XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Можно выделить четыре основные причины, приводящие к необходимости образования запасов:

• необходимость гарантирования бесперебойности питания производственного процесса с целью обеспечения его непрерывности;

• периодичность производства отдельных видов ресурсов у поставщиков;

• особенности доставки ресурсов от поставщика до потребителя (несоответствие грузоподъемности транспортных средств и размеров потребления);

• несовпадение ритма производства и поставок производственных ресурсов с ритмом их потребления.

Задачи управления запасами по наличию того или иного признака разделить:

1. По количеству управляемых периодов (пополнения запасов) – на однопериодные и многопериодные. Если пополнение запасов производится в системе один раз, такая задача называется однопериодной, в противном случае – многопериодной. Так, например, самолет может один раз заправиться и сделать еще дополнительный запас горючего или у него есть возможность дозаправляться во время промежуточных посадок.

2. По характеру пополнения запасов – с непрерывной системой пополнения запасов (мгновенное) и периодической (с задержкой). Если при уменьшении запаса до определенного уровня происходит его пополнение, то мы имеем задачу с непрерывным пополнением. При этом необходим постоянный контроль за уровнем запаса. Разновидностью такой системы является система «двух бензобаков» («двух бункеров», «двух складов»). Один из бензобаков (бункеров, складов) выдает запас (горючее) только в том случае, если кончается запас в другом. Одновременно подается сигнал о необходимости пополнения бензобаков (бункеров, складов).

З. По учету характера спроса – на детерминированные и вероятностные (стохастистические). Если невозможно точно предсказать спрос с момента поступления запаса до момента его пополнения, то имеем вероятностную задачу управления запасами, в противном случае – детерминированную. Так, если неизвестны особенности маршрута движения автомашины (состояние дороги, уклоны, подъемы, ...), практически не возможно точно предсказать расход горючего.

4. По количеству типов ресурсов – на однопродуктовые и многопродуктовые. Если запас включает несколько видов продукции, то имеем многопродуктовую задачу управления запасами, в противном случае – однопродуктовую. Так, если для автомашины кроме бензина будем учитывать расход масла, то это будет уже многопродуктовая задача.

5. По виду целевой функции – на задачи с пропорциональными и непропорциональными затратами. Если издержки производства на единицу продукции постоянны и весь объем спроса в конечном счете удовлетворяется, то мы имеем дело с пропорциональными затратами, в противном случае – с непропорциональными. Так, затраты на 1 км пробега автомашины могут быть постоянными, а могут быть переменными (например, зависят от дальности поездки).

6. По величине удовлетворения спроса – на задачи с полным удовлетворением и с неполным. В последнем случае поставляемая партия ресурсов меньше необходимой, из-за чего возникают убытки от простоя.

В качестве простейшей модели управления запасами рассмотрим модель оптимизации текущих товарных запасов, позволяющих повысить эффективность работы предприятия. Такая модель строится в следующей ситуации: некоторое предприятие в течении фиксированного периода времени собирается завести и реализовать товар конкретного (заранее известного) объема и при этом необходимо смоделировать работу предприятия так, чтобы суммарные издержки были минимальны. При построении этой модели используется следующие допущения:

планируется запасы только одного товара или одной товарной группы;

уровень запасов снижается равномерно в результате равномерно производимой продажи;

спрос в планируемом периоде заранее полностью определен;

поступление товаров производится строго в соответствии с планом, отклонения не допускаются, штраф при неудовлетворенном спросе бесконечно велик;

издержки управления запасами складывается только из издержек по завозу и хранению запасов.

Суммарные издержки будем считать зависящими от величины одной поставки q. Таким образом, задача оптимального регулирования запасов сводится к нахождению оптимального размера q₀ одной постановки. Найдя оптимальное значение управляемой переменной q, можно вычислить и другие параметры модели, а именно: количество поставок n₀, оптимальный интервал времени t_so между двумя последовательными поставками, минимальные (теоретические) суммарные издержки Q₀.

Введем следующие обозначения для заранее известных параметров модели:

T – полный период времени, для которого строится модель;

R – весь объем (полный спрос) повара за время T;

C₁ – стоимость хранения одной единицы товара в единицу времени;

C_s – расходы по завозу одной партии товара.

Обозначим через Q неизвестную пока суммарную стоимость создания запасов или, что то же самое, целевую функцию. Задача моделирования состоит в построении целевой функции Q = Q(q). Суммарные издержки, будут состоять из издержек по завозу и хранению товара.

Полные издержки по хранению текущего запаса будет равны

 

т
.е. произведению стоимости хранению одной единицы товара на “средний” текущий запас. По допущению 2 уровень запасов снижается равномерно в результате равномерно производимой продажи, т.е. если в начальный момент создания запаса он равен q, то в конце периода времени ts он стал равен 0 и тогда “средний” запас равен

Полные издержки по завозу товара будут равны

т.е. произведению стоимости завоза одной партии товара на количество поставок n, которые очевидно равны .

Тогда суммарные издержки управления текущими запасами составят

 

т.е. целевая функция Q является нелинейной функцией величины q, изменяющейся в пределах от 0 до R.

Таким образом, для задачи оптимального управления текущими запасами построена следующая математическая модель:

при ограничениях 0 < q  Q определить значения q, обращающее в минимум нелинейную целевую функцию

Ф
ормализованная задача строго математически записывается в виде:

Р
ешение задачи проведем по известной схеме. Вычисляем производную:

 

и приравниваем её к нулю:

Чтобы убедиться, что в точке q = q₀ функция Q(q) действительно достигает своего минимума, вычислим вторую производную:

Итак, оптимальный размер одной поставки равен:

оптимальный средний текущий запас:

оптимальное число поставок:

оптимальный интервал между двумя последовательными поставками:

оптимальные (теоретические) издержки составят:

Пусть предприятие в течение года планирует завести и реализовать бензин общим объёмом 10 тысяч тонн. Стоимость завоза одной партии равна 1000 рублей, а хранение одной тонны обходится в 50 рублей. Определить оптимальный размер одной поставки, чтобы суммарные расходы по завозу и хранению бензина были минимальны, а также количество поставок, интервал времени между двумя последовательными поставками и минимальные (теоретические) суммарные издержки.

По условию задачи: R = 10000, Cs = 1000, C1 = 50, T = 12 мес.

По выше приведенным формулам имеем:

Итак, оптимальный размер одной поставки равен 182 тонны, количество поставок n_о равно 54, время t_so между двумя последовательными поставками равно 6 дням, а минимальные суммарные расходы составят 109544 рубля.

Заметим, что условия рассмотренной задачи во многом являются идеализированными. На практике не всегда является возможным придерживаться полученных теоретических параметров модели управления запасами. Например, в рассмотренной задаче мы получили, что оптимальный размер одной поставки равен 182 тонны, но может так оказаться, что завод-изготовитель отпускает бензин только цистернами по 60 тонн. Значит, торговое предприятие вынуждено отклоняться от оптимального размера одной поставки. Поэтому важно определить такие пределы отклонения, которые не приводят к существенному возрастанию суммарных издержек.

Целевая функция Q(q) управления запасами является суммой двух функций – линейной и гиперболической. Изобразим её график схематически.

В области минимума она изменяется медленно, но с удалением от точки q_o, особенно в сторону малых q, величина Q быстро возрастает (см. рис.1).

Рисунок 1 – Целевая функция Q(q)

Определим доступные изменения размера одной поставки по доступному уровню возрастания издержек. Пусть торговое предприятие “согласно” на возрастание минимальных издержек в не более, чем  раз

( > 1), т.е. предприятие допускает издержки

Q = ^.Q_o .

Отклонение размера одной поставки q от оптимального зададим с помощью дополнительного параметра  в виде:

q = ^.q_o.

Тогда суммарные издержки при таком размере одной поставки будет равны:

Из формул выше следует:

Разрешая последнее уравнение относительно  получаем:

Пусть предприятие допускает увеличение суммарных издержек на 20% по сравнению с оптимальными, т.е.  = 1,2. Тогда по последним формулам получаем: 1 = 1,2 - 1,44 - 1 = 0,54; 2 = 1,2 + 1,44 - 1 = 1,86. И интервал допустимых величин  есть 0,54    1,86.

Тогда:

1*q_o = 0,54 * 182  97; 2*q_o = 1,86 * 182  339

и объём одной постановки q может изменяться в интервале

(1q_o; 2q_о) = (97; 339).

При этом суммарные издержки не превысят оптимальные более чем в 1,2 раза.

Реализация модели Уилсона без ограничений в среде пакета Mathcad представлена на рис. 2.

Рисунок 2 – Модель Уилсона без ограничений в среде пакета Mathcad

Заметим здесь, что полученный допустимый интервал значений q не симметричен относительно q_о, поскольку в сторону уменьшения значений q можно отклониться от q_o на 182 – 97 = 85 единиц, а в сторону увеличения значений q можно отклоняться от q_о на 339 – 182 = 157 единиц.

Такая асимметричность допустимых значений q относительно q_о легко объясняется из графика функции Q на рисунке выше: при отклонении влево от q_о график функции возрастает “быстрее”, чем при отклонении на такую же величину вправо от q_о.

Рассмотренная выше модель, конечно же, достаточно проста и может применяться только на предприятиях реализующих один тип товара, что встречается крайне редко. Обычно у любого предприятия имеются запасы самых различных товаров. Если при этом товар не является взаимозаменяемыми, то определение оптимальных размеров запасов производится отдельно по каждому товару, как это было показано выше. Взаимозаменяемые товары целесообразно объединить в группы и для них производить оптимизацию товарных запасов как для отдельных товаров. На практике, однако, не всегда можно воспользоваться такими рекомендациями, поскольку могут возникнуть другие ограничительные условия, в частности ограниченность размеров складских помещений.

Код для цитирования: Скопировать