданий ЕГЭ (на нахождение объемов частей цилиндра и конуса - 2012 г.) на основе использования  аксиом меры. На профильном уровне возможно рассмотрение следующих вопросов.

1. Применение принципа Кавальери для нахождения  объема шара и его частей, объема «арбузной дольки», шарового кольца (в шаре просверлен цилиндрический канал, ось которого - диаметр шара), «копыта» (через центр основания  прямого кругового цилиндра под  острым углом  к плоскости основания  проходит плоскость).
2. Применение теоремы Гульдена - Паппа для нахождения объемов тел, возникающих при вращении треугольника, трапеции, полукруга, круга, четверти круга, сегмента круга (Объем тела вращения фигуры, лежащей в плоскости целиком по одну сторону от оси  вращения,  равен произведению площади фигуры и длины окружности, которую описывает  центр масс фигуры при вращении:  ).
3. Эквивалентные замены при нахождении объема тела вращения  (фигуры вращения, оси). 

Код для цитирования: Скопировать