III Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2011

Девочка раскачивает сама себя на качелях (рис. 1). Внешними силами данной системы являются сила тяжести и натяжения веревок. Каким образом действия указанных сил приводят к увеличению амплитуды колебаний, и каким образом увеличивается механическая энергия системы? Механической моделью данной системы является математический маятник (рис. 2).Маятник может (теоретически) совершать и незатухающие колебания, но увеличивать амплитуду колебаний маятник сам по себе не может. Человек, находящийся на качелях, может прилагать определенные усилия и взаимодействовать с качелями, но все это будут внутренние силы, которые не могут изменить движение центра масс системы[1].

 

Рис.1. Девочка на качелях

 

Но, тем не менее, человек на качелях может раскачать сам себя и обеспечить амплитуду колебаний до 360⁰, особенно если использовать не веревку, а жесткий стержень. В основе этого лежит физическое явление, называемое параметрическим резонансом. Меняя свое положение относительно точки подвеса, человек меняет длину маятника. Если менять длину маятника по периодическому закону, то при определенном соотношении частот возникает параметрический резонанс и амплитуда колебаний увеличивается.Изобразим расчетную схему (рис.2).

 

Рис.2. Расчётная схема

 

Дифференциальное уравнение движения

.

Пусть длина маятника меняется по закону

.

Тогда уравнение принимает вид

.

Это уравнение нелинейное и зависимость угла  от времени в виде графика (рис.3).

 

 

 

Рис. 3. Зависимость изменения угла  от времени

 

Из анализа графика следует, что амплитуда колебаний увеличивается с течением времени, причем система близка к резонансу. Изменим частоту колебаний длины маятника, увеличив ее в пять раз. Результаты представлены на рис.5.Как видно из графика, нет резонанса и нет никакого увеличения амплитуды.

 

Рис.4. Расчётная схема

 

Очевидно, что при увеличении амплитуды увеличивается и максимальная кинетическая энергия системы за счет работы внутренних сил, т.е. качели раскачиваются за счет внутренней энергии того человека, который качается на качелях.

Определим натяжения веревок и проанализируем полученные результаты (рис.2). Считая груз, подвешенный на нити, материальной точкой, составим дифференциальное уравнение движения в проекции на нормаль к траектории:

,

откуда

 

Пусть амплитуда колебаний равна 90⁰. В этом случае в момент максимального отклонения маятника от положения равновесия второе слагаемое равно нулю. Применительно к качелям это означает состояние невесомости для качающегося человека. Наоборот, в момент прохождения качелями положения равновесия

 

В этом случае реакция опоры больше силы тяжести и на человека действует перегрузка. Таким образом, при качании на качелях невесомость и перегрузки поочередно сменяют друг друга.

И то, и другое явление вредно для здоровья. Трудно себе представить, что можно качаться на качелях несколько часов подряд. А вот на кораблях люди ходят по морю по нескольку месяцев. Качка корабля отрицательно влияет на человека, вызывая морскую болезнь. По воздействию на человека корабль - это те же качели, только эти «качели» нельзя остановить в любой момент.

Перегрузки также являются злейшим врагом летчиков и космонавтов.Рассмотрим ещё один случай перегрузки - пикирование сверхзвукового самолёта (рис.5). Скорость самолета 400 м/с и радиус кривизны его траектории при выходе и пике составляет 2000 м. Определить перегрузку, которой в этот момент подвергается пилот самолета.

 

 

Рис.5. Сверхзвуковой самолёт

 

Ускорение пилота

.

На пилота действуют сила тяжести  и реакция опоры . Заметим, что никакой центробежной силы на пилота не действует.Равнодействующая указанных сил сообщает ускорение пилоту. Дифференциальное уравнение движения в проекции на нормаль к траектории

 

откуда

 

Перегрузка составит

.

Такая перегрузка является опасной. Большинство проблем ракетостроения направлено именно на то, чтобы уменьшить ускорение при старте и в то же время получить космическую скорость.

Определим время действия перегрузки на пилота. Будем считать, что восьмикратная перегрузка является опасной.

Уравнение движения в проекции на нормаль к траектории:

 

При восьмикратной перегрузке

 

После вычислений найдем угол . Таким образом, при перегрузке не менее 8 самолет описывает дугу 200⁰, что соответствует дуге:

м.

При скорости 400 м/с это занимает с.Без специальной, предварительной подготовки, такую перегрузку выдержать трудно.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Тарасов В.К. Механика.//Учебн. пособие для вузов.- Тула, Изд-во ТулГУ, 2007.

Код для цитирования: Скопировать