III Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2011

Рассматриваются крутильные колебания двух стержней, подвешенных на вертикальных нитях в горизонтальной плоскости. При закручивании стержней они поднимаются, но скорость поднятия будет величиной второго порядка малости, поэтому при определении кинетической энергии были введены некоторые упрощения. Задача решена с помощью уравнений Лагранжа. Получены формулы для определения частот главных колебаний [1].

Горизонтальный однородный стержень ABмассой «M», подвешен на двух вертикальных нитях длины l,второй стержень CDодинаковой массы «M» подвешен к ABна двух равных нитях длиной  (см. рис.).

Положение стержня относительно оси  определяется углом , а положение стержня CDотносительно  углом , тогда положение стержня  относительно оси xопределяется суммой .

При закручивании стержней оба они поднимаются, но поскольку перемещения центров масс стержней вдоль оси  Zнесоизмеримо меньше их горизонтальных перемещений, то квадраты скоростей, входящие в формулу кинетической энергии, будут величинами второго порядка малости, поэтому кинетическая энергия системы определяется формулой

,                           (1)

здесь - радиус инерции стержня относительно оси , проходящей через центр масс стержней (см. рис.).

Потенциальная энергия системы будет иметь вид:

(2)

здесь  и  - координаты центров тяжести стержней, а константа Cопределяется из начальных условий.

При  в положении равновесия: , , , тогда из формулы (2)

 или

и формула (2) принимает вид:

.

Рис. Расчётная схема

Обозначая через  и  углы, составляемые нитями подвески стержней с осью , получим

; .

Разлагая  в ряд

получим формулу потенциальной энергии

.

Выразим углы  и  через  и , считая малые перемещения концов стержней за дуги окружностей

или                (3)

Уравнение Лагранжа для обобщённых координат  и  для формул (1) и (3) будут:

.                                                 (4)

Полагая

 и 

получаем уравнения:

.

Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

или

,

откуда и найдутся частоты  и  главных колебаний.

ЛИТЕРАТУРА

1. Розе Н.В. Аналитическая механика / Н.В. Розе. - Л.: 1938 -203 с.