XI Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2019

Функциональное уравнение – это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций. Решить функциональное уравнение - означает найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют.

Рассмотрим нелинейные уравнения. Нелинейные уравнения – это уравнения вида

где F(x) – некоторая нелинейная функция, которая определена и непрерывна на конечном или бесконечном интервале a<x<b.

Всякое значение [a, b], обращающее функцию F(x) в нуль, т.е. когда F() = 0, называется корнем уравнения (1) или нулем функции F(x). Если функция F(х) имеет достаточное количество производных, то можно говорить о кратных корнях. Число называется корнем k-й кратности, если при x  вместе с функцией F(x) обращается в нуль и ее производные вплоть до порядка (k – 1) включительно:

F(x) = F'(x) = ... = F^{(k- 1)}(x) = 0.

В свою очередь нелинейные уравнения подразделяются на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические уравнения называют уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Трансцендентные уравнения – уравнения, содержащие трансцендентные функции, такие как логарифмическая, показательная, тригонометрическая. При нахождении корней мы будем рассматривать как алгебраические, так и трансцендентные уравнения.

Решение многих математических задач можно выполнить двумя методами:

1) аналитическими (точными) методами;

2) численными (приближенными) методами.

У каждого из методов есть свои достоинства и недостатки.

Численные методы как правило обладают большей общностью чем аналитические, т.е. численные методы применимы для более широкого круга задач.

При решении математической задачи аналитическим методом решение находят в виде формулы, связывающей параметры решаемого уравнения (решение ДУ).

При численном решении изменение параметра или начальных условий требует решение задачи с самого начала. Численные методы связаны с большим объемом вычислений, поэтому требуется привлечение средств вычислительной техники.

Среди приближенных методов решения функциональных уравнений наибольшее распространение получили итерационные методы. Сущность итерационного метода состоит в построении последовательных приближений к точному значению корня. При этом процедура заканчивается, когда достигнута требуемая точность.

Численное решение нелинейного уравнения с одной переменной вида (1), состоит из двух этапов:

Отделение корней уравнения (1), т.е. нахождение интервалов изоляции, на которых находится только один корень решаемого уравнения.

Отделение корней можно выполнить несколькими способами:

Графически. При этом строится график кривой и определяются точки его пересечения с осью Ох.

Если построение графика затруднено, то исходное уравнение (1) приводится к равносильному виду и в одной системе координат строится два графика :

Тогда приближение к искомым корням находятся, как абсциссы точек пересечения этих графиков.

Аналитическое отделение корней. При этом среди дифференциальных исчислений определяют интервалы монотонности функции и интервалы, на концах которых функция имеет значения разных знаков. В случае, если функция непрерывна на интервале вместе с производной первого порядка, на концах интервала функция имеет разные знаки (эти условия гарантируют, что на интервале находится корень), а первая производная сохраняет свой знак на всем отрезке, то на данном интервале один корень.

Уточнение отделенных на первом этапе действительных корней каким-либо численным методом до заданной точность.

Методы уточнения корней:

1.) Метод половинного деления (дихотомии).

2.) Метод касательных (Ньютона).

3.)Метод хорд (секущих).

4.)Метод итераций (последовательных приближений).

1. МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ (МЕТОД ДИХОТОМИИ)

Пусть действительный корень уравнения (1) , изолирован на интервале , т.е. выполнен первый этап отделения корней. Требуется уточнить отделенный корень до точности ε методом половинного деления.

Идея метода заключается в том, что исходный интервал точкой делится пополам, после этого определяется в каком подынтервале или находится искомый корень затем «пустой» подынтервал отбрасывается и точке присваивается имя или в зависимости от того какой подынтервал был отброшен. К оставшемуся интервалу снова применяется процедура деления пополам. Деление продолжается до тех пор, пока длина оставшегося интервала станет меньше ε. После этого в качестве искомого приближения к корню берется середина оставшегося интервала.

ξ

Рис. 1 – Принцип метода дихотомии

Алгоритм метода дихотомии имеет вид:

Ввод исходных данных: .

Вычисление значения в точке :

Найдем значение функции в точке , если , то искомый корень находится в этой точке, т.е. .

Если , определим подынтервал, в котором лежит искомый корень. Проверим условие , если оно выполняется, то находится на интервале , следовательно полагаем, что . Иначе

Найдем длину оставшегося интервала и если она меньше заданной точности, то середина данного отрезка и есть корень исходного уравнения, т.е. , а

Выводим значения корня.

Конец алгоритма.

Блок схема метода дихотомии:

Рис. 2 – Блок–схема метода дихотомии

Прежде чем записать программу на языке Pascal зададим конкретный вид уравнения и выполним первый этап отделения корней.

Пример №1. Отделить корни уравнения и уточнить их с точностью ε = 0,00001 методом дихотомии.

Решение. Выполним первый этап графического отделения корней, для этого наше уравнение приведем к уравнению вида: , разделим правую и левую часть на x, т.к. ОДЗ

Построим график функции в программе Excel (см. рис. 3):

Рис. 3 – Графическое отделение корней (пример 1)

Из графика видно, что исходное уравнение имеет единственный корень на интервале .

Что бы проверить будет ли найденный интервал интервалом изоляции необходимо выполнение двух условий:

На концах интервала функция имеет разные знаки. В нашем случае:

Первое условие выполняется.

Проверим монотонность функции на найденном интервале (сохранение знака первой производной). Для этого построим график производной с помощью программы Excel и определим ее знак (см. рис. 4):

Рис. 4 – График производной (пример 1)

Т.к. график первой производной лежит выше оси Ох, то производная положительна и сохраняет свой знак, следовательно функция на интервале монотонно возрастает. Второе условие выполняется.

Этап отделения корней закончен, перейдем к уточнению корней, для этого, воспользовавшись схемой (см. рис. 2) запишем программу в Pascal (см. рис. 5).

Рис. 5 – Программа уточнения корня методом дихотомии

Рис. 6 – Результаты уточнения корня методом дихотомии в среде Pascal ABC

Отделение корней можно выполнить при помощи пакета Mathcad (см. рис. 7 а, б)

а.)

б.)

Рис. 7 – Отделение корней в Mahtcad

Задание 1. Графическиотделить всекорни уравнения F(x)= 0 и методом дихотомии уточнить меньший положительный кореньс точностью  =10^–4. Среду реализации выбрать по указанию преподавателя. Определить необходимое число итераций.

Таблица 1

№ варианта	F(x)=0	№ варианта	F(x)=0
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

Задание 2. Вычислить с точностью  =10^–4 коэффициент гидравлического сопротивления при течении жидкости в трубопроводе с относительной шероховатостью внутренней стенки для заданного числа Рейнольдса Re.

Универсальный закон сопротивления для развитого турбулентного течения имеет вид:

Таблица 2

№ варианта	Шероховатость	Число Рейнольдса Re
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.

Пример. Исходя из универсального закона сопротивления для развитого турбулентного течения, вычислим коэффициент гидравлического сопротивления методом половинного деления или дихотомии с точностью при течении жидкости в трубопроводе с относительной шероховатостью внутренней стенки , если число Рейнольдса

.

Представим универсальный закон сопротивления в виде нелинейного уравнения с одной переменной :

Выполним графическое отделение корней с помощью программы Mathcad (Рисунок 8). Корнем данного уравнения является абсцисса точки пересечения графика функции с осью Ох.

Рис. 8 – График функции

Из графика видно, что искомый корень лежит на интервале [0,01; 0,028]

Убедимся, что интервале только один корень. Для этого проверим выполнение двух необходимых условия:

1.) На концах интервала функция имеет значения разных знаков:

,

.

Исходя из полученных результатов видим, что концах интервала функция имеет разные знаки, а значит первое условие выполняется.

2.) Проверим выполнения второго условия. Убедимся, что функция монотонна на заданном интервале. Для этого построим график производной для этой функции в программе Mathcad (см. рис. 9).

Рис. 9 – График производной

Т.к. график производной лежит выше оси Ох, то первая производная положительна, значит функция монотонно возрастает на интервале [0,01;0,028], следовательно второе условие выполняется.

Алгоритм решения представлен ниже (см. рис. 10).

Рис. 10 – Блок-схема метода дихотомии

Уточним отделенный корень методом дихотомии до заданной точности . При помощи интегрированной среды АВС Pascal, найдем корень данного уравнения, изолированный на отрезке .

Алгоритм программы Pascal представлен ниже (см. рис. 11):

Рис. 11– Результаты вычислений корня λ методом дихотомии в интегральной среде Pascal ABC

2. МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ (НЬЮТОНА)

Во всех, оставшихся случаях, мы будем предполагать, что функция непрерывна и имеет первую и вторую производные.

Идея метода касательных заключается в том, что на интервале изоляции корня проводится касательная к графику функции и в качестве приближения к искомому корню ξ берется точка пересечения касательной с осью Ох (см. рис. 12). При этом не обязательно задавать границы интервала изоляции, достаточно задать начальные приближения к искомому корню ( – начальное приближение). Однако важно правильно выбрать это значение.

Рис. 12 – Метод касательных

Из рисунка 12 видно, что в качестве начально приближения выбирается правый конец интервала, т.е. . Что бы определить какой конец интервала необходимо брать в качестве начального приближения необходимо найти знак второй производной. Если знак функции на конце интервала совпадает со знаком второй производной, т.е. выполняется условие , то в качестве начального приближения берется точка (см. рис. 13 (а) ). В противном случае , а значит (см. рис. 13 (б) ).

а.)

б.)

Рис. 13 – Метод Ньютона

Сделаем вывод формулы Ньютона. Как известно из курса высшей математики уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

Применим формулу (2) для нашего случая с учетом проведения касательной через точку . Уравнение (2) примет вид:

Найдем точку пересечения этой прямой осью Ох. В точке пересечения , тогда уравнение (3) имеет вид:

Из последнего равенства выразим , для этого поделим обе части уравнения на :

Или

Таким образом, зная и вычислив и по формуле (4), находим первое приближение к искомому корню - .

Повторим подобные рассуждения для точки и получим формулу для нахождения второго приближения:

На некотором n шаге формула (4) имеет вид:

Формула (5) называется формулой Ньютона.

В качестве условия прекращения расчета по формуле Ньютона на некотором шаге n можно принять выполнение следующего условия:

В этом случае в качестве искомого корня ξ берется, .

Более научным критерием прекращения расчета является условие:

Где

Пример №2. Отделить все корни уравнения , и уточнить один из них методом Ньютона до заданной точности ε=0,0001.

Решение. Выполним первый этап графического отделения корней. Для этого в программе Excel построим график функции и найдем точки пересечения данного графика с осью Ох (см. рис. 14)

Рис. 14 – График функции (пример 2)

Из графика видна точка пересечения графика и осью Ох. Выберем интервал изоляции [1,57;3,14].

Убедимся, что на интервале только один корень, для этого проверим два условия:

На концах интервала функция имеет разные знаки. В нашем случае:

Первое условие выполняется.

Проверим монотонность функции на найденном интервале (сохранение знака первой производной). Для этого построим график производной с помощью программы Excel и определим ее знак (см. рис. 15):

Рис. 15 – График производной (пример 2)

Т.к. график первой производной лежит выше оси Ох, то производная положительна и сохраняет свой знак, следовательно функция на интервале монотонно возрастает. Второе условие выполняется.

Этап отделения корней закончен, перейдем к уточнению корней, для этого, воспользовавшись схемой (см. рис. 16) запишем программу в Pascal (см. рис. 17).

Рис. 16 – Блок-схема метод Ньютона

Рис 17 – Нахождение корня в интегральной среде Pascal методом касательных (Ньютона)

Рис. 18 - Результаты уточнения корня методом касательных (Ньютона) в среде Pascal ABC

Отделение корней уравнения можно выполнить при помощи программы Mathcad (см. рис. 19, а, б)

а.)

б.)

Рис. 19 – Метод Ньютона

Задание 1. Графическиотделить всекорни уравнения F(x)= 0 и методом Ньютона уточнить меньший положительныйс точностью  =10^{– 5}. Среду реализации выбрать по указанию преподавателя. Определить необходимое число итераций.

Таблица 3

№ варианта	F(x)=0	№ варианта	F(x)=0
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

Задание 2. Найти молярный объем данного газа V при заданных значениях давления Pитемпературы T.

Состояние реального газа может быть описано уравнением Ван-дер-Ваальса:

где:

R – универсальная газовая постоянная,

T – температура газа,

P_c – критическое давление,

T_c – критическая температура,

V – молярный объем газа.

Величины критических параметров P_cи T_c отдельных газов приведены в следующей таблице:

Таблица 4

Газ	метан	этан	пропан	i-бутан
	190,55	305,43	369,82	425,16
	4,695	4,976	4,333	3,719
Газ	i-пентан	n-гексан	n-пентан	n-бутан
	460,39	507,35	469,65	408,13
	3,448	3,072	3,435	3,871

Таблица 5

№ варианта	1.	2.	3.		4.	5.	6.
Газ	Метан	Этан	Пропан		n-бутан	i-бутан	n-пентан
Т, К	305	508	490		760	530	600
Р, Мпа	2,200	3,700	1,570		1,800	1,250	2,400
№ варианта	7.	8.	9.	10.		11.	12.
Газ	i-пентан	n-гексан	Метан	Этан		n-бутан	Пропан
Т, К	560	720	311	620		560	540
Р, Мпа	2,250	2,500	1,750	2,370		1,600	1,590

Решим задачу методом касательных (Ньютона) и найдем молярный объем газа Vдля метана.

Таблица 6

Газ	Метан
Т, К	305
Р, МПа	2,200
	190,55
	4,695

Запишем исходное уравнение в виде:

Заменим на и представим последнее равенство в виде функции:

С помощью пакета Mathcad построим график функции и отделим корень (см. рис. 20).

Рис. 20 – График функции

Следовательно, искомый корень находится на интервале [1075;1110]

Убедимся, что данный интервал является интервалом изоляции искомого корня, т.е. для него выполняется два условия:

1. На концах интервала функция принимает значения разных знаков.

2. Первая производная сохраняет свой знак на интервале (см. рис. 21).

Рис. 21 – График производной функции

Найдем корень уравнения с помощью встроенной функции root (см. рис. 22).

Рис. 22 – Нахождение корня с помощью функции root

Подтвердим найденный корень методом касательных (Ньютона) до точности и определим число разделений, записав алгоритм в программе PascalABC (см. рис. 23).

Рис.23 – Результаты расчета в Pascal

МЕТОД ХОРД (СЕКУЩИХ)

Идея метода заключается в том, что на отрезке изоляции , график заменяется стягивающей хордой после чего в качестве приближения к искомому корню ξ берется точка пересечения постоянной хорды (прямой), с осью Ох. При этом предполагается, что функция непрерывна на и имеет на нем первую и второю производные. Пусть для определения для любого , если это условие не выполняется, то рассматривается равносильное уравнение:

которое имеет те же самые корни, что и исходное.

Рассмотрим два случая с возрастающей и убывающей функцией на интервале .

Так как всегда должно быть больше 0 при а  х  b(случай  сводится к , если записать уравнение в виде − f(x) = 0),то кривая у = f(x) будет выпукла вниз и, следовательно, расположена ниже своей хорды АВ.

Первый случай при , функция возрастает (см. рис. 24, а)

Второй случай при , функция убывает (см. рис. 24, б)

а)

б)

Рис 24 – Метод хорд

Через точки А и В проведена стягивающая хорда. Повторяем процесс постоянно для получения более узких интервалов изоляции корня ξ. Получая значение , которое приближается к искомому корню ξ , выведем последовательность точек , сходящуюся к искомому корню слева (рис. 24, а) и справа (рис. 24, б).

Что бы определить какой конец интервала необходимо брать в качестве начального приближения необходимо найти знак второй производной. Если знак функции на конце интервала совпадает со знаком второй производной, т.е. выполняется условие , то в качестве начального приближения берется точка . В противном случае , а значит .

Выведем формулу, по которой можно найти приближение. Вспомним, что уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки и , имеет вид:

В нашем случае ; , получим:

Найдем точку пересечения данной прямой с осью Ох, полагая , что . Тогда

Умножим правую и левую части на , получим:

Отсюда первое приближение находится по формуле:

Из рисунка 24 (а) видно, что неподвижным концом является точка В, а значение а в последней формуле необходимо заменить на х₁. Сделаем это найдем х_2.

Рассуждая аналогично запишем формулу хорды на некотором шаге i к искомому корню ξ.

Где i =1,2,3,…n ;

Рассуждая аналогичным образом, примем за неподвижный конец точку А, а в качестве х₀возьмем значение b. Запишем формулу для случая из рисунка 24 (б).

Процесс вычисления по формулам (6) или (7) продолжается до тех пор пока на некотором шаге i не выполняется условие:

Пример 3. Для составления блок схемы и программы в качестве примера возьмем функцию из предыдущего пункта, т.е. уточним методом хорд уравнение : .

Решение: в параграфе 2 мы выполнили графическое отделение корней (Рисунок 14) и установили интервал изоляции: [1,57;3,14].

Определим знак второй производной. Для этого найдем второю производную и построим график в программе Excel (см. рис. 25):

Рис. 25 – График второй производной (пример 3)

Из графика видно, что вторая производная лежит выше оси Ох, а значит положительна на всем интервале.

Нам уже известно, что , а значит расчеты будем вести по формуле (6), принимая за начальное приближение .

Найдем значение m₁ по формуле (8). Т.к. на интервале изоляции, то знак модуля можно отбросить, учитывая знак второй производной на данном интервале, можно сделать вывод, что первая производная монотонно возрастает, а это значит, что меньшему значению функции соответствует меньшее значение аргумента на . Меньшее значение на нашем интервале равно 1,57, вычисляем m₁:

Запишем блок-схему и программу в Pascal (см. рис. 26, 27).

Рис. 26 – Блок-схема метод хорд

Рис. 27 – Программа метода хорд

Рис 28 - Результаты уточнения корня методом хорд (секущих) в среде Pascal ABC

Отделение корней в Mahtcad представлено ниже (см. рис. 29)

а.)

б.)

Рис. 29 – Отделение корней в среде Mathcad

Задание 1. Графическиотделить всекорни уравнения F(x)= 0 и методом хорд уточнить меньший положительныйс заданной точностью . Среду реализации выбрать по указанию преподавателя. Определить необходимое число итераций.

Таблица 7

№	F(x)=0	№	F(x)=0
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

Задание 2. Вычислить расход дизельного топлива Q( ) плотностью и кинематической вязкостью при перекачке по участку трубопровода длиной L= 125 км, диаметром d= 514 мм и с шероховатостью внутренней стенки = 0.0005, если насосная станция работает с двумя последовательно включенными насосными агрегатами.

Уравнение баланса напоров для участка трубопровода имеет вид:

,

где и – подпор перед станцией и напор в конце участка соответственно;

a и b– коэффициенты, определяемые типом и количеством насосов;

и – высотные отметки сечений трубопровода в начале и в конце участка.

Таблица 8

№ варианта	, м	, м	a, м	b,	, м	, м
1	50	30	662		100	200
2	30	50	630		200	100
3	70	30	580		50	150
4	40	60	600		120	180
5	60	40	550		180	120
6	60	30	570		80	150
7	30	50	662		120	190
8	70	30	630		50	170
9	60	40	580		180	110
10	60	30	550		50	160

КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ХОРД И КАСАТЕЛЬНЫХ

Методы хорд и касательных дают приближения корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании. Комбинации методов могут быть различны, но во всех случаях уточнение корня идет быстрее. Рассмотрим несколько вариантов расчетных схем комбинированного метода.

Пусть дано уравнение вида (1), корень отделен и находится на отрезке [а, b]. Применим комбинированный метод хорд и касательных с учетом графика функции (см. рис. 30, 31).

Рис. 30 - Графическая интерпретация комбинированного метода при F^/(x)^.F^//(x)>0

Рис. 31 - Графическая интерпретация комбинированного метода при F^/(x)^.F^//(x)<0

Если F'(х)F"(х) > 0(см. рис. 30), то метод хорд дает приближение корня с недостатком, а метод касательных − с избытком. Если же F'(х)F"(х) < 0(см. рис. 31), то, наоборот, метод хорд дает приближение корня с избытком, а касательных − с недостатком.

Однако во всех случаях истинный корень заключен между промежуточными корнями, получающимися по методу хорд и методу касательных, т.е. выполняется неравенство

а < х <ξ< Х < b,

где х − значение корня с недостатком, а Х − с избытком.

Из этих соображений складывается следующая схема вычислений: в первом случае, когда выполняется условие F'(х)F"(х) > 0, то последовательность {х_i} (слева) образуется по методу хорд, а последовательность {Х_i}(справа) образуется по методу касательных:

Во втором случае, когда F'(х) F"(х)<0, слева лежит приближенное значение корня, найденное по методу касательных, а справа − по методу хорд. При этом расчетные формулы будут несколько иные:

Для окончания итерационного процесса может быть использовано условие | Х_n− х_n| ≤ ε. За приближенное значение корня принимают среднее между Х_n и х_n , т.е.

При организации вычислений можно воспользоваться процедурами из предыдущих разделов. Здесь предлагается программа hordkas, объединяющая оба алгоритма. Программа написана по алгоритму, приведенному ниже (см. рис. 32). Программа (см. рис. 33).

Рис. 32 – Блок-схема комбинированного метода

Рис. 33 – Программа комбинированного метода

Рис. 34 - Результаты уточнения корня комбинированным методом хорд и касательных в среде Pascal ABC

Отделение корней в Mahtcad представлено ниже (см. рис. 35)

а.)

б.)

Рис. 35 – Отделение корней в среде Mathcad

Задание 1. Комбинированным методом уточнить данные функции с точностью  =10^{– 4} . Определить необходимое число итераций.

Таблица 9

№ варианта	F(x)=0	№ варианта	F(x)=0
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

Задание 2. Резервуар для нефти имеет форму лежащего цилиндра радиусом 1м и длиной 3м. Для определения степени заполнения резервуара нефтью в него опускается вертикально в отверстие сверху измерительный стержень.

Необходимо рассчитать шкалу для этого стержня, на которой были бы нанесены отметки о заполнении резервуара в долях qот его полного объема (для q= 0.02; 0.04; 0.06;…; 0.50, т.е. для заполнения на 2%, 4%, 6%, …, 50%).

Для этого надо определить высоты всех указанных уровней заполнения.

Решение:

П
усть l – длина резервуара,  – угол при вершине треугольника, образованного при соединении центра окружности поперечного сечения резервуара и концов линии поверхности жидкости.

При этом заполненный объем V есть функция угла :

. (1)

Высота уровня жидкости вычисляется по формуле

. (2)

С другой стороны имеем

. (3)

Из формул (1) и (3) получаем уравнение

, (4)

решая которое, найдем .

Подставив значение  в формулу (2), найдем h.

Каждый студент должен выполнить расчет уровня жидкости h для заданного значения q. Затем вся группа строит искомую шкалу.

Задания по вариантам:

Таблица 10

№ вар.	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
q	0.02	0.06	0.10	0.14	0.18	0.22	0.26	0.30	0.34	0.38	0.42	0.50

5. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ F(x)= 0

МЕТОДОМ ИТЕРАЦИЙ

Часто этот метод называют еще методом последовательных приближений. Для использования метода итерации исходное нелинейное уравнение заменяется равносильным уравнением

(1)

Пусть известно начальное приближение корня Подставляя это значение в правую часть уравнения (1), получим новое приближение:

(2)

Геометрически метод итерации может быть пояснен следующим образом. Построим на плоскости yOx графики функций и . Каждый действительный корень ξ уравнения (1) является абсциссой точки пересечения М кривой с прямой (см. рис. 36, а).

Рис.36 – Сходящиеся итерационные процессы

Отправляясь от некоторой точки , строим ломаную ... (“лестница”), звенья которой попеременно параллельны оси Ох и оси Оу, вершины А₀, А₁, А₂, ... лежат на кривой , а вершины , … − на прямой . Общие абсциссы точек и , и , ..., очевидно, представляют собой соответственно последовательные приближения х₁, х₂, ... корня ξ.

Возможен также другой вид ломаной ... – «спираль» (см. Рис. 36, б). Решение в виде «лестницы» получается, если производная положительна, а решение в виде «спирали», если отрицательна.

 

Рисунок 7. Расходящийся итерационный процесс

На рисунке 36, а, б кривая в окрестности корня ξ − пологая, то есть , и процесс итерации сходится. Однако, если рассмотреть случай, где , то процесс итерации может быть расходящимся (см. рис. 37). Поэтому для практического применения метода итерации нужно выяснить достаточные условия сходимости итерационного процесса.

Рис. 37 – Расходящийся итерационный процесс

Теорема: Пусть функция определена и дифференцируема на отрезке,причем все ее значения.

Тогда, если существует правильная дробь q такая, что

(3)

при , то:

1) процесс итерации

(4)

сходится независимо от начального значения ;

2) предельное значение

является единственным корнем уравнения на отрезке

В качестве критерия остановки итерационного процесса по формуле (4) можно выбрать условие:

При этом .

Пример.

Уравнение имеет корень . Уточнить данный корень до точности , доказав сходимость итераций.

Решение.

Для начала отделим корень уравнения в пакете Mathcad (см. рис. 38).

Рис. 38 – Отделение корней в среде Mathcad

Рис. 39 – Нахождение второй производной в среде Mathcad

Представим исходное уравнение в виде двух, выражая х различными способами:

Докажем сходимость итерационного процесса, для этого должно выполняться условие (3):

видим, что

при

т.е. итерационный процесс для такой функции расходится!

Запишем уравнение в виде:

Докажем сходимость или расходимость итерационного процесса в среде пакета Mathcad (см. рис. 40):

Рис. 40 – Расхождение итерационного процесса в среде Mathcad

Проверим расхождение итерационного процесса в программе Pascal (см. рис. 42). Блок-схема метода итераций для Pascal выглядит (см. рис. 41):

Рис. 41 – Блок-схема метода простой итерации

Рис. 42 – Результаты расчета в среде Pascal ABC

В программе Pascal мы также доказали, что итерационный процесс расходится!

Тогда, запишем уравнение в виде:

то получим:

при

Найдем вторую производную:

при

Следовательно, монотонно убывает на [1.5;2]

Таким образом, – сходится! Решение примера в Mathcad (см. рис. 43).

Рис. 43 – Схождение итерационного процесса в среде Mathcad

Проверим схождение итерационного процесса в программе Pascal. Результаты расчета в среде Pascal ABC (см. рис. 44):

Рис. 44 – Результаты расчета в среде Pascal ABC

6. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ F(x)= 0

МЕТОДОМ ИТЕРАЦИЙ

С ГАРАНТИРОВАННОЙ СХОДИМОСТЬЮ

Если F'(x)>0, то подбор равносильного уравнения можно свести к замене:

т.е. к выбору (x) в виде .

Итерационный процесс по данной формуле будет сходиться, если:

если второе слагаемое будет ,

Чтобы обеспечить выполнение неравенства необходимо выбрать следующим образом:

Отсюда может быть построен итерационный процесс:

Пример.

Возьмем для примера уравнение . Отделим и уточним корень до точности ε = 0.00001.

Решение.

Графическое отделение в среде пакета Mathcad показывает, что действительный корень данного уравнения изолирован на интервале [9;11].

Рис. 45 – Отделение корня и нахождение maxf’(x) в среде Mathcad

Найдем корень уравнения в среде Mathcad при помощи программирования процедуры ITER (см. рис. 46):

Рис. 46 – Результаты расчета в среде MathCAD с использованием процедуры ITER

Найдем корень уравнения при помощи программы Pascal, при (см. рис. 47).

Рис. 47 – Результаты расчета в среде Pascal ABC

Задание 1. Графически отделить все корни уравнение и методом простой итерации уточнить меньший положительныйс точностью  =10^{– 4} .

К виду , удобному для итераций, уравнение привести двумя способами:

а) преобразовать уравнение к виду , где , x принадлежит отрезку изоляции [a, b],

б) любым другим преобразованием уравнения. Проверить достаточное условие сходимости.

Среду реализации (Pascal ABC или Mathcad) и вид итерационного уравнения выбрать по указанию преподавателя. Определить необходимое число итераций. Проверить полученное решение с помощью встроенной функции Mathcad polyroots.

Таблица 11

№ варианта	F(x)=0	№ варианта	F(x)=0
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ СРЕДСТВАМИ MSEXCEL

Процесс нахождения приближенных значений корней уравнения средствами электронных таблиц Microsoft Excel так жеможно разбить на два этапа:

1. Графическое отделение корней. Отделение корней обычно проводят графически, для чего строят график функции и определяют абсциссы точек его пересечения с осью Ох.

2. Уточнение отделённого корня каким-либо численным методом до заданной точности. В приложении Microsoft Excel для этого используется Надстройка Поиск решения.

Надстройки – это специальные средства, расширяющие возможности приложения Microsoft Excel, делающие его удобным для использования в инженерных и научных расчётах. Хотя эти средства считаются внешними, дополнительными, доступ к ним осуществляется при помощи обычных команд командной строки (обычно через меню команды Данные). При этом открываются специальные диалоговые окна, оформленные как стандартные диалоговые окна Excel.

Пример. Решить уравнение средствами Microsoft Excel.

Для этого:

1. Запустите приложение MS Excel и присвойте рабочему листу имя Пример, запишите название лабораторной работы, дату выполнения, Ф.И.О. студента и преподавателя (см. рис. 48).

2. В ячейку С8 занесите текст «Аргумент х».

3. Введите в ячейку С9 значение -3,5. В ячейку С10 – значение -3. Выделите эти ячейки, и методом автозаполнения скопируйте их содержимое до ячейки С23.

4. В ячейку D8 запишите: «Функция f(x)».

5. В ячейку D9 введите левую часть уравнения, используя в качестве независимой переменной ссылку на ячейку С9. Соответствующая формула имеет вид: =С9^3-10*С9+2.

Запустите Мастер диаграмм и постройте график функции f(x) . Определите количество действительных корней.

Начальное приближение к первому корню .

Рис. 48 – Пример выполнения работы

6. Введите в ячейку G20 текст «Вычисленное значение корня», в ячейку G22 – значение -3.

7. Запишите в ячейку H20 текст «Вычисленное значение функции», а в ячейку H22 – правую часть уравнения: = G22^3-10* G22+2.

8. Выберите команду Данные Поиск решения.

9. В появившемся диалоговом окне Подбор параметров укажите:

а) в поле Установить целевую ячейку – H22;

б) в поле значению – 0;

в) в поле Изменяя ячейки – G22.

10. Щелкните по кнопке Выполнить, появится диалоговое окно Результаты поиска решения, в котором будет предложено Сохранить найденное решение (см. рис. 49).

Рис. 49 – Параметры поиска решения

11. Повторите расчет, задавая начальные значения для второго корня и для третьего корня . Как изменятся результаты вычислений?

Задание 1. Графически отделить все корни уравнение и уточнить их с помощью надстройки Поиск решения.

Таблица 12

№	Уравнение	№	Уравнение
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ F(X)=0 СРЕДСТВАМИ MATHCAD

8.1. Решение одного уравнения

Для простейших уравнений вида решение в Mathcad находится с помощью встроенной функции root.

Root( F(х1, x2, …), х1, a, b)

Возвращает значение х1, принадлежащее отрезку [a, b], при котором выражение или функция F(х) обращается в 0. Оба аргумента этой функции должны быть скалярами.

Аргументы:

F(х1, x2, …) – функция, определенная где-либо в рабочем документе, или выражение. Выражение должно возвращать скалярные значения.

Х1 – имя переменной, которая используется в выражении.

A, b – необязательны, если используются, то должны быть вещественными числами, причем a< b. Если не используются, то переменной х1 перед использованием функции rootнеобходимо присвоить числовое значение. Mathcad использует его как начальное приближение при поиске корня.

Если после многих итераций Mathcad не находит подходящего приближения, то появится сообщение (отсутствует сходимость). Эта ошибка может быть вызвана следующими причинами:

Уравнение не имеет корней.

Корни уравнения расположены далеко от начального приближения.

Выражение имеет локальные max и min между начальным приближением и корнями.

Выражение имеет разрывы между начальными приближениями и корнями.

Выражение имеет комплексный корень, но начальное приближение было вещественным.

Чтобы установить причину ошибки, исследуйте график F(x). Он поможет выяснить наличие корней уравнения и, если они есть, то определить приблизительно их значения. Чем точнее выбрано начальное приближение корня, тем быстрее будет root сходиться.

Рекомендации по использованию функции root:

Для изменения точности, с которой функция root ищет корень, нужно изменить значение системной переменной TOL. Если значение TOL увеличивается, функция root будет сходиться быстрее, но ответ будет менее точен. Если значение TOL уменьшается, то функция root будет сходиться медленнее, но ответ будет более точен. Чтобы изменить значение TOL в определенной точке рабочего документа, используйте определение вида . Чтобы изменить значение TOL для всего рабочего документа, выберите команду Математика  Параметры…  Переменные  Допуск сходимости (TOL).

Если два корня расположены близко друг от друга, следует уменьшить TOL, чтобы различить их.

Если функция F(x) имеет малый наклон около искомого корня, функцияroot(F(x), x) может сходиться к значению r, отстоящему от корня достаточно далеко. В таких случаях для нахождения более точного значения корня необходимо уменьшить значение TOL. Другой вариант заключается в замене уравнения F(x) = 0на g(x) = 0

Для выражения F(x) с известным корнем а нахождение дополнительных корней F(x) эквивалентно поиску корней уравнения h(x) = F(x)/(x – a). Подобный прием полезен для нахождения корней, расположенных близко друг к другу. Проще искать корень выражения h(x), чем пробовать искать другой корень уравнения F(x) = 0, выбирая различные начальные приближения.

Mathcad-документ численного решения уравнения с помощью функции root (см. рис. 50):

Рис. 50 – Mathcad-документ численного решения уравнения с помощью функции root

Задание 1. Состояние реального газа в простейшем случае может быть описано уравнением Редлиха-Квонга:

,

где ,

,

R – универсальная газовая постоянная,

T – температура газа,

P_c – критическое давление,

T_c – критическая температура,

V – молярный объем газа.

Найти молярный объем данного газа при заданных значениях PиT.

Критические параметры отдельных газов даны в следующей таблице:

Таблица 13

Газ	Метан	Этан	n-пентан	Пропан
	190.55	305.43	469.65	369.82
	4.695	4.976	3.435	4.333
Газ	i-пентан	n-гексан	i-бутан	n-бутан
	460.39	507.35	425.16	408.13
	3.448	3.072	3.719	3.871

Задания по вариантам:

Таблица14

№ вариант	1.	2.			3.		4.		5.	6.
Газ	Метан	Этан			Пропан		n-бутан		i-бутан	n-пентан
Т, К	305	508			490		760		530	600
Р, МПа	2.200	3.700			1.570		1.800		1.250	2.400
№ варианта	7.		8.	9.		10.		11.		12.
Газ	i-пентан		n-гексан	Метан		Этан		n-бутан		Пропан
Т, К	560		720	311		620		560		540
Р, МПа	2.250		2.500	1.750		2.370		1.600		1.590

8.2. Нахождение корней полиномиального уравнения

Для нахождения корней полиномиального уравнения, имеющего вид:

Для решения такого уравнения лучше использовать функцию polyroots, нежели root. В отличие от функции root, функция polyrootsне требует начального приближения и возвращает сразу все корни как вещественные, так и комплексные.

polyroots(v)

Возвращает корни полинома степениn. Коэффициенты полинома находятся в векторе v длины n+ 1. Возвращает вектор длины n, состоящий из корней полинома.

Аргументы:

v – вектор, содержащий коэффициенты полинома начиная с v₀.

Mathcad-документ численного решения полиномиального уравнения с помощью функции polyroots (см. рис. 51):

Рис. 51 – Mathcad-документ численного решения полиномиального уравнения с помощью функции polyroots

Задание 1. Отделить корни уравнение F(x)= 0 и уточнить ихс точностью  =10^{– 4} с помощью встроенной функции Mathcad polyroots. Определить необходимое число итераций.

Таблица 15

№ варианта	F(x)=0	№ варианта	F(x)=0
1.		9.
2.		10.
3.		11.
4.		12.
5.		13.
6.		14.
7.		15.
8.		16.

Литература

1. Бахвалов Н.С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). Т. 1. – М.: Наука, 1973.

2. Бахвалов Н.С. Численные методы. – М.: Наука, 1973.

3. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 664 с.

4. Демидович В.М., Марон Б.В. Численные методы вычислительной математики. – М.: Высшая школа, 1962.

5. Калиткин В.Г. Численные методы. – М.: Наука, 1978.

6. Mathcad 6.0 Plus. Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95./Перевод с англ. – М.: Информационно-издательский дом “Филинъ”, 1996. – 712 с.

7. Ханова А.А., Макарова И.Г. Лабораторный практикум по математическому моделированию и методам в расчетах на ЭВМ. – Астрахань: Изд-во АГТУ, 1998. – 93 с.

8. Герасименко Ю.Я., Ганжела П.П., Кукоз Е.Ф. Лабораторная работа по высшей математике. Приближенные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений. – Новочеркасск.: изд. НПИ, 1983. – 13 с.

9. Чен-Син Э.П., Панюшева Л.Н. Методические указания к лабораторным работам по курсу Компьютерное моделирование: Учебное пособие. – М.: РГУ нефти и газа, 2004. – 92 с.

Код для цитирования: Скопировать