III Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2011

Выясним, какие факторы влияют на быстроту стабилизации неустановившегося ламинарного потока вязкой жидкости в открытом коллекторе прямоугольного сечения без учета трения о боковые стенки (рис. 1)

а) б)

Рис. 1. Схема сливного коллектора прямоугольного сечения

В работе [1] решена одномерная задача по определению скорости и объемного расхода потока жидкости при ламинарном и нестационарном режиме движения. Формулы скорости  и объемного расхода  соответственно имеют вид:

,                         (1)

,                  (2)

где - координата по глубине потока;  - время;  - ускорение свободного падения; - уклон коллектора; - кинематическая вязкость жидкости;  - глубина потока;  - собственное число, определяемое по формуле; ;  - условная ширина коллектора.

Для удобства анализа формул (1) и (2) запишем их в безразмерном виде, для чего, разделив выражения (1) и (2) соответственно на максимальные значения скорости и расхода, получим:

                                        (3)

,            (4)

где - безразмерная координата, изменяющаяся в пределах ; - число Фруда (безразмерное время).

Заметим, что с математической точки зрения поток жидкости становится установившимся, когда вторые слагаемые в равенствах (3) и (4) обращаются в ноль. Это означает, что скорость и объемный расход достигли своих максимумов и далее от времени зависеть не будут. Очевидно, безразмерные величины  и  изменяются в пределах оси от 0 до 1.

По формулам (3) и (4) проведены вычисления и построены кривые изменения эпюры скоростей и расхода в зависимости от числа Фурье (рис.2)

Рис. 2. Изменение эпюры скоростей потока жидкости (а) и объемного расхода (б):

1) = 0.2;  2) = 0.4;  3) = 0.8; 4) = 2.

Анализ формул (3) и (4), а также построенных графиков позволяет сделать вывод, что на стабилизацию потока жидкости существенное влияние оказывают два фактора: вязкость жидкости и глубина потока. Чем больше глубина потока, тем медленнее наступает его стабилизация и наоборот. С уменьшением вязкости жидкости стабилизация потока наступает быстрее.

Из условия равенства нулю второго слагаемого соотношения (4) с требуемой степенью точности можно определить время стабилизации потока. Для определённости положим, что время определено с точностью донекоторой величины

,

где  любая из цифр 1,2,...,9, а - любое натуральное число. Так как ряд сходится быстро, то можно взять один член разложения, т. е. m=1. Тогда будем иметь:

,

здесь - время стабилизации потока.

Решая последнее уравнение относительно , получим:

(5)

Отсюда следует, что время перехода нестационарного движения в стационарное пропорционально квадрату глубины потока h и обратно пропорциональна её вязкости ν.

Из формулы (5) при ,  имеем относительную погрешность 1% и

                                                            (6)

Например, при см, см, получим:

Для более полного исследования нестационарного движения жидкости необходимо решать двухмерную задачу.

ЛИТЕРАТУРА

1. Маркелов С.С. и др. Неустановившееся безнапорное ламинарное движение вязкой жидкости в трубопроводе прямоугольного сечения. / С.С. Маркелов. И др.// Известия ВУЗов «Нефть и газ», № 12,1971. -с. 77 -80.