III Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2011

Рассмотрим движение груза  массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити бесконечной длины, намотанной на неподвижный цилиндр радиуса . В положении устойчивого равновесия длина свободной части нити равна  (рис. 1), размерами груза пренебрегаем.

 

Рис. 1. Расчетная схема

В произвольный момент времени положение материальной точки определим радиус-вектором , в качестве обобщенной координаты примем ее угол отклонения от положения устойчивого равновесия .Кроме силы тяжести  на точку действует идеальная связь - нерастяжимая нить (рис.1), действие которой, заменим ее реакцией - силой натяжения .

Дифференциального уравнения движения

                                                 (1)

здесь  - кинетическая энергия, - потенциальная энергия.

                                   (2)

Здесь  - скорость материальной точки,

,

где , тогда

.                                     (3)

Подставляя выражения (2), (3) в уравнение Лагранжа (1) получим дифференциальное уравнение движения груза

              (4)

Начальные условия для уравнения (4) имеют вид

                    (5)

Движение материальной точки будет описываться дифференциальным уравнением (4) с начальными условиями (5) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т. е. выполняется условие  или . Кроме этого, должно выполняться дополнительное условие

 или ,                                            (6)

которое обеспечивает отсутствие соударения груза с поверхностью неподвижного цилиндра.

С учетом (6) уравнение (4) можно записать в виде

                                         (7)

где  - приведенный радиус неподвижного цилиндра,

.

Для нахождения реакции нити  запишем основное уравнение динамики несвободной материальной точки в проекциях на нормаль к траектории, которая совпадает с линией :

,

Тогда значение силы  будет равно

                               (8)

где .- приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.

Для анализа дифференциального уравнения движения (7) запишем его первый интеграл, выражающий закон сохранения механической энергии . С учетом соотношений (2) и (3), получим

 

Данное выражение можно привести к виду

                                                 (9)

где

.

Выражение для силы натяжения нити (8) с учетом (9) запишется в виде

                       (10)

где

 

Анализ задачи показывает, что возможны два вида движения точки, описываемой дифференциальным уравнением (7): колебательное, вблизи положения устойчивого равновесия и движение по раскручивающейся спирали.

Положение устойчивого равновесия определяется из условия минимума потенциальной энергии точки

 

Согласно выражению (3) получим

 

Так как , а угол  изменяется внутри интервала , то положения устойчивого равновесия соответствует значениям  равным

 

График изменения потенциальной энергии материальной точки представлен на рис.2. При расчетах принято, что , т.е.

Рассмотрим теперь предельные состояния движения груза, при которых осуществляется переход от одного вида движения к другому. Преобразуем выражение (9) к виду:

                          (11)

где

. , .

Анализ выражения позволяет сделать вывод о том, что параметр  характеризует два вида движения точки: колебательное и движение по раскручивающейся спирали.

При значениях  его можно представить в виде  и выражение (11) запишется в виде

 

откуда следует, что  и , т. е. движение носит колебательный характер, максимальное отклонение которого  определится из уравнения:

 

При значениях  величина  в любой момент времени и груз совершает движение по раскручивающейся спирали.

Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение  (рис. 2), которое можно записать в виде:

 или .

При значениях  груз совершает движение по раскручивающейся спирали, а при значениях  - колебательное движение.Следовательно, при колебательном движении груза, его максимальное отклонение от положения устойчивого равновесия не может превышать величину

 

 

Рис. 2. Области на фазовой плоскости:  - колебательного движения;

 - движение по раскручивающейся спирали

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум. //Учебное пособие СПБ, БХВ - Петербург, 2005, 752 с.

2. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: ч.1, 2. - М., Наука, 1983.

Код для цитирования: Скопировать