II Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2010

Пусть F - алгебраически замкнутое поле нулевой характеристики,  - симметрическая группа на множестве символов  и - её групповая алгебра над полем .

Известно, что минимальные левые идеалы в групповой алгебре симметрической группы  имеют вид:

  - симметризатор Юнга на диаграмме Юнга d;

 (  вычисляется по формуле «крюков») - множество подстановок, являющихся нумерациями стандартных таблиц  на диаграмме Юнга d;

 - точка проективного пространства, полученного проективизацией линейной оболочки , то есть .

Зададим в  F-линейный базис  [3], где .

Ветвление идеала   есть  , где .

Данная работа является шагом в практическом решении задачи о ветвлении минимальных идеалов, теоретическая база и методологическая сторона которой ещё не разработана. В результате был разработан программный продукт для выполнения разложения элементов, порождающих минимальные левые идеалы, по установленному базису.

Пример работы программы

Пусть требуется определить, какие минимальные левые идеалы алгебры  получаются при ветвлении минимального идеала, порождённого элементом . Для отображения результатов (если пользователь задал интересующую его , которая получается из  добавлением одной клетки) используется символическая запись   вместо . В частности:

Также есть возможность исследовать как множество реализуемых путей в графе Юнга (на рисунке показаны интерпретации для нумераций стандартных таблиц 2 и 5 ).

Если пользователь не указывает вид диаграммы , то на экран выводится графическое представление полного разложения элемента . Чтобы перейти от разложения элемента к ветвлению идеалов, необходимо определить мощности множеств нумераций каждой из участвующих в разложении диаграмм. Для примера:

а также позицию  и номера каждого , которые они имеют при лексикографическом упорядочивании множеств нумераций. Приняв во внимание, что при ветвлении идеалов важны координаты точки проективного пространства, но не коэффициенты  (т.е. определяются по ним с точностью до постоянного множителя), получаем:

Заключение

Основным результатом данной работы является программный продукт, реализованный для выполнения разложения минимальных левых идеалов алгебры  прямыми методами. Ограничивающим фактором является сверхэкспоненциальный рост числа базисных элементов, поэтому с помощью ЭВМ удалось выполнить эту задачу только для малых степеней симметрической группы ( ). Этот подход, по сути комбинаторный, требует для своей реализации быстро возрастающий с увеличением  объём ресурсов. Таким образом, это ограничение носит лишь практический, но не теоретический характер.

Будучи разработанной для выдвижения гипотез и определения дальнейших направлений исследования, данная программа, как мы рассчитываем, послужит способом развития и самой теории линейных представлений симметрической группы, которая, в свою очередь, сможет стать базой для нового, более совершенного программного проекта.

Для проверки промежуточных результатов использовались тестовые наборы, которые обрабатывались нашей программой и комплексом Schur. Для решения систем линейных уравнений с разреженной матрицей высокого порядка использовалась библиотека UMFPACK.

Несмотря на то, что результаты вычислений имеют частный характер, они, как мы надеемся, могут иметь практическое применение и за пределами «чистой» математики. Как хорошо известно, большинство разделов современной физики широко использует аппарат теории дифференциальных уравнений, в том числе уравнений в частных производных; естественной «рамкой» этой теории является теория групп и алгебр Ли. Мы знаем, минимальные идеалы группового кольца симметрической группы порождают определённые идеалы тождеств линейных алгебр: лиевых, ассоциативных и т.д., - которые могут служить выражением каких-либо физических законов. Поскольку в современной физике обычно не требуются пространства слишком большой размерности, то полученные нами результаты могут оказаться пригодными для описания тех или иных физических реалий.

Код для цитирования: Скопировать