III Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2011

Рассмотрим один из вариантов системы магнитно-импульсной штамповки (СМИШ) с одновитковым индуктором [1]. При замыкании конденсаторной батареи на индуктор на поверхности разреза индуктора подается импульсное напряжение, равномерно распределенное по поверхностям разреза индуктора и с известным законом изменения по времени. Протекающий по индуктору объемный ток индуцирует в заготовке переменное электромагнитное поле, приводящее к возникновению в объеме системы пондеромоторных сил. Их радиальная составляющая, возникающая в заготовке, приводит к ее обжатию.

При декомпозиции СМИШ можно выделить две подсистемы:

- электрическая подсистема, определяющая пондеромоторные силы;

- деформационная подсистема, определяющая деформации заготовки в процессе действия импульса и после его окончания.

Связь между подсистемами обеспечивается пондеромоторными силами и ускоренными движениями заготовки. В первом приближении вторая связь может считаться слабой и вследствие этого может быть оборвана. Это дает возможность вместо связной задачи электромагнитного поля и деформирования определить последовательность двух задач:

- определение пондеромоторных сил в СМИШ;

- определение деформаций заготовки при действии известных пондеромоторных сил на заготовку.

Рассмотрим математическую формулировку первой задачи. Примем, что пространствозадачи не содержит диэлектриков, тогда в области задачи, где будут существовать электрические токи, диэлектрическая постоянная  будет равна 1, и вектор напряженности электрического поля  будет совпадать с вектором электрической индукции .

Будем считать, что пространство задачи не содержит ферромагнетиков. Это значит, что магнитная проницаемость  постоянна и близка к 1 (что характерно для обычных диа- и пара- магнитных тел), и, следовательно, вектор магнитной индукцииВсовпадаетпонаправлению с вектором напряженности магнитного поляH. Таким образом, эффектами, обусловленными появлением вектора намагничения среды, будем пренебрегать в силу малости молекулярных токов по сравнению с токами проводимости.

Также примем, что в рассматриваемой области отсутствуют сторонние электрические заряды, т.е. их плотность .

Как известно [1], объемная плотность пондеромоторных сил, в рамкахсделанныхпредположений, определяетсяформулой:

 

,

где  - векторпондеромоторных сил, - вектор объемного тока,  - напряженность магнитного поля.

Вектор плотности тока находим, используя закон Ома в дифференциальной форме:

.

Здесь - удельная электропроводность,  - напряженность электрического поля. Онаопределяется тремя составляющими:

.

Здесь  - так называемый скалярный потенциал,  - векторный потенциал, - скорость сплошной среды. Последнее слагаемое выражает слабую связь между электрической и деформационной подсистемами и в первом приближении может быть опущено.

Потенциалы  и вводятся таким образом, чтобы удовлетворить уравнениям Максвелла:

 

Напряженность магнитного поля определяется через векторный потенциал:

.

Отметим, что в низкочастотной постановке «инерционными» слагаемыми в (4) следует пренебречь. Тогда состояние электрической подсистемы описывается уравнениями относительно скалярного и векторного потенциалов:

                                              (6)

Граничные условия для скалярного потенциала следующие:

на поверхностях разреза индуктора:

                         (7)

на поверхностях z=0:

,                                                                    (8)

здесь  - высота СМИШ, - наружный и внутренний радиусы индуктора,  - то же для заготовки.

Очевидно, что формулировка уравнений относительно скалярного и векторного потенциалов также может быть подвергнута декомпозиции, так как первое уравнение относительно скалярного потенциала может быть решено отдельно как однородное гармоническое уравнение с неоднородными граничными условиями. Второе уравнение системы, представляющее уравнения теплопроводности, не имеет условий на границах, но будет неоднородным:

 

с однородными начальными условиями.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Талалаев А.К., Кухарь В.Д., Орлов А.А. и др.Математическое моделирование электромеханических процессов в индукторе для магнитно-импульсной обработки металлов // Тула: Изд. ТулГУ, 2004. - 118с.

Код для цитирования: Скопировать