III Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2011

Рассмотрим движение груза  массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити длиной -  (рис. 1.а). Пренебрежем размерами груза и заменим его материальной точкой. Нить для материальной точки является связью, определяемой неравенством

 или ,                                                     (1)

где  - длина радиус вектора, задающего положение точки на полярной оси .

Рис. 1. Расчетная схема

 

Рассмотрим материальную точку в произвольный момент времени, предполагая наличие связи (1) (рис.1.б), действие которой, при составлении уравнений движения, заменим ее реакцией - силой натяжения нити . На точку также действует сила тяжести . Учитывая, что при наличии связи  и , дифференциальные уравнения в проекциях на оси полярной системы координат запишем в виде:

 

Данные уравнения можно преобразовать к виду

                                  (2)

где .- приведенная угловая скорость отклонения нити от вертикали, - сила натяжения, отнесенная к весу груза.

Начальные условия для системы (2) имеют вид

                    (3)

Движение материальной точки будет описываться дифференциальными уравнениями (2) с начальными условиями (3) до тех пор, пока связь, наложенная на данную точку, остается удерживающей, т.е. выполняется условие

или  т.е. (4)

Для решения первого уравнения системы (2) введем преобразование . Разделяя переменные, представим это уравнение в виде

.

Интегрируя с учетом начальных условий (3), получим

(5)

Интеграл энергии (5) примет вид:

(6)

где .

Выражение для силы натяжения нити с учетом (6) запишется в виде

(7)

Рассмотрим теперь предельные состояния при движении груза. Анализ выражения (6) позволяет сделать вывод о том, что параметр  характеризует два вида движения груза: колебательное и круговое.

При значениях  его можно представить в виде  и выражение (6) запишется в виде

 

откуда следует, что  и , т. е. движение носит колебательный характер, а параметр  характеризует амплитуду колебательного движения:

.

При значениях  величина  в любой момент времени, и груз совершает круговое движение.

Таким образом, предельным, разделяющим два движения груза, является уравнение  (рис. 2), которое можно записать в виде

 или

При значениях  груз может совершать круговое движение, а при значениях  - колебательное движение.

Область на фазовой плоскости, в которой связь становится неудерживающей , определяется кривыми  (рис. 2), и расположена внутри интервалов  и .

Следовательно, при колебательном движении груза, его амплитуда не может превышать величину . Значения начальных условий, обеспечивающих такое движения груза при наличии удерживающей связи, расположены внутри эллипса, задаваемого уравнением (область на рис. 2)

 или .

Для определения области начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза, рассмотрим выражение (7). Минимальное значение реакции нити достигается при значениях . Кривые , определяемые уравнением , ограничивают снизу область начальных условий, обеспечивающих круговое движение груза (области  рис. 2).

В качестве примера рассмотрим численные решения системы (2) со следующими начальными условиями (см. рис. 2):

1.  - обеспечивают колебательное движение (область );

2.  - связь становится неудерживающей (область );

3.  - обеспечивают круговое движение (область ).

Рис. 2. Области на фазовой плоскости

 

Рис. 3. Графики изменения угловых координат, при начальных условиях

1) , 2) ,  3) .

Рис.4. График изменения силы реакций связи при начальныхусловиях

1) , 2) , 3) .

Рис. 5. Траектории груза при начальных условиях

1) , 2) .

 

Как видно из рисунков 4 и 5.2, в некоторый момент времени связь исчезает, т.е. , и груз начинает двигаться под действием силы тяжести, как свободная материальная точка. В последующих движениях мгновенное возникновение связи приводит к изменению направления движения груза.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Бертяев В.Д. Теоретическая механика на базе Mathcad. Практикум. Учебное пособие //СПБ, БХВ - Петербург, 2005. - 752с.

2. Лойцянский Л.Г., Лурье А.И. Курс теоретической механики: ч. 1, 2. - М.: Наука, 1983.

Код для цитирования: Скопировать