III Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2011

На цилиндрическую поверхность радиуса положен призматический брусок с прямоугольным поперечным сечением высоты . Радиус инерции бруска вокруг оси, проходящей через его центр масс и параллельный оси бруска равен _.

Рис.1. Призматический брусок на цилиндрической поверхности

Взяв за параметр, определяющий положение бруска угол  его наклона к горизонту, выражаем через него кинетическую энергию  и потенциальную энергию .По теореме Кёнига [1]:

.(1)

Здесь  - масса бруска,а  - его момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс сечения.

Чтобы вычислить скорость центра масс бруска , возьмём начало координат в точке  касания бруска и цилиндра при равновесии. Так как при колебаниях брус катится без скольжения, то . Для нахождения координаты центра масс (точки C), проектируем на координатные оси векторную сумму

,

тогда

,   .               (2)

Дифференцируя формулы (2), найдём проекции вектора скорости  на оси координат [2]:

Таким образом, формула кинетической энергии (1) принимает вид:

.

Считая колебания малыми, можно предположить, что , тогда:

 ,                                                      (3)

Потенциальная энергия

(4)

Определим постояннуюC при условии, что , если ,

  или  .

Введём константу C в формулу (4) и получим:

.

Полагая , получим:

.                                                           (5)

Вводя формулы (3) и(5) в уравнение Лагранжа, получим:

  или  .                         (6)

Уравнение (6) представляет собой дифференциальное уравнение малых колебаний, циклическая частота которых и период колебаний определяются формулами:

,  .

Т.о. для малых колебаний призматического бруска на круговом цилиндре при отсутствии проскальзывания получено разрешающее уравнение колебательного процесса, определена циклическая частота и период колебаний.