Очевидно, что произвольная положительная измеримая на [0,1] функция , отделенная от нуля и бесконечности на отрезке [0,1], принадлежит классу . Отметим также, что функции вида при всех также принадлежат классу , а функции вида не принадлежат данному классу [2].
В дальнейшем для краткости изложения будем опускать индексы чисел . Рассмотрим класс при .
В следующей теореме мы получим интегральное представление функции из класса
Теорема 1.1. Класс совпадает с классом функций , допускающих на представление
где и – ограниченные измеримые функции на , причем .
Доказательство теоремы основано на ряде вспомогательных утверждений. [3]
Лемма 1.1. Если , , то
Доказательство. При оценка следует непосредственно из определения класса .
Предположим, что оценка установлена для некоторого , то есть для справедливо Докажем аналогичную оценку при .
Пусть . Положим , очевидно, что . По предположению . Но поскольку , и
то
Используя предположение индукции, получим оценку то есть , . □
Лемма 1.2. Пусть , тогда существуют положительные числа такие, что .
Доказательство. Пусть По лемме 1.1. , при .
Докажем, что аналогичная оценка верна и при всех . Действительно, поскольку , то . Записывая теперь аналогичную оценку для произвольного k, получим: при всех
Положив далее , получим: то есть, или , где □
Доказательство теоремы 1.1. Положим (1.1)
Очевидно, что функция измерима и ограничена. Действительно, , поэтому, интегрируя по отрезку , получим:
, , или .
Из равенства (1.1) непосредственно следует, что .
Преобразуем последний интеграл: .
Учитывая равенства
имеем:
Положив далее
получим нужное представление, причем
□ (1.2)
В дальнейшем положим
(1.3)
Очевидно, что , при этом
Следствие 1.1. Пусть Тогда при справедлива оценка .
Доказательство. Из оценок (1.2), (1.3) имеем
то есть . Аналогично, учитывая ограниченность функции снизу и оценку (1.2), получим , . □
Список используемой литературы:
Шамоян Ф.А., Родикова Е.Г. О характеризации корневых множеств одного весового класса аналитических в круге функций // Владикавказский математический журнал. – 2014. – Т. 16, № 3. – С.64-75.
Шамоян Ф.А., Шубабко Е.Н. Введение в теорию весовых -классов мероморфных функций. – Брянск: Группа компаний «Десяточка», 2009.
Benedek A., Panzone R. The spaces with mixed norm // Duke Math. – 1961. – V.28, №3. – PP.301-324.