Предположим, что труба по какой-либо причине несколько искривилась. Покажем это искривление, причем кривизну возьмем положительной в данный момент времени.
Найдем инерционную силу.
Пусть ,
Плотность жидкости в трубе равна , где масса жидкости в трубе, а объем жидкости.
Также, плотность можно определить как , где — удельный вес жидкости в трубе, — ускорение свободного падения.
Из соотношения , получаем: или .
На бесконечно малом отрезке трубы dx: ,
откуда . (1)
Инерционная сила на участке dx: ,где нормальное ускорение. (2)
Найдем связь между линейной и угловой скоростями.
, где угловая скорость, радиус кривизны канала.
тангенциальное ускорение, где
Линейная скорость: , откуда угловая скорость: .
Угловое ускорение .
Следует (3)
Подставив в уравнение (2) уравнения (1) и (3), получим:
При кривизне канала текущая жидкость на участке dxдаст инерционную силу , направленную от центра кривизны.
Интенсивность инерционной силы, т. е. сила, отнесенная к единице дуги, будет:
Знак минус взят, поскольку сила q при положительной кривизне направлена против перемещения у.
По определению критической силы Эйлера
Кривизна главной центральной оси трубы:
где,
.
Продифференцировав два раза, получим:
Обозначив
Получаем линейное однородное дифференциальное уравнение:
Общий интеграл которого:
Здесь A, B, C, D - постоянные интегрирования , определяемые из граничных или краевых условий , в зависимости от способа закрепления стержня.
При и имеем и .
Горизонтальное смещение левого конца равно нулю, т.е. при , это условие выполняется если , аналогично из граничных условий определяем константы интегрирования и . Следовательно, труба изгибается по синусоиде: .
Вертикальное смещение правого конца также равно нулю:
Из этих условий получаем: , , ,
Константа A, представляющая собой наибольший прогиб стержня, не может быть равна 0, так как при возможна только прямолинейная форма равновесия, а нам необходимо условие, при котором возможна и криволинейная форма равновесия, поэтому . Отсюда следует, что криволинейные формы равновесия стержня могут существовать, если принимает значения . Величина не может быть равна 0, так как это соответствует случаю
Приняв и подставив , получаем:
преобразовав, получаем:
Таким образом , существует бесчисленное множество значений критических сил, соответствующих разным формам искривления стержня. С практической точки зрения интерес представляет лишь наименьшее значение критической силы, при котором происходит потеря устойчивости стержня Критические силы, соответствующие и более, могут быть достигнуты только при наличии промежуточных опор. Для данного случая реальный смысл представляет первая критическая сила.
При получаем наименьшее значение критической силы:
Любопытно, что потеря устойчивости происходит по синусоиде , т. е. так же, как и при осевом сжатии.
Кроме того, потеря устойчивости происходит при той скорости, при которой отдача струи численно равна критической силе Эйлера: .
Действительно, отдача струи, т. е. реактивная сила струи, равна:
где:
/ секундный расход массы
В формулу подставляем , получаем, что сила отдачи струи равна критической силе Эйлера:
Не следует, однако, полагать, что труба сжимается силой отдачи. Труба теряет устойчивость, не испытывая сжимающего усилия.
Рассмотрим примеры, в которых через трубу длиной и общим диаметром трубы и диаметром трубы "в свету" равными 10 см и 8 см соответственно, изготовленную из стального сплава, шарнирно закрепленную по концам, прогоняются жидкости (нефть, вода, ртуть) удельного веса γ.
Покажем, что при некотором значении скорости жидкости , для каждой из жидкостей, труба теряет устойчивость, подобно тому как теряет устойчивость стержень по Эйлеру.
Задача 1. Нефть
Дано:
Решение:
Ответ: труба теряет устойчивость, подобно тому как теряет устойчивость стержень по Эйлеру, в тот момент, когда нефть преобретает скорость равную
Задача 2. Вода
Дано:
Решение:
Ответ: труба теряет устойчивость, подобно тому как теряет устойчивость стержень по Эйлеру, в тот момент, когда вода преобретает скорость равную
Задача 3. Ртуть
Дано:
Решение:
Ответ: труба теряет устойчивость, подобно тому как теряет устойчивость стержень по Эйлеру, в тот момент, когда ртуть преобретает скорость равную