X Международная студенческая научная конференция Студенческий научный форум - 2018

 

Одной из важных задач при исследовании различных процессов является установление количественной зависимости между величинами х и y, характеризующими данный процесс, т.е. получение функциональной зависимости

. (1.1)

В большинстве случаев эта зависимость в результате эксперимента оказывается заданной при помощи таблицы

Таблица 1.1 Экспериментальные данные

№ опыта	1	2	…
x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

Если аналитическое выражение неизвестно или весьма сложно, то возникает практически важная задача: найти эмпирическую формулу

(1.2)

где f – известная функция, - неизвестные параметры, которые требуется определить, при этом (2.2) должна достаточно точно отражать исследуемый процесс.

Если значения точно связаны зависимостью (1.2), то параметры могут быть найдены как решение системы

. (1.3)

Однако, на практике экспериментальные значения содержат неизбежные ошибки и число уравнений системы (1.3) значительно больше числа неизвестных , поэтому система (1.3), как правило, является несовместной. Приходится отыскивать наилучшие значения приближенно удовлетворяющие системе (1.3), т.е. такие когда невязки (уклонения, отклонения).

(1.4)

являются возможно малыми по абсолютной величине. Существуют различные критерии малости уклонений.

Наиболее распространенными являются эмпирические формулы, линейно зависящие от параметров, т.е. формулы вида

(1.5)

где - известные функции.

В этом случае система (1.3) линейная и исследование ее сравнительно просто. В случае, когда параметры входят в эмпирическую формулу нелинейно, путем введения новых переменных производят линеаризацию или выравнивание.

Существуют следующие методы определения параметров эмпирической формулы:

метод выбранных точек;

метод средних;

метод наименьших квадратов.

Наилучшие параметры эмпирической формулы будем находить по методу наименьших квадратов, как наиболее часто употребимым.

Построение эмпирической формулы слагается из двух этапов:

выяснение общего вида этой формулы;

определение наилучших параметров ее.

Если неизвестен характер зависимости между х и y, то вид эмпирической формулы является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. При этом лучшей считается формула, для которой

(1.6)

имеет меньшее значение. Здесь - сумма квадратов уклонений, n – число экспериментальных данных, k+1 – число параметров эмпирической формулы.

В большинстве случаев можно ограничиться следующими типами функциональных зависимостей, представленных в табл. 1.2.

В некоторых случаях выбор типа эмпирической формулы может быть произведен на основе теоретических представлений о характере изучаемой зависимости. В других случаях приходится подбирать формулу, сравнивая, построенную по экспериментальным данным с образцами известных кривых, приведенных в справочниках. Для функциональных зависимостей типа I – VII в табл.1.3 приведены необходимые условия их (предполагается, что .

Таблица 1.2 Функциональные зависимости

Тип	Вид зависимости	Тип	Вид зависимости
I		II
III		IV
V		VI
VII		VIII
IX		X
XI		XII
XIII		XIV

Таблица 1.3.

Необходимые условия наличия эмпирических

зависимостей типа I-VII

Тип			Вид эмпирической формулы	Способ выравнивания
1	2	3	4	5
I
II
III
IV
V
VI
VII

Для проверки определенной эмпирической формулы находят соответствующее значение , затем по табл.1.1 определяют , соответствующее значению , которое сравнивают со значением , помещенным в табл.1.3. Предпочтительнее та эмпирическая формула, для которой расхождение возможно мало. Для окончательного выбора следует учесть также промежуточные данные.

Замечание. Если значение не находится среди исходных данных , то соответствующее значению значение определяют посредством линейной интерполяции

(1.7)

где и – промежуточные значения, между которыми содержится , т.е. .

Следует иметь ввиду, что эти условия являются лишь необходимыми. Кроме того, не учитывается поведение всех эмпирических данных ; табл.1.3 содержит лишь семь типов зависимостей и может случится, что х и y связаны между собой функциональной зависимостью, не содержащейся в табл.1.3.

Библиографический список

Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. М.: Наука, т.1, 1978.

Демидович Б.П. и др. Численные методы анализа. М.: Физмат, 1963.

Данилина Н.И. и др. Численные методы. М.: Высш.шк. , 1976.

 

Код для цитирования: Скопировать