X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла. Например,

Это уравнение относится к линейным интегральным уравнениям. Встречаются также и нелинейные интегральные уравнения, например,

Линейные интегральные уравнения классифицируются следующим образом:

а) если искомая функция содержится только под знаком интеграла, то уравнение называется интегральным уравнением первого рода. Такими уравнениями являются

б) если пределы интегрирования фиксированы, то интегральное уравнение называется уравнением Фредгольма. Если же пределы интегрирования переменны, то интегральное уравнение называется уравнением Вольтерра.

в) уравнения называются однородными, если . В противном случае эти уравнения называются неоднородными.

Интегральные уравнения с вырожденным ядром

Ядро интегрального уравнения Фредгольма второго рода называется вырожденным, если оно является суммой конечного числа произведений функций только от на функции только от , т. е. если оно имеет вид

функции и будем считать непрерывными в основном квадрате и линейно независимыми между собой. Интегральное уравнение с вырожденным ядром

Замена ядра интегрального уравнения вырожденным ядром

Пусть имеем интегральное уравнение

с произвольным ядром . Простота разыскания решения уравнения с вырожденным ядром естественно приводит к мысли о замене данного произвольного ядра приближенно на вырожденное и принятии решения нового уравнения

в качестве приближения к решению исходного уравнения. В качестве вырожденного ядра , близкого к данному , можно брать отрезок ряда Тейлора для функции , отрезок ряда Фурье для по любой полной ортонормированной в системе функций и т. д. Укажем некоторые погрешности в решении, возникающих от замены данного ядра на вырожденное.

Пусть даны два ядра и , и известно, что

и что резольвента уравнения с ядром удовлетворяет неравенству

а также, что . Тогда, если выполнено условие

то уравнение

имеет единственное решение и разность между этим решением и решением уравнения

не превосходит

где - верхняя граница .

Замена интеграла конечной суммой

Пусть имеем интегральное уравнение Фредгольма второго рода

где и имеют непрерывные производные нужного порядка, - заданное число.

Возьмем какую-либо квадратурную формулу

где - абсциссы точек отрезка , а коэффициенты не зависят от вида функции .

Полагая в уравнении , получим

Интеграл в левой части заменим суммой с помощью квадратурной формулы:

Система есть линейная система алгебраических уравнений с неизвестными , которые являются приближенными значениями решения в узлах . За приближенное решение уравнения на отрезке можно принять функцию

которая принимает в точках значения .

Значения коэффициентов и абсцисс квадратурной формулы будут:

1) для формулы прямоугольников:

2) для формулы трапеций:

3) для формулы Симпсона :

Пример. Решить интегральное уравнение

Решение. Запишем уравнение в следующем виде:

Введем обозначения:

где - неизвестные постоянные. Тогда примет вид

Подставляя выражение в равенство, получим

или

Вычисляя входящие в эти уравнения интегралы, мы получим систему алгебраических уравнений для нахождения неизвестных :

Определитель этой системы

Система имеет единственное решение

Подставляя найденные значения , получим решение данного интегрального уравнения:

Код для цитирования: Скопировать